Файл: n1.pdf

Подсчитаем вторую производную функции: f "(x) = – 8 – ex.

Условие f (x) f " (x) ≥ 0 выполняется для точки b = 1. В качестве начального приближения возьмем x0 = b =1. В качестве второго начального значения возьмем x1 =0.5. Проведем вычисления по расчетной формуле (2.20). Результаты приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

n xn

01.0000

10.5000

20.6660

30.7093

40.7033

50.7034

2.7.Метод ложного положения

Рассмотрим еще одну модификацию метода

Ньютона.

Пусть известно, что простой корень x* уравнения f (x) = 0 находится на отрезке [a, b] и на одном из концов отрезка выполняется условие f (x) f"(x) ≥ 0. Возьмем эту точку в качестве начального приближения. Пусть для определенности это будет b. Положим x0 = a. Будем проводить из точки B = (b, f(b)) прямые через расположенные на графике функции точки Bn с координатами (xn, f (xn)), n = 0, 1, … . Абсцисса точки пересече-

32

yi, i = 0, 1, …, 5.

Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Виднм, что погрешность составляет

R = max | y(ti) – yi| = 0.0042.

0≤k≤5

Пример 6.3.

Применим второй модифицированный метод Эйлера – Коши для решения задачи Коши

y' (t) = y – 2yt , y(0) = 1,

рассмотренной ранее в примерах 6.1 и 6.2. Так же, как и ранее, зададим шаг h = 0.2. Тогда

n = 10.2−0 = 5.

В соответствии с (6.14) получим расчетную формулу метода Эйлера – Коши

yi+1 = yi + h2 [ f (ti, yi) + f (ti+1, yi+1 )] = = yi + 0.1[ f (ti, yi) + f (ti+1, yi+1 )],

t0 = 0, y0 = 1, i = 0, 1, …, 4.

113

В соответствии с (6.3) получим расчетную формулу первого модифицированного метода Эйлера:

Третий столбец таблицы 6.3 содержит приближенное решение

112

ния такой прямой с осью OX есть очередное при-

ближение xn+1.

Геометрическая иллюстрация метода приведена на рис. 2.10.

Рис. 2.10.

Прямые на этом рисунке заменяют касательные в методе Ньютона (рис. 2.8). Эта замена основана на приближенном равенстве

Заменим в расчетной формуле Ньютона (2.13) производную f ' (xn) правой частью приближенного равенства (2.23). В результате получим

расчетную формулу метода ложного положения:

Метод ложного положения обладает только линейной сходимостью. Сходимость тем выше, чем меньше отрезок [a, b].

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода ложного положения такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности ε > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

вычисления корня уравнения x3 + 2x – 11 = 0 с точностью ε = 10–3.

Корень этого уравнения находится на отрезке [1, 2], так как

f (1) = – 8 < 0, а f (2) = 1 > 0.

Для ускорения сходимости возьмем более узкий отрезок [1.9, 2], поскольку

f (1.9) < 0, а f (2) > 0.

Вторая производная функции f (x) = x3 + 2x – 11 равна 6x. Условие

f (x) f"(x) ≥ 0

выполняется для точки b = 2. В качестве начального приближения возьмем x0 = a = 1.9. По формуле

(2.24) имеем

да Эйлера имеют второй порядок точности, т.е. p = 2, то оценка погрешности (6.6) примет вид:

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши модифицированными методами Эйлера с заданной точностью ε. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y ih / 2 , i = 0, 1,

…, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:

Пример 6.2.

Применим первый модифицированный метод Эйлера для решения задачи Коши

y' (t) = y – 2yt , y(0) = 1,

рассмотренной в примере 6.1.

Возьмем шаг h = 0.2. Тогда n = 10.2−0 = 5.

111

yi+1 = yi + h f i+12 , i = 0, 1, …, n – 1. (6.12)

Формулы (6.12) являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера.

Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом со вторым порядком точности

Второй модифицированный метод Эйлера – Ко-

ши. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения

Затем приближения искомого решения находятся по формуле:

i = 0, 1, …, n – 1.

Формулы (6.14) являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера – Коши.

Второй модифицированный метод Эйлера – Коши, так же, как и первый, является одношаговым методом со вторым порядком точности.

Оценка погрешности. Приближенная оценка погрешности модифицированных методов Эйлера осуществляется как и для простого метода Эйлера с использованием правила Рунге (см. предыдущий раздел 6.2). Так как оба модифицированных мето-

110

(2 −1.9)

+ 1 − (−0.341) 0.341 ≈ 1.9254.

Продолжая итерационный процесс, получим результаты, приведенные в табл. 2.5.

Таблица 2.5

Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений 3.1. Постановка задачи

Требуется найти решение системы линейных уравнений:

35

решений представим точное решение (6.11) в виде таблицы 6.2:

Таблица 6.2

Из таблицы видно, что погрешность составляет R

= max | y(ti) – yi| = 0.0917.

0≤k≤5

6.3. Модифицированные методы Эйлера

Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой

Затем находится значение правой части уравнения (6.1) в средней точке

f i+12 = f (t i+12 , y i+12 )

и затем полагается

109