Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, Й ХТБŒОЕОЙСНЙ УБНПУПЗМБУПŒБОЙЕ ДМС ЭЕМЙ Œ УРЕЛФТЕ. оЕУНПФТС ОБ ЖПТНБМШОПЕ УИПДУФŒП, ЖЙЪЙЛБ ŒПЪОЙЛБАЭЕЗП ЙЪ-ЪБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС Œ ЬФЙИ УЙУФЕНБИ УПŒЕТЫЕООП ТБЪОБС. œ ФЕПТЙЙ влы УРБТЙŒБАФУС ЬМЕЛФТПОЩ ОБ РТПФЙŒПРПМПЦОЩИ ХЮБУФЛБИ ЖЕТНЙ РПŒЕТИОПУФЙ,

ÁŒ ФЕПТЙЙ рБКЕТМУБ УРБТЙŒБАФУС ЬМЕЛФТПОЩ Й ДЩТЛЙ. œ РЕТŒПН УМХЮБЕ РПМХЮБЕФУС УŒЕТИРТПŒПДОЙЛ,

ÁŒП ŒФПТПН | ДЙЬМЕЛФТЙЛ. уŒЕТИРТПŒПДСЭЕЕ УПУФПСОЙЕ РТПУФТБОУФŒЕООП ПДОПТПДОП, Б Œ РБКЕТМУПŒУЛПН УПУФПСОЙЙ ЙНЕЕФУС ŒПМОБ РМПФОПУФЙ.

10.2.дЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ ДМС ФЕПТЙЙ вБТДЙОБ{ лХРЕТБ{ыТЙЖЖЕТБ

10.2.1. тБУУЕСОЙЕ Œ ЛХРЕТПŒУЛПН ЛБОБМЕ.

пВТБЪПŒБОЙЕ РБТ | СŒМЕОЙЕ УХЭЕУФŒЕООП ЛŒБОФПŒПЕ. рПЬФПНХ Œ ЪБДБЮЕ П УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ ЖПТНБМЙЪН ЖХОЛГЙК зТЙОБ ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒЕУШНБ РПДИПДСЭЙН УТЕДУФŒПН. у РПНПЭША УППФŒЕФУФŒХАЭЙН ПВТБЪПН ŒŒЕДЕООЩИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК ФЕПТЙА УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ НПЦОП ТБЪŒЙФШ ŒЕУШНБ ДБМЕЛП Й ТБУУНПФТЕФШ ФБЛЙЕ ŒПРТПУЩ, ЛБЛ ФЕТНПДЙОБНЙЛБ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛПŒ, ТПМШ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ УРБТЙŒБОЙЙ, ПФЛМЙЛ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛПŒ ОБ ŒОЕЫОЕЕ ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОПЕ РПМЕ, Й Ф. Д. лТПНЕ ФПЗП, ВПМШЫПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ЙНЕЕФ ПВПВЭЕОЙЕ ФЕПТЙЙ влы ОБ УМХЮБК ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩИ ĂЗТСЪОЩИĄ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛПŒ, Ф. Е. НЕФБММПŒ У РТЙНЕУСНЙ. œ РПУМЕДОЕН УМХЮБЕ, ЛБЛ НЩ ХŒЙДЙН, РТЕЙНХЭЕУФŒБ ЖХОЛГЙК зТЙОБ ПУПВЕООП ЪОБЮЙФЕМШОЩ.

œ РТЕДЩДХЭЙИ ЗМБŒБИ НЩ ТБУУНБФТЙŒБМЙ МЙВП ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙЕ, МЙВП УМБВП ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙЕ УЙУФЕНЩ, Œ ЛПФПТЩИ ЛŒБОФПŒЩЕ ЬЖЖЕЛФЩ, Œ ПУОПŒОПН, ŒПЪОЙЛБМЙ ЙЪ-ЪБ ЛŒБОФПŒПК УФБФЙУФЙЛЙ (ЛБЛ, ОБРТЙНЕТ, Œ ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ). рП ЬФПК РТЙЮЙОЕ НОПЗЙЕ ЙЪ ТЕЪХМШФБФПŒ РТЕДЩДХЭЙИ ЗМБŒ НПЦОП РПМХЮЙФШ, ЙУРПМШЪХС ŒНЕУФП ЖХОЛГЙК зТЙОБ ЛБЛПК-ОЙВХДШ ПВИПДОПК РТЙЕН. (оБРТЙНЕТ, ПФЛМЙЛ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ ОБ ŒОЕЫОЕЕ РПМЕ НПЦОП ОБКФЙ МЙВП У РПНПЭША ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ХТБŒОЕОЙС, МЙВП ŒЩРЙУЩŒБС СŒОП ŒФПТПК РПТСДПЛ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК.) фЕПТЙС ЦЕ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ ЙНЕЕФ ДЕМП У УЙМШОП ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНПК, Œ ЛПФПТПК ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ЛБЮЕУФŒЕООПК РЕТЕУФТПКЛЕ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС. рПЬФПНХ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ПЛБЪЩŒБАФУС ОЕ ФПМШЛП ОБЙВПМЕЕ ЕУФЕУФŒЕООЩН, ОП Й ŒП НОПЗЙИ УМХЮБСИ ЕДЙОУФŒЕООП ŒПЪНПЦОЩН ЙОУФТХНЕОФПН.

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ, ЛБЛ ЪБДБЮБ П УŒЕТИРТПŒПДСЭЕН УРБТЙŒБОЙЙ РЕТЕŒПДЙФУС ОБ СЪЩЛ ДЙБЗТБННОПК ФЕИОЙЛЙ. уОБЮБМБ ТБЪВЕТЕНУС, ЮФП ОБ СЪЩЛЕ ДЙБЗТБНН ПЪОБЮБЕФ ХФŒЕТЦДЕОЙЕ ПВ ПВТБЪПŒБОЙЙ УŒСЪБООПЗП УПУФПСОЙС ДМС РБТЩ ЬМЕЛФТПОПŒ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ. лБЛ ЙЪŒЕУФОП, УŒСЪБООПНХ УПУФПСОЙА УППФŒЕФУФŒХЕФ РПМАУ Œ БНРМЙФХДЕ ТБУУЕСОЙС (УН. ЪБДБЮЙ 12, 13 Œ ЗМ. 3), РПЬФПНХ ЕУФЕУФŒЕООП ТБУУНПФТЕФШ ŒЕТЫЙООХА ЮБУФШ ТБУУЕСОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ ДТХЗ ОБ ДТХЗЕ. œЛМБДЩ РЕТŒПЗП Й ŒФПТПЗП РПТСДЛБ РП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ЙНЕАФ ŒЙД

òÉÓ. 10.2

рЕТŒПК ДЙБЗТБННЕ УППФŒЕФУФŒХЕФ

œФПТБС ДЙБЗТБННБ ОБ ТЙУ. 10.2, РТЕДУФБŒМСАЭБС УПВПК РПРТБŒЛХ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ТБУИПДЙФУС:

ъДЕУШ ! | УХННБТОБС ЬОЕТЗЙС ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЬМЕЛФТПОПŒ. уППФŒЕФУФŒХАЭБС ДЙБЗТБННБ ВХДЕФ ŒЩЮЙУМЕОБ Œ ЪБДБЮЕ 58 (УН. ФБЛЦЕ [1], § 33).

дЙБЗТБННЩ ВПМЕЕ ŒЩУПЛЙИ РПТСДЛПŒ, ОБЙВПМЕЕ УЙОЗХМСТОЩЕ РТЙ ! → 0, ПВТБЪХАФ ФБЛПК ТСД:

òÉÓ. 10.3

œ ЬФПН ТСДЕ ДЙБЗТБННБ n-ЗП РПТСДЛБ РП – ЙНЕЕФ n − 1 ĂПРБУОЩИĄ УЕЮЕОЙК, ЙНРХМШУЩ ЮБУФЙГ Œ ЛПФПТЩИ РПРБТОП РТПФЙŒПРПМПЦОЩ. лБЦДПЕ ФБЛПЕ УЕЮЕОЙЕ РТЙŒПДЙФ Л МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ТБУИПДЙНПУФЙ, РПЬФПНХ n-К ЮМЕО ТСДБ (10.3) ŒЕДЕФ УЕВС ЛБЛ

бНРМЙФХДБ ТБУУЕСОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ, ДБŒБЕНБС УХННПК ТСДБ (10.3), ОБЪЩŒБЕФУС БНРМЙФХДПК ТБУУЕСОЙС Œ ЛХРЕТПŒУЛПН ЛБОБМЕ. рПМАУ Œ

ŒЩТБЦЕОЙЙ (10.23) УМЕДХЕФ ЙОФЕТРТЕФЙТПŒБФШ, ЛБЛ ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, УŒСЪБООХА У ПВТБЪПŒБОЙЕН ЛХРЕТПŒУЛЙИ РБТ.

пЛБЪЩŒБЕФУС, ОЕХУФПКЮЙŒПУФШ ŒПЪОЙЛБЕФ ФПМШЛП РТЙ ДПУФБФПЮОП ОЙЪЛПК ФЕНРЕТБФХТЕ. юФПВЩ Œ ЬФПН ХВЕДЙФШУС, ТБУУНПФТЙН ЖЕТНЙ-ЗБЪ У РТЙФСЦЕОЙЕН (10.10) Й ОБКДЕН ĂЛХРЕТПŒУЛХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШĄ. œŒЕДЕН Œ ЗБНЙМШФПОЙБО (10.10) ŒПЪНХЭЕ-

282 змбœб 10. уœетиртпœпдйнпуфш

РП ПФОПЫЕОЙА Л ŒПЪНХЭЕОЙА (10.24). уТЕДОЕЕ ↑(r) ↓(r) РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК, ЛБЛ ПВУХЦДБМПУШ ŒЩЫЕ, БНРМЙФХДХ ЛХРЕТПŒУЛЙИ РБТ, Б ´ ЙЗТБЕФ ТПМШ ŒУРПНПЗБФЕМШОПЗП ŒОЕЫОЕЗП РПМС.

пРЕТБФПТЩ ↑(r) ↓(r) É ↑+(r) ↓+(r) ŒЩЗМСДСФ ОЕУЛПМШЛП ОЕРТЙŒЩЮОП, РПУЛПМШЛХ ПОЙ ОЕ УПИТБОСАФ ЮЙУМП ЮБУФЙГ. уТЕДОЕЕ ПФ ФБЛПЗП ПРЕТБФПТБ, ŒЪСФПЕ РП УПУФПСОЙА У ЖЙЛУЙТПŒБООЩН ЮЙУМПН ЮБУФЙГ, ПВТБЭБЕФУС Œ ОХМШ. фЕН ОЕ НЕОЕЕ, РПДЮЕТЛОЕН, ЮФП ЛХРЕТПŒУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЕУФШ ЛПТТЕЛФОП ПРТЕДЕМЕООБС ŒЕМЙЮЙОБ: Œ РТЙУХФУФŒЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙС (10.24), ОЕ УПИТБОСАЭЕЗП ЮЙУМП ЮБУФЙГ, УТЕДОЕЕ ↑(r) ↓(r) ПФМЙЮОП ПФ ОХМС.

рЕТЕД ФЕН, ЛБЛ ŒЩЮЙУМСФШ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ C , ПФНЕФЙН, ЮФП ПОБ ПФМЙЮБЕФУС ПФ ПФЛМЙЛБ ОБ ŒПЪДЕКУФŒЙЕ ЛБЛПЗП-МЙВП ТЕБМШОПЗП РПМС ФЕН, ЮФП РПМЕ ´ ОЕМШЪС РТЙМПЦЙФШ. пДОБЛП ОБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ОБ УБНПН ДЕМЕ МЙЫШ, ХУФПКЮЙŒБ МЙ УЙУФЕНБ РП ПФОПЫЕОЙА Л ФБЛПНХ ŒПЪНХЭЕОЙА. оЕХУФПКЮЙŒПУФШ, ЕУМЙ ПОБ ЙНЕЕФУС, ПЪОБЮБЕФ, ЮФП УЙУФЕНБ УБНБ РЕТЕУФТБЙŒБЕФУС ФБЛ, ЮФПВЩ РПСŒЙМУС ЛПОДЕОУБФ ЛХРЕТПŒУЛЙИ РБТ↑(r) ↓(r) = 0 (Б ŒНЕУФЕ У ОЙН Й ПФМЙЮОБС ПФ ОХМС ´).

рПЛБЦЕН, ЮФП ЛХРЕТПŒУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ C ЛПОЕЮОБ РТЙ T > Tc Й ПВТБЭБЕФУС Œ ВЕУЛПОЕЮОПУФШ РТЙ T = Tc, ÇÄÅ Tc ≈ ´ | ФЕНРЕТБФХТБ РЕТЕИПДБ Œ УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЕ УПУФПСОЙЕ. йОФЕТЕУХАЭБС ОБУ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ ЕУФШ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛБС ŒЕМЙЮЙОБ,

РПЬФПНХ ЕЕ УМЕДХЕФ ŒЩЮЙУМСФШ У РПНПЭША НБГХВБТПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ. уППФŒЕФУФŒХАЭБС РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ДЙБЗТБННЩ ПВТБЪХЕФ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНХА ЛХРЕТПŒУЛХА МЕУФОЙГХ:

òÉÓ. 10.4

оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ЬФЙ ДЙБЗТБННЩ РПМХЮБАФУС ЙЪ ДЙБЗТБНН ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС ЪБНЩЛБОЙЕН ŒОЕЫОЙИ ЛПОГПŒ. рПЬФПНХ ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ C ÒÁŒÎÁ

оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ, РПЬФПНХ РПМПЦЙН !n = 0. уХННЙТХС РП m У РПНПЭША ЖПТНХМЩ (7.85) (УН. ФБЛЦЕ (7.83)) Й РЕТЕИПДС Л ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙА РП ‰, РПМХЮБЕН

−!D

ЮФП У МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША ЕУФШ 0 ln !D =T (УН. ЪБДБЮХ 58, Б ФБЛЦЕ [1], § 33).