Файл: n1.pdf

Итерационная формула метода (2.13) примет вид:

Простой корень уравнения x3 – 7 = 0 расположен на отрезке [1, 2]. Действительно, на концах отрезка [1, 2] функция f (x) = x3 – 7 принимает разные знаки, f (1) < 0, f (2) > 0. Кроме того, при x = 2 выполнено достаточное условие сходимости

(2.16): f (2)f" (2) ≥ 0.

Поэтому в качестве начального приближения можно взять x0 = 2. Результаты приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

n xn

02

10.8415

20.8861

30.8742

40.8774

50.8765

i = 0, 1, …, 10.

Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e t2 , поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями εi = | y(ti) – yi|.

Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения yi и их погрешности εi представлены в таблице 6.5:

Таблица 6.5

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью ε. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y ih / 2 , i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются

тогда, когда будет выполнено условие:

Приближенным решением будут значения y ih / 2 ,

i = 0, 1, …, n.

Пример 6.4.

Методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке [0, 1] сле-

В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:

yi+1 = yi + 16 h(k1i + 2k i2 + 2k i3 + k i4 ), k1i = 2ti yi,

116

2.6.Метод секущих (метод хорд)

Вэтом и следующем разделе рассмотрим модификации метода Ньютона.

Как видно из формулы (2.13), метод Ньютона требует для своей реализации вычисления производной, что ограничивает его применение. Метод секущих лишен этого недостатка. Если производную заменить ее приближением:

f'(xn) ≈ f (xn ) − f (xn−1 ) ,

xn − xn−1

то вместо формулы (2.13) получим

Это означает, что касательные заменены секущими. Метод секущих является двухшаговым методом, для вычисления приближения xn +1 необходимо вычислить два предыдущих приближения xn и xn – 1 , и, в частности, на первой итерации надо знать два начальных значения x0 и x1.

Формула (2.20) является расчетной формулой метода секущих. На рис. 2.9 приведена геометрическая иллюстрация метода секущих.

Очередное приближение xn +1 получается как точка пересечения с осью OX секущей, соединяющей точки графика функции f(x) с координатами

(xn – 1, f (xn – 1)) и (xn , f (xn)).

29

Рис. 2.9.

Сходимость метода. Сходимость метода секущих устанавливает следующая теорема.

Теорема 2.4. Пусть x* – простой корень уравнения f (x) = 0, и в некоторой окрестности этого корня функция f дважды непрерывно дифференцируема, причем f"(x) ≠ 0. Тогда найдется такая малая σ- окрестность корня x*, что при произвольном выборе начальных приближений x0 и x1 из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (2.20) сходится и справедлива оценка:

Сравнение оценок (2.15) и (2.21) показывает, что p < 2, и метод секущих сходится медленнее, чем метод Ньютона. Но в методе Ньютона на каж-

30

y' (t) = f (t, y(t))

с начальным условием

y (t0 ) = y0.

Как и в методе Эйлера, выберем шаг h = T −n t0 и построим сетку с системой узлов

ti = t0 + i h, i = 0, 1, …, n.

Обозначим через yi приближенное значение искомого решения в точке ti.

Приведем расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

k i4 = f (ti +h, yi + hk i3 ), i = 0, 1, …, n.

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге – Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид

115

Решение представим в виде таблицы 6.4. Таблица заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 6.4 содержит приближенное решение

yi, i = 0, 1, …, 5.

Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет

R = max | y(ti) – yi| = 0.0222.

0≤k≤5

6.4. Метод Рунге – Кутта

Метод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения

114

дой итерации надо вычислять и функцию, и производную, а в методе секущих – только функцию. Поэтому при одинаковом объеме вычислений в методе секущих можно сделать примерно вдвое больше итераций и получить более высокую точность.

Так же, как и метод Ньютона, при неудачном выборе начальных приближений (вдали от корня) метод секущих может расходиться. Кроме того применение метода секущих осложняется из-за того, что в знаменатель расчетной формулы метода (2.20) входит разность значений функции. Вблизи корня эта разность мала, и метод теряет устойчивость.

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода секущих такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности ε > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

Пример 2.4.

Применим метод секущих для вычисления положительного корня уравнения 4(1 – x2) – ex = 0 с точностью ε = 10–3.

Корень этого уравнения находится на отрезке [0, 1], так как

f (0) = 3 > 0, а f (1) = – e < 0.

31