Файл: n1.pdf

Уравнение (6.10) есть уравнение Бернулли. Его решение можно найти в явном виде:

108

ций, и возникает опасность накопления погрешностей.

Этого недостатка лишены итерационные методы, но зато они не всегда сходятся и могут применяться лишь для систем определенных классов.

Среди прямых методов наиболее распространенным является метод исключения Гаусса и его модификации, Наиболее распространенными итерационными методами является метод простых итераций Якоби и метод Зейделя.

3.2.Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). Схема единственного деления

Основная идея метода исключений Гаусса состоит в том, что система уравнений (3.1) приводится к эквивалентной ей системе с верхней треугольной матрицей (прямой ход исключений), а затем неизвестные вычисляются последовательной подстановкой (обратный ход исключений).

Рассмотрим сначала простейший метод исключения Гаусса, называемый схемой единствен-

ного деления.

Прямой ход состоит из n – 1 шагов. На первом шаге исключается переменная x1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого нужно из второго, третьего, …, n-го уравнений вычесть первое, умноженное на величину

37

Легко убедиться, что для всех уравнений, начиная со второго, a1i1 = 0, i = 2, 3, …, n. Преобра-

зованная система запишется в виде:

a11x1 + a12 x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 a122 x2 + a123 x3 + … + a12n xn = b12

………………………………………

a1n2 x2 + a1n3 x3 + … + a1nn xn = b1n

Все уравнения (3.6), кроме первого, образуют систему (n – 1)-го порядка. Применяя к ней ту же процедуру, мы можем исключить из третьего, четвертого, …, n-го уравнений переменную x2. Точно так же исключаем переменную x3 из последних n – 3 уравнений.

На некотором k-ом шаге в предположении,

что главный элемент k-ого шага a kkk−1 ≠ 0, перемен-

ная xk исключается с помощью формул:

38

рядок точности. Правило Рунге заключается в следующем. Пусть y ih / 2 – приближения, полученные с

шагом h2 , а y ih – приближения, полученные с ша-

гом h. Тогда справедливо приближенное равенство:

Таким образом, чтобы оценить погрешность одношагового метода с шагом h2 , нужно найти то же

решение с шагом h и вычислить величину, стоящую справа в формуле (6.5), т е.

Так как метод Эйлера имеет первый порядок точности, т. е. p = 1, то приближенное равенство (6.6) примет вид

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши с заданной точностью ε. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y ih / 2 ,

i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:

107

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в том, что решение на отрезке [ti, ti+1] заменяется касательной

y = y' (ti)( t – ti),

проведенной в точке (ti, y(ti)) к интегральной кривой, проходящей через эту точку. После выполнения n шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией (ломаной Эйлера).

Оценка погрешности. Для оценки погрешности метода Эйлера воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 6.2. Пусть функция f удовлетворяет условиям:

Тогда для метода Эйлера справедлива следующая оценка погрешности:

где l – длина отрезка [t0, T]. Мы видим , что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Оценка погрешности метода Эйлера часто бывает затруднительна, так как требует вычисления производных функции f (t, y(t)). Грубую оцен-

ку погрешности дает правило Рунге (правило двой-

ного пересчета), которое используется для различных одношаговых методов, имеющих p-ый по-

106

a ijk = a ijk −1 – m ik a kkj−1 ,

b ik = b ik − 1 – m ik b kk −1 , i, j = k + 1, k + 2, …, n. (3.7)

Индекс k принимает значения 1, 2, …, n – 1.

При k = n – 1 получим треугольную систему:

a11x1 + a12 x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1 a122 x2 + a123 x3 + …+ a12n xn = b12

…………………………………………….

a nnn−1 xn = b nn−1

с треугольной матрицей An.

Приведение системы (3.1) к треугольному виду (3.8) составляет прямой ход метода Гаусса.

При использовании метода Гаусса нет необходимости в предварительном обосновании существования и единственности решения (т. е. доказательства, что det A ≠ 0). Если на k-ом шаге все элементы

a ikk −1 (i = k, k + 1, …, n)

окажутся равными нулю, то система (3.1) не имеет единственного решения.

Обратный ход состоит в вычислении переменных. Из последнего уравнения (3.8) определяем xn... Подставляя его в предпоследнее уравнение, находим xn-1, и т. д. Общие формулы имеют вид:

39

bn−1

xn = n − ,

annn 1

k = n – 1, n – 2, …, 1.

Трудоемкость метода. Для реализации метода исключения Гаусса требуется примерно 2/3n3 операций для прямого хода и n2 операций для обратного хода. Таким образом, общее количество операций составляет примерно 2/3n3 + n2.

Пример 3.1.

Применим метод исключения Гаусса по схеме единственного деления для решения системы уравнений:

Будем делать округление чисел до четырех знаков после десятичной точки.

Прямой ход. 1-ый шаг. Вычислим множители:

h → 0. Говорят, что метод имеет p-ый порядок точности, если для погрешности справедлива оценка R ≤ Ch p, p > 0, C – константа, C ≠ 0.

6.2. Метод Эйлера

Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера. Будем решать задачу Коши

y' (t) = f(t, y(t)). y(t0 ) = y0,

на отрезке [t0, T]. Выберем шаг h = T −n t0 , и по-

строим сетку с системой узлов

ti = t0 + ih, i = 0, 1, …, n.

В методе Эйлера вычисляются приближенные значения функции y(t) в узлах сетки :

yi ≈ y(ti).

Заменив производную y' (t) конечными разностями на отрезках

[ti, ti+1], i = 0, 1, …, n – 1,

получим приближенное равенство:

yi+1 − yi = f(ti, yi), i = 0, 1, …, n – 1, h

которое можно переписать так:

yi+1 = yi + h f(ti, yi), i = 0, 1, …, n – 1. (6.3)

Формулы (6.3) и начальное условие (6.2) яв-

ляются расчетными формулами метода Эйлера.

105