Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 848

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

274

змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш

УФŒБ, ОП Œ ПВТБФОПН РПТСДЛЕ. œУЕ ФП ŒТЕНС, РПЛБ ТБУУБУЩŒБЕФУС ŒПЪНХЭЕОЙЕ, ЬФПФ ЬМЕЛФТПО ОБИПДЙФУС ŒОХФТЙ УМЕДБ, ПУФБŒМЕООПЗП РЕТŒЩН ЬМЕЛФТПОПН. рПЬФПНХ РТЙФСЦЕОЙЕ НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ ПЛБЪЩŒБЕФУС ЗПТБЪДП УЙМШОЕЕ, ЮЕН НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ, ДŒЙЦХЭЙНЙУС РПД ХЗМПН.

вПМЕЕ ЖПТНБМШОП ЬМЕЛФТПО-ЬМЕЛФТПООПЕ РТЙФСЦЕОЙЕ РПМХЮБЕФУС ФБЛ. œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ ЪБ УЮЕФ ПВНЕОБ ŒЙТФХБМШОЩН ЖПОПОПН ПРЙУЩŒБЕФУС ФБЛПК ДЙБЗТБННПК:

òÉÓ. 10.1

нЩ ВХДЕН ТБУУНБФТЙŒБФШ ЬФПФ РТПГЕУУ, ЛБЛ ЬЖЖЕЛФЙŒОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ДŒХИ ЬМЕЛФТПОПŒ У РЕТЕДБЮЕК ЙНРХМШУБ k. рП РТБŒЙМБН ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ, ПРЙУБООЩН Œ ЗМБŒБИ 4 Й 6, МЙОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС УППФŒЕФУФŒХЕФ ФБЛПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

g2

D(!; k) =

g2

!2

:

(10.1)

e−ph

k

e−ph

 

!2 − !k2

 

 

йОФЕТЕУ ДМС ОБУ РТЕДУФБŒМСАФ РТПГЕУУЩ, Œ ЛПФПТЩИ РЕТЕДБООЩК ЙНРХМШУ k РПТСДЛБ ЖЕТНЙЕŒУЛПЗП, Б РЕТЕДБООБС ЬОЕТЗЙС НБМБ: ! !D . рПУЛПМШЛХ !k ≈ !D, ŒЩТБЦЕОЙЕ (10.1) ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБŒОЩН РТПУФП −ge2−ph. пФТЙГБФЕМШОЩК ЪОБЛ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС ОБ ТЙУ. 10.1 ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ЬЖЖЕЛФЙŒОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ СŒМСЕФУС РТЙФСЦЕОЙЕН. ъБНЕФЙН, ЮФП РЕТЕДБЮБ ЙНРХМШУБ РПТСДЛБ p0 ŒПЪНПЦОБ. МЙЫШ ЕУМЙ УХННБТОЩК ЙНРХМШУ НБМ. œ РТПФЙŒОПН УМХЮБЕ, РПУЛПМШЛХ ŒУЕ УПУФПСОЙС РПД ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФША ЪБОСФЩ, Б УХННБТОЩК ЙНРХМШУ УПИТБОСЕФУС, РЕТЕДБЮБ ЙНРХМШУБ ПФ ПДОПК ЮБУФЙГЩ Л ДТХЗПК РТЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ ПЛБЪЩŒБЕФУС НБМПК. (ьФП ОБЙВПМЕЕ ПЮЕŒЙДОП, ЕУМЙ УХННБТОЩК ЙНРХМШУ ВМЙЪПЛ Л 2p0, Ф. Е. ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙЕ ЬМЕЛФТПОЩ ОБИПДСФУС Œ ВМЙЪЛЙИ ФПЮЛБИ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ. œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒПЪНПЦОБС ŒЕМЙЮЙОБ РЕТЕДБООПЗП ЙНРХМШУБ НОПЗП НЕОШЫЕ p0.) фБЛЙН ПВТБЪПН, ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ (10.1) ОБЙВПМЕЕ ЬЖЖЕЛФЙŒОП ДМС ЬМЕЛФТПОПŒ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ.

пЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ЬЖЖЕЛФЙŒОПЕ РТЙФСЦЕОЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ПВТБЪПŒБОЙА УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС. ьМЕЛФТПОЩ ЗТХРРЙТХАФУС Œ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩЕ ЛХРЕТПŒУЛЙЕ РБТЩ У РТПФЙ-

ŒПРПМПЦОП ОБРТБŒМЕООЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ. уРЙОЩ ЬМЕЛФТПОПŒ Œ РБТЕ ПЛБЪЩŒБАФУС РТЙ ЬФПН ОБРТБŒМЕООЩНЙ Œ ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ, ФБЛ ЮФПВЩ УРЙОПŒБС ЮБУФШ ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ РБТЩ ВЩМБ ОЕЮЕФОПК, Б ЛППТДЙОБФОБС | ЮЕФОПК. рТЙ ЬФПН ŒЩЙЗТЩЫ Œ ЬОЕТЗЙЙ РБТЩ ЙЪ-ЪБ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС НБЛУЙНБМЕО. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЛХРЕТПŒУЛБС РБТБ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК УРЙОПŒЩК УЙОЗМЕФ, Б ЕЕ ПТВЙФБМШОЩК НПНЕОФ ТБŒЕО ОХМА.

фБЛПЕ УРБТЙŒБОЙЕ ОБЪЩŒБЕФУС s-УРБТЙŒБОЙЕН. уХЭЕУФŒХАФ Й ДТХЗЙЕ ŒЙДЩ УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЗП УРБТЙŒБОЙС ВПМЕЕ ПВЭЕЗП ŒЙДБ, ИБТБЛФЕТЙЪХАЭЙЕУС ПФМЙЮОЩН ПФ ОХМС ПТВЙФБМШОЩН НПНЕОФПН РБТЩ ЙМЙ УРЙОПН РБТЩ ТБŒОЩН ЕДЙОЙГЕ. фБЛПЕ УРБТЙŒБОЙЕ ТЕБМЙЪХЕФУС, ОБРТЙНЕТ, Œ 3He, Б ФБЛЦЕ Œ ОЕЛПФПТЩИ УŒЕТИРТПŒПДСЭЙИ НБФЕТЙБМБИ,

10.1. нйлтпулпрйюеулбс фептйс уœетиртпœпдйнпуфй

275

ПФОПУСЭЙИУС Л ЛМБУУБН ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩИ ĂЛХРТБФОЩИĄ Й ĂФСЦЕМПЖЕТНЙПООЩИĄ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛПŒ.

оБЛПОЕГ, ПУФБОПŒЙНУС ОБ УŒСЪЙ ЬЖЖЕЛФБ УРБТЙŒБОЙС У СŒМЕОЙЕН УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ. ъБНЕФЙН, ЮФП ЛХРЕТПŒУЛЙЕ РБТЩ РПДЮЙОСАФУС ВПЪЕ-УФБФЙУФЙЛЕ, Й РПЬФПНХ РТЙ ОЙЪЛПК ФЕНРЕТБФХТЕ ПОЙ ЖПТНЙТХАФ ВПЪЕ-ЛПОДЕОУБФ. œ ФБЛПК ВПЪЕ-ЦЙДЛПУФЙ ЙЪ ЛХРЕТПŒУЛЙИ РБТ ŒУЕ НЕИБОЙЪНЩ ТБУУЕСОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ УФБОПŒСФУС ОЕЬЖЖЕЛФЙŒОЩНЙ, РПФПНХ ЮФП РТЙ ТБУУЕСОЙЙ ПДОПЗП ЙЪ УРБТЕООЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ РБТБ ТБЪТХЫЙМБУШ ВЩ. оП ТБЪТХЫЕОЙЕ РБТЩ ФТЕВХЕФ ЪБФТБФЩ ЬОЕТЗЙЙ РПТСДЛБ ЬОЕТЗЙЙ УŒСЪЙ ЬМЕЛФТПОПŒ Œ РБТЕ. рПЬФПНХ РТЙ ФЕНРЕТБФХТЕ НЕОШЫЕ ЬОЕТЗЙЙ УŒСЪЙ РБТЩ ТБУУЕСОЙЕ ПФДЕМШОЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ ПЛБЪЩŒБЕФУС ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛЙ ОЕŒЩЗПДОЩН. œУМЕДУФŒЙЕ ЬФПЗП РТЙ ОЙЪЛЙИ ФЕНРЕТБФХТБИ ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙК ФПЛ НПЦЕФ ФЕЮШ ВЕЪ ДЙУУЙРБГЙЙ.

пУФБОПŒЙНУС ОБ ŒМЙСОЙЙ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ОБ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФШ. нПЦОП ВЩМП ВЩ ПЦЙДБФШ, ЮФП УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФШ ДПМЦОБ РПДБŒМСФШУС РТСНЩН ЬМЕЛФТПО-ЬМЕЛФТПООЩН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН. дЕКУФŒЙФЕМШОП, ЬЖЖЕЛФЩ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ПВЩЮОП РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ. рТЙ ЬФПН ЖПОПООПЕ РТЙФСЦЕОЙЕ НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ ЛПТПФЛПДЕКУФŒХАЭЕЕ, Б ЛХМПОПŒУЛПЕ ПФФБМЛЙŒБОЙЕ | ДБМШОПДЕКУФŒХАЭЕЕ. рПЬФПНХ, ЛБЪБМПУШ ВЩ, ПФФБМЛЙŒБОЙЕ ДПМЦОП РЕТЕŒЕУЙФШ. пДОБЛП ŒУЕ ОЕ ФБЛ РТПУФП. дЕМП Œ ФПН, ЮФП ЛХМПОПŒУЛПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЪБРБЪДЩŒБЕФ ОБ ŒТЕНС РПТСДЛБ ПВТБФОПК РМБЪНЕООПК ЮБУФПФЩ, Б ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЕ | ОБ ŒТЕНС РПТСДЛБ !D−1. йОЩНЙ УМПŒБНЙ, ЬМЕЛФТПО ПУФБŒМСЕФ ŒДПМШ УŒПЕК ФТБЕЛФПТЙЙ ЖПОПООЩК УМЕД, ЛПФПТЩК ОЕ ТБУУБУЩŒБЕФУС ПФОПУЙФЕМШОП ДПМЗП (УН. ЪБДБЮХ 64). рПЬФПНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ ЪБ УЮЕФ ПВНЕОБ ЖПОПОБНЙ РТПЙУИПДЙФ ЗПТБЪДП ДПМШЫЕ, ЮЕН ЛХМПОПŒУЛПЕ ПФФБМЛЙŒБОЙЕ. уМЕДУФŒЙЕН ЬФПЗП СŒМСЕФУС ПФОПУЙФЕМШОБС НБМПУФШ ЬЖЖЕЛФБ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС (УН. ЪБДБЮХ 61). œ ТЕЪХМШФБФЕ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС ВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООЩН ДМС УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ, ЮЕН ЛХМПОПŒУЛПЕ.

юФПВЩ МХЮЫЕ РПОСФШ НЕИБОЙЪН ПВТБЪПŒБОЙС РБТ, НЩ ХРТПУФЙН ЪБДБЮХ Й, УМЕДХС РЕТŒПОБЮБМШОПК ЙДЕЕ лХРЕТБ, ТБУУНПФТЙН ŒУЕЗП ДŒБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЬМЕЛФТПОБ, ДŒЙЦХЭЙИУС ОБ ЖПОЕ ЖЕТНЙ-НПТС. рТЙ ЬФПН НЩ ВХДЕН РТЕОЕВТЕЗБФШ ЬЖЖЕЛФПН ТПЦДЕОЙС ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ, Й ХЮФЕН ŒМЙСОЙЕ ПУФБМШОЩИ ЬМЕЛФТПОПŒ ФПМШЛП Œ ФПН УНЩУМЕ, ЮФП ЙНРХМШУЩ ŒЩВТБООЩИ ОБНЙ ДŒХИ ЬМЕЛФТПОПŒ ВХДХФ ПВСЪБОЩ МЕЦБФШ ŒПŒОЕ ЖЕТНЙ-УЖЕТЩ.

œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ УПУФПСОЙС РБТЩ ЬМЕЛФТПОПŒ ПРЙУЩŒБАФУС ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЕК ¯¸˛ (p; p ), ЗДЕ p Й p | ЙНРХМШУЩ, Б ¸ Й ˛ | УРЙОПŒЩЕ ЙОДЕЛУЩ. œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ УПИТБОСЕФ УРЙО, РПЬФПНХ ВХДЕН ТБУУНБФТЙŒБФШ ФПМШЛП УЙОЗМЕФОЩЕ УПУФПСОЙС ¯¸˛ (p; p ) = ¯(p; p )(| ↑↓ − | ↓↑ ). пТВЙФБМШОБС ЮБУФШ ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ ¯(p; p ) ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХТБŒОЕОЙА ыТЕДЙОЗЕТБ Œ ЙНРХМШУОПН РТПУФТБОУФŒЕ:

 

 

 

E ¯(p; p ) = (Ep + Ep )¯(p; p ) +

Vpp qq ¯(q; q ) :

(10.2)

p+p =q+q

ъДЕУШ Ep = p2=2m − — | ПДОПЮБУФЙЮОБС ЬОЕТЗЙС, Б Vpp qq | ЬЖЖЕЛФЙŒОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ. лБЛ ХЛБЪБОП ŒЩЫЕ, НЩ РТЕДРПМБЗБЕН, ЮФП ЙНРХМШУЩ p Й p ОБИПДСФУС УОБТХЦЙ ЖЕТНЙ-УЖЕТЩ: |p| > p0, |p | > p0.

276 змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш

уМЕДХЕФ ЪБНЕФЙФШ, ЮФП ИБТБЛФЕТОБС ЬОЕТЗЙС, РЕТЕДБООБС РТЙ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ, ОЕ НПЦЕФ ВЩФШ ВПМШЫЕ ДЕВБЕŒУЛПК ЮБУФПФЩ !D . рПЬФПНХ ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Vpp qq ПФМЙЮОП ПФ ОХМС ФПМШЛП Œ ХЪЛПН ЙОФЕТŒБМЕ ЬОЕТЗЙК

РПТСДЛБ !D:

 

 

 

–

ÐÒÉ

|

Ep

;

|

Ep

|

< !D,

 

Vpp qq

 

=

(10.3)

 

−

 

|

 

 

 

 

 

0

Œ РТПФЙŒОПН УМХЮБЕ.

 

ъДЕУШ НЩ ŒŒЕМЙ ПВПЪОБЮЕОЙЕ ДМС ЬЖЖЕЛФЙŒОПК ЛПОУФБОФЩ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС: – ≡ g тБУУНПФТЙН ŒОБЮБМЕ УМХЮБК ОХМЕŒПЗП УХННБТОПЗП ЙНРХМШУБ РБТЩ P = p + p

рТЙ ЬФПН ХТБŒОЕОЙЕ (10.2) РТЙОЙНБЕФ ŒЙД

2− . e ph

= 0.

(E − 2Ep)¯(p; −p) = −–

<E <!

¯(q; −q)

(10.4)

0

D

 

q

 

рПУЛПМШЛХ РТБŒБС ЮБУФШ ЬФПЗП ХТБŒОЕОЙС ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ p Œ ПВМБУФЙ |Ep| < !D , ТЕЫЕОЙЕ ХТБŒОЕОЙС ЕУФШ

 

 

 

 

a

 

 

 

¯(p; −p) = E − 2Ep

:

(10.5)

фБЛПЕ ТЕЫЕОЙЕ УХЭЕУФŒХЕФ, ЕУМЙ

q

 

−

 

 

 

 

0

D

 

 

 

 

−–

 

 

1

 

=

1 :

(10.6)

<E <!

2Eq

 

E

оБРПНОЙН, ЮФП ХУМПŒЙЕ Eq > 0 Œ (10.6) ŒПЪОЙЛБЕФ, РПУЛПМШЛХ Œ ЪБДБЮЕ РТЙУХФУФŒХЕФ ЖЕТНЙ-НПТЕ, ЙЪ-ЪБ ЮЕЗП ТБУУНБФТЙŒБЕНЩЕ ДŒБ ЬМЕЛФТПОБ ОЕ НПЗХФ РЕТЕИПДЙФШ Œ УПУФПСОЙС РПД ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФША. хУМПŒЙЕ ЦЕ Eq < !D Œ (10.6) ПФТБЦБЕФ ФПФ ЖБЛФ, ЮФП ЬМЕЛФТПОЩ ПВНЕОЙŒБАФУС ЖПОПОБНЙ, Й РПЬФПНХ РЕТЕДБООБС РТЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ ЬОЕТЗЙС ОЕ НПЦЕФ ВЩФШ ВПМШЫЕ !D .

оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ ЬМЕЛФТПОПŒ РБТЩ, РПЬФПНХ ЬОЕТЗЙС E ДПМЦОБ ВЩФШ ПФТЙГБФЕМШОПК. рЕТЕИПДС Œ (10.6) Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰, ЙНЕЕН

 

!D

 

 

 

 

2 – 0

 

 

2ED

 

 

1 = – 0

 

2‰ +

E

|

=

ln

1 +

;

(10.7)

 

0

|

 

 

1

 

 

| |

 

 

 

 

d‰

 

 

 

 

 

!

 

 

ÇÄÅ 0 = mp0=(2ı2h—3) | ПДОПЮБУФЙЮОБС РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ОБ ХТПŒОЕ жЕТНЙ. тЕЫБС ХТБŒОЕОЙЕ (10.7), РПМХЮБЕН ЬОЕТЗЙА УŒСЪЙ РБТЩ:

E

2!D

:

(10.8)

= −e2=– 0 + 1

рТЙ НБМПК ЛПОУФБОФЕ УŒСЪЙ – 0 1 ŒЩТБЦЕОЙЕ (10.8) РТЕŒТБЭБЕФУС Œ E = −2!D e−2=– 0 . йФБЛ, УŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ ДŒХИ ЬМЕЛФТПОПŒ ДЕКУФŒЙФЕМШОП УХЭЕУФŒХЕФ. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ УХЭЕУФŒЕООХА ТПМШ ЖЕТНЙ-УФБФЙУФЙЛЙ. ьМЕЛФТПОЩ ОЕ НПЗХФ РЕТЕКФЙ Œ ЪБОСФЩЕ УПУФПСОЙС РПД ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФША, РПЬФПНХ Œ ЙНРХМШУОПН РТПУФТБОУФŒЕ ПОЙ ŒУЕЗДБ ОБИПДСФУС Œ ФПОЛПН ДŒХНЕТОПН УЖЕТЙЮЕУЛПН УМПЕ НЕЦДХ |p| = p0 É |p| ≈ p0 + !D =vF . бОБМПЗЙЮОП НПЦОП ТБУУНПФТЕФШ ПВТБЪПŒБОЙЕ РБТЩ У

10.1. нйлтпулпрйюеулбс фептйс уœетиртпœпдйнпуфй

277

УХННБТОЩН ЙНРХМШУПН k ПФМЙЮОЩН ПФ ОХМС. оЕФТХДОП РПЛБЪБФШ, ЮФП Œ ЬФПН УМХЮБЕ НЙОЙНБМШОБС ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ ДПУФЙЗБЕФУС РТЙ k = 0.

пФНЕФЙН ЙОФЕТЕУОХА БОБМПЗЙА НЕЦДХ ТБУУНПФТЕООПК ЪБДБЮЕК ПВ ПДОПК ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЕ Й ЪБДБЮБНЙ 12 Й 13, Œ ЛПФПТЩИ ПВУХЦДБЕФУС ПВТБЪПŒБОЙЕ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС РТЙ ДŒЙЦЕОЙЙ ЮБУФЙГЩ Œ РПМЕ НЕМЛПК СНЩ. уŒСЪБООПЕ УПУФПСОЙЕ ЙНЕЕФУС ФПМШЛП Œ РТПУФТБОУФŒЕ ТБЪНЕТОПУФЙ D 2, РТЙЮЕН РТЙ D = 2 УЙФХБГЙС МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС, ЛБЛ Œ (10.6), Й ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ ПЛБЪЩŒБЕФУС ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП НБМПК РП ЗМХВЙОЕ СНЩ. пУПВБС ТПМШ ТБЪНЕТОПУФЙ D = 2 УŒСЪБОБ У ФЕН, ЮФП РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК

(") ÐÒÉ D < 2 ТБУИПДЙФУС РТЙ ЬОЕТЗЙЙ " → 0, Œ ÔÏ ŒÒÅÍÑ ËÁË ÐÒÉ D = 2 РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК

(") ПУФБЕФУС ЛПОЕЮОПК РТЙ УЛПМШ ХЗПДОП НБМПН ". œ ÔÏ ÖÅ ŒÒÅÍÑ ÐÒÉ D > 2 РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ РТЙ " → 0, ЮЕН Й ПВ СУОСЕФУС ПФУХФУФŒЙЕ УŒСЪБООЩИ УПУФПСОЙК Œ НЕМЛПК СНЕ. оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП РТЙ D = 2 ЪБДБЮБ П НЕМЛПК СНЕ ЖПТНБМШОП ЬЛŒЙŒБМЕОФОБ ЪБДБЮЕ П ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЕ. рПЬФПНХ ЙОПЗДБ ЗПŒПТСФ, ЮФП ДЙОБНЙЛБ ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЩ ЬЖЖЕЛФЙŒОП ДŒХНЕТОБ.

йОФЕТЕУОП ПГЕОЙФШ ТБЪНЕТ ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЩ. ьФП НПЦОП УДЕМБФШ, ОБРТЙНЕТ, ЙЪ УППФОПЫЕОЙС ОЕПРТЕДЕМЕООПУФЙ. ьОЕТЗЙС ЛБЦДПЗП ЙЪ ЬМЕЛФТПОПŒ Œ РБТЕ ЙНЕЕФ ОЕПРТЕДЕМЕООПУФШ РПТСДЛБ ´ (РПФПНХ ЮФП ЖЙЛУЙТПŒБОБ МЙЫШ УХННБТОБС ЬОЕТЗЙС). уППФŒЕФУФŒХАЭБС ОЕПРТЕДЕМЕООПУФШ ЙНРХМШУБ ЕУФШ ‹p ≈ ´=vF Й, УМЕДПŒБФЕМШОП, РПМПЦЕОЙЕ ЛБЦДПЗП ЙЪ ЬМЕЛФТПОПŒ ПРТЕДЕМЕОП У ФПЮОПУФША ДП

‰ = h=‹p— ≈ hv— F =´ :

(10.9)

ьФП Й ЕУФШ ТБЪНЕТ РБТЩ. рПУЛПМШЛХ РТЙ УМБВПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ – 0 1 ЬОЕТЗЙС УŒСЪЙ ´ ЬЛУРПОЕОГЙБМШОП НБМБ, ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ Œ РБТЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС ЗПТБЪДП ВПМШЫЕ, ЮЕН УТЕДОЕЕ ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП РТЕОЕВТЕЦЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН ЬМЕЛФТПОПŒ РБТЩ У ЬМЕЛФТПОБНЙ ЖЕТНЙ-НПТС, ŒППВЭЕ ЗПŒПТС, ОЕЛПТТЕЛФОП. рПЬФПНХ ТБУУНПФТЕООБС ОБНЙ ЪБДБЮБ ПВ ПДОПК ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЕ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК МЙЫШ ОБŒПДСЭЕЕ УППВТБЦЕОЙЕ. фЕН ОЕ НЕОЕЕ, ЛБЛ ВХДЕФ РПЛБЪБОП ОЙЦЕ, РПМХЮЕООБС ПГЕОЛБ ЬОЕТЗЙЙ УŒСЪЙ (10.8) ОЕ ПЮЕОШ ДБМЕЛБ ПФ ЪОБЮЕОЙС, РТЕДУЛБЪЩŒБЕНПЗП ФПЮОПК ФЕПТЙЕК. лТПНЕ ФПЗП, РТЕДУФБŒМЕОЙЕ П ЛХРЕТПŒУЛЙИ РБТБИ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ РПМЕЪОЩН РТЙ ЛБЮЕУФŒЕООЩИ ТБУУХЦДЕОЙСИ.

10.1.2. лŒБЪЙЮБУФЙГЩ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ.

рЕТЕКДЕН Л ВПМЕЕ ЖПТНБМШОПНХ БОБМЙЪХ ЪБДБЮЙ П УŒЕТИРТПŒПДСЭЕН УРБТЙŒБОЙЙ. ъБРЙЫЕН ЗБНЙМШФПОЙБО УЙУФЕНЩ У РТЙФСЦЕОЙЕН:

 

 

 

1

+

 

âëû =

 

‰p ap+ap

− 2

 

Vp p q q ap¸+ ap+˛ aq˛ aq ¸

(10.10)

H

p

 

p p =q+q

 

 

 

 

 

 

 

 

лБЛ Й ТБОШЫЕ, ВХДЕН УЮЙФБФШ, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ПФМЙЮОП ПФ ОХМС ФПМШЛП ŒВМЙЪЙ

ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ:

 

 

 

Vp p q q =

–

ÐÒÉ ‰max < !D ,

(10.11)

0

ÐÒÉ ‰max > !D ,

ÇÄÅ ‰max = max{|‰p|; |‰p |; |‰q |; |‰q |}. œЩТБЦЕОЙЕ (10.10) ОБЪЩŒБЕФУС ЗБНЙМШФПОЙБОПН ФЕПТЙЙ вБТДЙОБ{лХРЕТБ{ыТЙЖЖЕТБ (влы).

рТЙ УМБВПН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЙ НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ, ЛПОУФБОФХ – НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ

ЮЕТЕЪ ВЕЪТБЪНЕТОХА ЛПОУФБОФХ “ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС: – = g2− =

e ph

278 змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш

“ = 0 (УН. У. 114). уМЕДХЕФ ПФНЕФЙФШ, ЮФП Œ ТЕБМШОЩИ УЙУФЕНБИ (Ф. Е. РТЙ “ ≈ 1) УŒСЪШ НЕЦДХ – Й “ ОЕ ФБЛБС РТПУФБС. œ ЬФПН УМХЮБЕ ЙЪ-ЪБ УЙМШОПК РЕТЕОПТНЙТПŒЛЙ ЬМЕЛФТПООПЗП УРЕЛФТБ ФЕПТЙС УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ ДПМЦОБ УБНПУПЗМБУПŒБООП ХЮЙФЩŒБФШ ŒУЕ ЬЖЖЕЛФЩ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ПВУХЦДБŒЫЙЕУС Œ ЗМ. 6. фЕН ОЕ

НЕОЕЕ, ЗБНЙМШФПОЙБО влы У – ≈ ge2−ph ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒРПМОЕ ТБЪХНОЩН РТЙВМЙЦЕОЙЕН ДБЦЕ РТЙ “ ≈ 1.

хРТПУФЙН ЗБНЙМШФПОЙБО влы, ПУФБŒЙŒ Œ ОЕН МЙЫШ ЮМЕОЩ, ПФŒЕЮБАЭЙЕ ЪБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ:

 

 

–

 

 

H =

‰pap+ap −

2

ap+¸a−+p ˛ aq ˛ a−q ¸ :

(10.12)

 

p

 

p q

 

рПМХЮЙŒЫЙКУС ЗБНЙМШФПОЙБО ŒУЕ ЕЭЕ ДПŒПМШОП УМПЦЕО. рПЬФПНХ ДМС ЕЗП БОБМЙЪБ НЩ ŒПУРПМШЪХЕНУС ФЕПТЙЕК УТЕДОЕЗП РПМС.

œ ЪБДБЮЕ П УŒЕТИРТПŒПДСЭЕН УРБТЙŒБОЙЙ ФЕПТЙС УТЕДОЕЗП РПМС ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШ-

НБ ОЕФТЙŒЙБМШОПК. œŒЕДЕН ПРЕТБФПТЩ B¸˛

 

=

 

 

−

 

, ПРЙУЩŒБАЭЙЕ ТПЦДЕОЙЕ

 

 

a+

 

a+

p ˛

 

 

 

 

 

p ¸

 

 

 

 

|

 

p

 

 

 

 

 

УРЙОПŒ

 

+

. œЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Œ ЗБНЙМШФПОЙБОЕ

ЛХРЕТПŒУЛПК РБТЩ У ЛПОЖЙЗХТБГЙЕК

 

 

 

 

 

. дБМЕЕ, ОЕФТХДОП РПЛБЪБФШ, ЮФП

(10.12) НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ Œ ŒЙДЕ −(–=2) ¸˛ B¸˛ B¸˛

B↑↑

É {

= ↓↓

B

↑+(r);

↓

 

}

 

=

 

 

+(r)

+(r) = 0

 

0, Á B

↑↓

−

B . (дМС ЬФПЗП ОБДП ТБУУНПФТЕФШ ФПЦДЕУФŒБ

=+

 

 

↓↑

¸

¸

 

 

(r) + = 0, Й РЕТЕКФЙ Œ ЖХТШЕ-РТЕДУФБŒМЕОЙЕ.) рПЬФПНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ

− +

Œ (10.12) НПЦОП РТЕДУФБŒЙФШ Œ ŒЙДЕ –B↑↓B↑↓.

рТЙ ВПЪЕ-ЛПОДЕОУБГЙЙ РБТ ŒУЕ ПОЙ ПЛБЪЩŒБАФУС Œ ПДОПН Й ФПН ЦЕ ЛŒБОФПŒПН УП-

УФПСОЙЙ, РПЬФПНХ НЩ РТЕДРПМБЗБЕН, ЮФП Œ УŒЕТИРТПŒПДСЭЕН УПУФПСОЙЙ УТЕДОЕЕ ПФ

ПРЕТБФПТБ ТПЦДЕОЙС РБТЩ ПФМЙЮОП ПФ ОХМС: B = 0. фБЛПЕ РТЕДРПМПЦЕОЙЕ НПЦЕФ РП-

ЛБЪБФШУС РТПФЙŒПТЕЮЙŒЩН, ŒЕДШ ПРЕТБФПТ ОЕ УПИТБОСЕФ ЮЙУМП ЮБУФЙГ, Б УПУФПСОЙС

B

У ТБЪМЙЮОЩН ЮЙУМПН ЮБУФЙГ ДПМЦОЩ ВЩФШ ПТФПЗПОБМШОЩ. дЕМП, ПДОБЛП, ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП НЩ ТБУУНБФТЙŒБЕН УЙУФЕНХ У ПЮЕОШ ВПМШЫЙН ЮЙУМПН ЮБУФЙГ N , Й ЙЪНЕОЕОЙЕ N ОБ ŒЕМЙЮЙОХ РПТСДЛБ ЕДЙОЙГЩ ЕУФШ Œ ОЕЛПФПТПН УНЩУМЕ ĂНБМБС РПРТБŒЛБĄ. рПЬФПНХ НПЦОП УЮЙФБФШ, ЮФП ПУОПŒОЩЕ УПУФПСОЙС У N Й У N + 2 ЮБУФЙГБНЙ РТБЛФЙЮЕУЛЙ ФПЦДЕУФŒЕООЩ. вПМЕЕ РПДТПВОП УНЩУМ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩИ ĂБОПНБМШОЩИ УТЕДОЙИĄ НЩ ПВУХДЙН ОЙЦЕ (УН. РХОЛФЩ 10.2.1 Й 10.2.2), Б РПЛБ РТПУФП ЪБНЕОЙН Œ ЗБНЙМШФП-

ОЙБОЕ (10.12) ПРЕТБФПТЩ B+ =

p

a+ a+

p

 

É B =

 

a

p↓

a

−p↑

ОБ ЙИ УТЕДОЙЕ. рТЙ ЬФПН

 

↑↓

p

↑ −

↓

↑↓

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вПЗПМАВПŒБ:

 

 

РПМХЮБЕФУС ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ЗБНЙМШФПОЙБО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H =

p ‰p(ap+↑ap↑ + ap+↓ap↓) + ´ap+↓a−+p↑ + ´ ap↑a−p↓ ;

(10.13)

ÇÄÅ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aq↓a−q↑ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

´ = –

´ = –

aq+↑a−+q↓ :

(10.14)

 

q

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

(œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (10.13) НЩ РТЕОЕВТЕЗМЙ ОЕУХЭЕУФŒЕООПК ЛПОУФБОФПК −–|´|2.) зБНЙМШФПОЙБО (10.13) ЛŒБДТБФЙЮЕО РП ПРЕТБФПТБН ap ¸, a+p ˛ , Й РПЬФПНХ ЕЗП НПЦОП МЕЗЛП ДЙБЗПОБМЙЪПŒБФШ У РПНПЭША ЛБОПОЙЮЕУЛПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС. œŒЕДЕН ДМС ЬФПЗП ОПŒЩЕ

Смотрите также файлы