Файл: Лекции Механика для студентов Физика.pdf

(1.6)

Поскольку при растяжении () объем никогда не уменьшается, то . Для изотропных материалов, имеющих одинаковые механические свойства по всем направлениям, коэффициент Пуассона , в частности, для металлов .

Понятие о тензоре деформации.

В рассмотренных выше случаях мы имели дело с одномерными однородными деформациями растяжения и сдвига (вдоль одного направления), где и оказывались одними и теми же для всех элементарных объемов резинового шнура. Во многих случаях ситуация гораздо сложнее: с одной стороны, деформации меняются от точки к точке (неоднородные деформации), а с другой стороны не являются одномерными. Последнее означает, что деформации в некоторой точке P описываются тремя деформациями растяжения маленького кубика с т. P внутри (рис. 1.3) и двумя сдвигами каждой из трех граней кубика: . Здесь первый индекс i означает, что грань кубика перпендикулярна оси Xi, второй индекс j означает, что грань смещается вдоль оси Xj. Таким образом,

неоднородные деформации в каждой точке тела в общем случае характеризуются набором 9 величин деформаций, являющихся функциями координат. Эти девять величин составляют тензор деформаций, однако независимы лишь 6 его величин.

Рис. 1.3.

Рассмотрим несколько подробнее подход, используемый для описания деформации в некоторой точке P, приводящий к введению понятия тензор деформаций. Пусть тело находится к недеформированном состоянии, и известно положение каждой из его частиц, задаваемых радиус-вектором r относительно некоторой системы координат как, например, положение т. P на рис 1.4. При деформировании все его точки, вообще говоря, смещаются. Смещение каждой точки можно охарактеризовать вектором смещения u(x1, x2, x3), являющегося при неоднородных деформациях функцией координат. Однако деформации в точке будут определены лишь тогда, если известно смещение соседних с т. P частиц тела. Таким образом, задание смещения

250

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

всех частиц тела полностью определяет его деформацию. В самом деле, рассмотрим две бесконечно близкие точки P(x1, x2, x3) и P'(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3), имеющие смещения u(x1,x2,x3) и u'=u(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3). Из рисунка нетрудно видеть, что если взаимное расположение точек в недеформированном состоянии задавалось радиус- вектором проекции , то в результате деформаций новое взаимное

расположение задается вектором

(1.7)

В частности, если u'=u, то деформации в т. P отсутствуют.

Рис. 1.4.

Для удобства описания деформаций возведем (1.7) в квадрат и будем оперировать модулями векторов и .Тогда

(1.8)

В равенстве (1.8) пренебрежем последним членом в правой части, поскольку снижаем деформации малыми , а проекции вектора du представим в

виде сумм

(1.9)

Выражение (1.9), по существу описывает приращение каждой из трех проекций вектора смещения при переходе из т.P в т.P', и содержит три слагаемых, каждое из которых есть произведение производной функции ui в т.P на приращение соответствующего аргумента dxj. Расписывая в (1.8)

скалярное произведение в виде

и подставляя (1.9) в (1.8), получим

(1.10)

где, по определению,

(1.11)

251

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

- тензор деформаций. Из его определения видно, что он является симметричным тензором (Uij= Uji). Для описания деформаций в каждой т.P можно выбрать такую систему координат, в которой только три диагональные компоненты тензора U11, U22 и U33 отличны от нуля. Как и в случае приведения тензора инерции к главным осям, уместно напомнить, что для каждой точки тела P существуют свои три главные оси, относительно которых формула (1.10) имеет наиболее простой вид:

(1.12)

В качестве примера рассмотрим деформацию сдвига в резиновом кубе, изображенном на рис. 1.2. Для удобства нанесем на его боковую грань прямоугольную сетку, разбивающую эту грань на маленькие квадратики со сторонами, параллельными ее диагоналям (рис. 1.5а). При деформации квадратики превращаются в прямоугольники (рис. 1.5б). Если под и

понимать длины диагоналей элементарных квадратика и прямоугольника соответственно, то эти длины можно связать формулой (1.12) только в системе координат, оси которой X1 и Х2 направлены вдоль ребер элементарных ячеек (ось Х3 перпендикулярна плоскости чертежа).

Рис. 1.5.

Обобщая полученный результат, следует сказать, что при произвольных

деформациях главные оси в любой точке Р должны быть направлены параллельно ребрам элементарного прямоугольного параллепипеда, который при деформации остается прямоугольным параллепипедом. Деформации сдвига относительно главных осей координат отсутствуют. Ниже мы

установим связь между деформациями сдвига и недиагональными компонентами тензора деформаций.

Выясним далее физический смысл диагональных компонент U11, U22 и U33. Относительное удлинение каждой из граней призмы равно соответствующей диагональной компоненте тензора деформаций.

В самом деле

(1.13)

252

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Пусть в окрестности т. P(x1,x2,x3) деформации таковы, что кубик со сторонами dx1, dx2 и dx3 превращается в параллелепипед.Для наглядности рассмотрим кратину деформации в плоскости X1 X2. Смещения вершин квадрата при деформации изображены соответствующими векторами. Длины прямоугольника в направлении главных осей X1 и X2 изменились до величин

(1.14)

Из (1.14) легко вычисляются относительные удлинения:

(1.15)

С использованием соотношения (1.13) легко также связать изменение элементарного объема с диагональными компонентами тензора. Объем

элементарного параллелепипеда

(1.16)

и также изменяется при деформациях. Относительное изменение этого объема при малых деформациях , как следует из (1.16), равно:

(1.17)

Важно отметить, что при сдвиге объем тела не меняется. Поэтому при

деформациях сдвига сумма диагональных компонент тензора деформаций (иногда употребляют термин "след тензора"), приведенного к главным осям, равна нулю (см. ниже).

Рис. 1.6.

Поясним далее физический смысл недиагональных компонент тензора деформации. Пусть параллелепипед испытывает деформацию, в результате которой прямоугольник на рис. 1.6 превращается в параллелограмм. В рассматриваемом примере мы отвлекаемся, как и ранее, от смещения частиц вдоль оси X3. Легко далее посчитать углы и , на которые повернулись стороны параллелограмма относительно сторон параллелепипеда. Они, очевидно, равны

253

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com