Файл: n1.pdf

где s – число перестановок строк, (s = 0, если использовался метод Гаусса по схеме единственного деления).Таким образом,

det A = (–1)s a11 a122 a 332 …a nnn−1 . (3.17)

Итак, для вычисления определителя det A необходимо выполнить процедуру прямого хода в методе Гаусса для системы уравнений Ax = 0, затем найти произведение главных элементов, стоящих на диагонали треугольной матрицы и умножить это произведение на (–1)s, где s – число перестановок строк.

Пример 3.3.

Вычислим определитель

2.0 1.0 0.1 1.0

0.4 0.5 4.0 8.5 det A = 0.3 1.0 1.0 5.2 1.0 0.2 2.5 1.0

Данный определитель совпадает с определителем системы, рассмотренной в примере 3.1. Он равен произведению диагональных элементов треугольной матрицы (3.13):

det A = 2.0 0.30 16.425 1.12 = 11.0376.

Если же обратиться к примеру 3.2, то, учитывая, что была одна перестановка строк, т.е. s = 1, получим:

det A = (–1) 2.0 (–1.15) 4.28478 1.11998 = = 11.0375.

46

Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f (4)(x):

f (4)(x) = (16x4 – 48x2 + 12) e −x2 , | f (4)(x)| ≤ 12.

Поэтому

| I – IС | ≤ 1228801 (0.1)4 ≈ 0.42 10 – 6.

Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим , что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников

иметод трапеций.

5.5.Правило Рунге практической оценки погрешности

Оценки погрешности по формулам (5.4), (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят от длины элементарного отрезка h, и при достаточно малом h справедливо приближенное равенство:

где Ih приближенное значение интеграла, вычисленное по одной из формул (5.3), (5.5), (5.9), C ≠ 0 и k > 0 – величины, не зависящие от h.

Если уменьшить шаг h в два раза, то, в соответствии с (5.15) получим:

Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок [a, b], четно , т.е. n = 2m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка [xi, xi+1] длины h рассматривать отрезок [x2i, x2i+2] длины 2h. Тогда формула Симпсона примет вид:

а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности:

формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.

Используя таблицу значений функции e −x2 из примера 5.1 и производя вычисления по формуле Симпсона (5.11) , получим:

IС = 0.74682418.

98

3.5. Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса

Обратной матрицей к матрице A называется

матрица A-1, для которой выполнено соотношение:

A A–1 = E, (3.18)

где E – единичная матрица:

1 0 0 … 0

0 1 0 … 0

E = 0 0 1 … 0 (3.19)

…………….

0 0 0 … 1

Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A ≠ 0. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной выше задаче решения системы уравнений.

Пусть A – квадратная невырожденная матрица порядка n и A–1 – ееобратная матрица:

Используя соотношения (3.18), (3. 19) и правило умножения матриц, получим систему из n2

уравнений с n2 переменными xij, i, j = 1, 2, …, n. Чтобы получить первый столбец матрицы E, нуж-

но почленно умножить каждую строку матрицы A на первый столбец матрицы A–1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу первого столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a11x11 + a12 x21 + a13x31 + … + a1nxn1 = 1 a21x11 + a22 x21 + a23x31 + … + a2nxn1 = 0

a31x11 + a32 x21 + a33x31 + … + a3nxn1 = 0 (3.20)

……………………………………………….

an1x11 + an2 x21 + an3x31 + … + annxn1 = 0

Аналогично, чтобы получить второй столбец матрицы E, нужно почленно умножить каждую строку матрицы A на второй столбец матрицы A–1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу второго столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

48

формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.

Используя таблицу значений функции e −x2 из примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим:

Iтр = 0.74621079.

Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)| ≤ M2 = 2. Поэтому по формуле (5.8)

| I – Iтр | ≤ 2121 (0.1)2 ≈ 1.7 10–3.

Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.

5.4. Метод Симпсона (метод парабол)

Заменим график функции y = f (x) на отрезке

[xi, xi+1], i = 0, 2, … , n – 1,

параболой, проведенной через точки

(xi, f (xi)), (x i' , f (x i' )), (xi+1, f (xi+1)),

где xi' – середина отрезка [xi, xi+1]. Эта парабола

есть интерполяционный многочлен второй степени L2(x) с узлами xi, x i' , xi+1. Нетрудно убедиться, что

уравнение этой параболы имеет вид:

a11x12 + a12 x22 + a13x32 + … + a1nxn2 = 0 a21x12 + a22 x22 + a23x32 + … + a2nxn2 = 1

a31x12 + a32 x22 + a33x32 + … + a3nxn2 = 0 (3.21)

……………………………………………….

an1x12 + an2 x22 + an3x32 + … + annxn2 = 0

и т. д.

Всего, таким образом, получим n систем по n уравнений в каждой системе, причем все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются только свободными членами. Приведение матрицы A к треугольной по формулам (3.7) делается при этом только один раз. Затем по последней из формул (3.7) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.

Пример 3.4.

Вычислим обратную матрицу A–1 для

По формулам (3.7) за три шага прямого хода преобразуем матрицу A в треугольную матрицу

Далее, применим процедуру обратного хода четыре раза для столбцов свободных членов, преобразованных по формулам (3.7) из столбцов единичной матрицы:

Каждый раз будем получать столбцы матрицы A–1. Опустив промежуточные вычисления, приведем окончательный вид обратной матрицы:

3.6. Метод простой итерации Якоби

Метод Гаусса обладает довольно сложной вычислительной схемой. Кроме того, при вычислениях накапливается ошибка округления, что

составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке [xi, xi+1] длины

формулой для i = 0, 2, … , n – 1, получим квадра-

турную формулу трапеций:

b

I= ∫ f (x)dx ≈ Iтр =

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:

Пример 5.2.

1

Вычислим значение интеграла ∫e−x2 dx по

0