Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

`C (i"; i" )) (ЬОЕТЗЙЙ УФБМЛЙŒБАЭЙИУС ЮБУФЙГ ТБŒОЩ ±", a ТБЪМЕФБАЭЙИУС | ±" ). пОБ ДБЕФУС УХННПК МЕУФОЙЮОЩИ ЗТБЖЙЛПŒ, ЙЪПВТБЦЕООЩИ ОБ ТЙУ. 10.8.

òÉÓ. 10.8

рХУФШ ЛБЦДПК ŒПМОЙУФПК МЙОЙЙ УППФŒЕФУФŒХЕФ НОПЦЙФЕМШ `0(i"; i" ). вХДЕН УЮЙФБФШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ФПЮЕЮОЩН Й УППФŒЕФУФŒЕООП РТЕОЕВТЕЦЕН ЪБŒЙУЙНПУФША `C É `0 ПФ ЙНРХМШУПŒ.

Б) уХННЙТХС ЛХРЕТПŒУЛХА МЕУФОЙГХ, ŒЩŒЕДЙФЕ ЙОФЕЗТБМШОПЕ ХТБŒОЕОЙЕ, ПРТЕДЕМСАЭЕЕ `C (i"; i" ).

ЗДЕ – | ЛПОУФБОФБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, Б ЖХОЛГЙС v(i") | ЖПТНЖБЛФПТ, ПРТЕДЕМСАЭЙК НБУЫФБВ ЬОЕТЗЙК (УРЙОПŒБС УФТХЛФХТБ ПРХЭЕОБ). оБКДЙФЕ ФЕНРЕТБФХТХ, РТЙ ЛПФПТПК `C ПВТБЭБЕФУС Œ ВЕУЛПОЕЮОПУФШ.

Œ) œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ

ОБКДЙФЕ УŒСЪШ НЕЦДХ Tc É !D .

нПДЕМШ (10.45) ОЕЖЙЪЙЮОБ, РПУЛПМШЛХ ОБУФПСЭЕЕ ЬМЕЛФТПО-ЖПОПООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ РТЙŒПДЙФ Л ЪБФТБŒПЮОПК ŒЕТЫЙОЕ `0, ЪБŒЙУСЭЕК ПФ РЕТЕДБООПК ЬОЕТЗЙЙ " − " . фЕН ОЕ НЕОЕЕ, РПУЛПМШЛХ ЬФБ НПДЕМШ ХЮЙФЩŒБЕФ ЪБРБЪДЩŒБОЙЕ РТЙФСЦЕОЙС НЕЦДХ ЬМЕЛФТПОБНЙ ОБ ŒТЕНЕОБИ ≈ !D−1, ПОБ ДБЕФ ЛБЮЕУФŒЕООП РТБŒЙМШОЩЕ РТЕДУЛБЪБОЙС.

ъБДБЮБ 59. (фЕНРЕТБФХТОБС ЪБŒЙУЙНПУФШ ЭЕМЙ ´(T ).) пРТЕДЕМЙФЕ ФЕНРЕТБФХТОХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ´(T ) ДМС ЪБРБЪДЩŒБАЭЕЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС (10.45), (10.46) ЙЪ ЪБДБЮЙ 58. рТЙНЙФЕ ŒП ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП ЙЪ-ЪБ ЪБРБЪДЩŒБОЙС ЭЕМШ ´ УФБОПŒЙФУС ЖХОЛГЙЕК ЬОЕТЗЙЙ " УРБТЙŒБАЭЙИУС ЮБУФЙГ.

~

Б) уППФŒЕФУФŒЕООП ТБУУНПФТЙФЕ ŒЕМЙЮЙОХ ´(") Й, НПДЙЖЙГЙТХС ХТБŒОЕОЙС

~

(10.38), (10.39), РПМХЮЙФЕ ДМС ´(") ХТБŒОЕОЙЕ УБНПУПЗМБУПŒБОЙС.

В) œ ОБКДЕООПН ХТБŒОЕОЙЙ ŒЩЮЙУМЙФЕ ЙОФЕЗТБМ РП ‰. йЪПВТБЪЙФЕ ЛБЮЕУФŒЕООПЕ РПŒЕДЕОЙЕ ТЕЫЕОЙС ХТБŒОЕОЙС ´(T ) ОБ ЗТБЖЙЛЕ. лБЛ ´(T ) ŒЕДЕФ УЕВС РТЙ T → 0 É ÐÒÉ T → Tc?

Œ) оБКДЙФЕ УŒЕТИРТПŒПДСЭХА ЭЕМШ ´(T ) Œ РТЕДЕМЕ ОЙЪЛЙИ ФЕНРЕТБФХТ (T → 0)

Й ŒВМЙЪЙ ФПЮЛЙ РЕТЕИПДБ (T → Tc).

ъБДБЮБ 60. (фЕРМПЕНЛПУФШ РТЙ T < Tc.) рПЛБЦЙФЕ, ЮФП ŒЛМБД ЬМЕЛФТПОПŒ Œ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ˙ УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЗП НЕФБММБ ДБЕФУС ДЙЗТБННОЩН

вЕЪТБЪНЕТОБС ŒЕМЙЮЙОБ ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММЕ ЕУФШ 0— ≈ e2=hv— F Œ РТЕДЕМЕ ŒЩУПЛПК ЬМЕЛФТПООПК РМПФОПУФЙ Й 0— ≈ 1 РТЙ ПВЩЮОЩИ ЪОБЮЕОЙСИ РМПФОПУФЙ. уППФŒЕФУФŒЕООП НБЛУЙНБМШОП ŒПЪНПЦОБС РПРТБŒЛБ Л ЬЖЖЕЛФЙŒОПК ЛПОУФБОФЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС – , УПЗМБУОП (10.49), ЙНЕЕФ ПФОПУЙФЕМШОХА НБМПУФШ 1= ln("F =!D). рПЬФПНХ ЛХМПОПŒУЛПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Œ ОПТНБМШОПН НЕФБММЕ ОЕ НПЦЕФ РТЕŒТБФЙФШ РТЙФСЦЕОЙЕ Œ ПФФБМЛЙŒБОЙЕ Й, УМЕДПŒБФЕМШОП, ОЕ РПДБŒМСЕФ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФШ.

юФПВЩ ХУФБОПŒЙФШ УППФŒЕФУФŒЙЕ НЕЦДХ НПДЕМША (10.48) Й ТЕБМШОЩН ЛХМПОПŒУЛЙН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН V (q) Œ РЕТŒПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ ДПУФБФПЮОП РПДУФБŒЙФШ ŒНЕУФП — УТЕДОЕЕ ЪОБЮЕОЙЕ V (q) Œ s-ЛБОБМЕ. дМС УМХЮБС ЬЛТБОЙТПŒБООПЗП ЛХМПОПŒУЛПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС

(УН. ЪБДБЮХ 45) РПМХЮБЕН УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

ЗДЕ ХУТЕДОЕОЙЕ РТПЙЪŒПДЙФУС РП РПМПЦЕОЙСН ЙНРХМШУПŒ p Й p ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ.

ъБДБЮБ 62. (фПЦДЕУФŒП хПТДБ Œ ОПТНБМШОПН НЕФБММЕ.) рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОПЗП ПФЛМЙЛБ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ ГЕОФТБМШОПЕ НЕУФП ЪБОЙНБЕФ ТБУУНПФТЕООПЕ Œ ЗМ. 9 ФПЦДЕУФŒП хПТДБ (9.16), УМЕДХАЭЕЕ ЙЪ ЛБМЙВТПŒПЮОПК ЙОŒБТЙБОФОПУФЙ. пОП РТЙŒПДЙФ Л УПЛТБЭЕОЙА ЗТБДЙЕОФОПЗП Й ДЙБНБЗОЙФОПЗП ŒЛМБДПŒ Œ ЬМЕЛФТЙЮЕУЛЙК ФПЛ, У ЛПФПТЩН НЩ ХЦЕ УФБМЛЙŒБМЙУШ Œ ЪБДБЮЕ 51 РТЙ ŒЩŒПДЕ ЖПТНХМЩ дТХДЕ. рТЕЦДЕ ЮЕН ЪБОЙНБФШУС ЬМЕЛФТПДЙОБНЙЛПК УŒЕТИРТПŒПДОЙЛПŒ, ЙЪХЮЙН ФПЦДЕУФŒП (9.16) ВПМЕЕ РПДТПВОП Œ УМХЮБЕ ОПТНБМШОПЗП НЕФБММБ.

Б) тБУУНПФТЙН МЙОЕКОЩК ПФЛМЙЛ ФПЛБ j Œ ЙДЕБМШОПН ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ ЬМЕЛФТПОПŒ ОБ ОЕПДОПТПДОЩК УФБФЙЮЕУЛЙК ŒЕЛФПТОЩК РПФЕОГЙБМ A. œ ЙНРХМШУОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ МЙОЕКОПЕ УППФОПЫЕОЙЕ j Й A ЪБРЙУЩŒБЕФУС ЛБЛ jk = Q(k) Ak. лБМЙВТПŒПЮОБС ЙОŒБТЙБОФОПУФШ ФТЕВХЕФ, ЮФПВЩ ДМС СДТБ Q(k) ŒЩРПМОСМПУШ УŒПКУФŒП Q(k = 0) = 0. уПЗМБУОП ФПЦДЕУФŒХ хПТДБ, ЬФП ТБŒЕОУФŒП ПВЕУРЕЮЙŒБЕФУС УПЛТБЭЕОЙЕН ЗТБДЙЕОФОПКv G v G Й ДЙБНБЗОЙФОПК ЮБУФЕК ФПЛБ j = −mce +(r) (r) A(r) (УН. ЪБДБЮХ 51).

рТПŒЕТШФЕ ЬФП УПЛТБЭЕОЙЕ ЕЭЕ ТБЪ Œ ВПМЕЕ ПВЭЕН ŒЙДЕ, ОЕ РТЕДРПМБЗБС УРЕЛФТ ЬМЕЛФТПОПŒ ‰(p) ЛŒБДТБФЙЮОЩН, Б УЮЙФБС ЕЗП РТПЙЪŒПМШОПК ЖХОЛГЙЕК. йУРПМШЪХКФЕ

УППФОПЫЕОЙЕ v(p) = p‰(p).

В) (дЙБНБЗОЕФЙЪН мБОДБХ.) у РПНПЭША ФПЦДЕУФŒБ хПТДБ НПЦОП ОБКФЙ ПТВЙФБМШОХА НБЗОЙФОХА ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ 0 ЗБЪБ ОЕŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЬМЕЛФТПОПŒ. уПЗМБУОП ТЕЪХМШФБФХ ЮБУФЙ Б), ТБЪМПЦЕОЙЕ Q(k) РП k ОБЮЙОБЕФУС У ЮМЕОБ ŒФПТПК

УФЕРЕОЙ: Q(k) = ak2 + O(k4).

+ ω, p + k

, p

òÉÓ. 10.10

тБЪМПЦЙФЕ РЕФМА, РПЛБЪБООХА ОБ ТЙУ. 10.10, РП k Й ПРТЕДЕМЙФЕ ЛПОУФБОФХ a. лБЛ a УŒСЪБОБ У 0? рТПŒЕТШФЕ, ЮФП 0 = −13 ÐÁÒÁ, ÇÄÅ ÐÁÒÁ | РБТБНБЗОЙФОБС ŒПУРТЙЙНЮЙŒПУФШ, ОБКДЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 23 (УН. [1], § 37).

еУМЙ ВЩ ОБУ ЙОФЕТЕУПŒБМП ОЕ УПЛТБЭЕОЙЕ Q(0), Б ПДОП ФПМШЛП ŒЩЮЙУМЕОЙЕ 0, НПЦОП ВЩМП

ВЩ ДЕКУФŒПŒБФШ ЙОБЮЕ. тБУУНПФТЙН ПРЕТБФПТ ПТВЙФБМШОПЗП НБЗОЙФОПЗП НПНЕОФБ — = mce [r×p] Й ОБКДЕН ЕЗП УТЕДОЕЕ, ЙУРПМШЪХС ЖХОЛГЙА зТЙОБ Œ УМБВПН НБЗОЙФОПН РПМЕ: GH (E; r1; r2) =

exp(i —e A(r )dr ) G0(E; r1; r2). (йОФЕЗТБМ ВЕТЕФУС РП РТСНПНХ РХФЙ, УПЕДЙОСАЭЕНХ r1 É r2.) œÏÓ-

hc

РТЙЙНЮЙŒПУФШ 0 РПМХЮЙФУС, ЕУМЙ ŒЩДЕМЙФШ ЙЪ GH МЙОЕКОЩК РП H ÞÌÅÎ (ÓÍ. [1], § 38, Ó. 416).

ъБДБЮБ 63. (хТБŒОЕОЙЕ мПОДПОПŒ.) оБКДЙФЕ ПФЛМЙЛ ФПЛБ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ ОБ УФБФЙЮЕУЛЙК ŒЕЛФПТОЩК РПФЕОГЙБМ. пФМЙЮЙЕ ПФ ЪБДБЮЙ 62 УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП ФЕРЕТШ УПЛТБЭЕОЙС РТЙ q = 0 ОЕФ. рПМПЦЙŒ q = 0 Œ УППФОПЫЕОЙЙ jq = Q(q) Aq, РПМХЮЙН ФБЛ ОБЪЩŒБЕНПЕ ХТБŒОЕОЙЕ мПОДПОПŒ:

œЕМЙЮЙОБ ns ОБЪЩŒБЕФУС УŒЕТИФЕЛХЮЕК РМПФОПУФША. лБЛ УŒСЪБОЩ ns É ´ ÐÒÉ |T − Tc| Tc?

жЙЪЙЮЕУЛБС РТЙЮЙОБ ПФУХФУФŒЙС УПЛТБЭЕОЙС ŒЛМБДПŒ Œ Q(0) ЪБЛМАЮБЕФУС Œ ФПН, ЮФП ЛБМЙВТПŒПЮОБС ЙОŒБТЙБОФОПУФШ Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ УРПОФБООП ОБТХЫЕОБ. œ ОПТНБМШОПН НЕФБММЕ УПЛТБЭЕОЙЕ

Q(0) ПВЕУРЕЮЙŒБЕФУС ФПЦДЕУФŒПН хПТДБ (9.16), УМЕДХАЭЙН ЙЪ ЛБМЙВТПŒПЮОПК ЙОŒБТЙБОФОПУФЙ. б Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛЕ ЛБМЙВТПŒПЮОБС ЙОŒБТЙБОФОПУФШ ПФУХФУФŒХЕФ.

пРТЕДЕМЙФЕ ЗМХВЙОХ РТПОЙЛОПŒЕОЙС НБЗОЙФОПЗП РПМС Œ УŒЕТИРТПŒПДОЙЛ. дМС ЬФПЗП У РПНПЭША ХТБŒОЕОЙС мПОДПОПŒ ТЕЫЙФЕ ЪБДБЮХ П РТПОЙЛОПŒЕОЙЙ НБЗОЙФОПЗП РПМС Œ ПВ ЕН УŒЕТИРТПŒПДОЙЛБ ŒВМЙЪЙ РПŒЕТИОПУФЙ. рПЛБЦЙФЕ, ЮФП НБЗОЙФОПЕ РПМЕ ЪБФХИБЕФ Œ ЗМХВЙОХ РП ЬЛУРПОЕОГЙБМШОПНХ ЪБЛПОХ: H (x) = H (0) exp(−x=‹˜), x > 0, Й ОБКДЙФЕ УŒСЪШ ‹˜ Ó nS .

рПЛБЦЙФЕ, ЮФП РТЕОЕВТЕЗБФШ ЪБŒЙУЙНПУФША СДТБ Q(q) ПФ q ЪБЛПООП, ЕУМЙ МПОДПОПŒУЛБС ЗМХВЙОБ РТПОЙЛОПŒЕОЙС ‹˜ ДПУФБФПЮОП ŒЕМЙЛБ: ‹˜ ‰0 = hv— F =´0 (ÓÍ. [1], § 37,

Ð. 1).

ъБДБЮБ 64. (фЕПТЕНБ бОДЕТУПОБ.) пВЩЮОП ЗПŒПТСФ, ЮФП ЛХРЕТПŒУЛЙЕ РБТЩ ПВТБ-

ЪПŒБОЩ ЬМЕЛФТПОБНЙ У РТПФЙŒПРПМПЦОЩНЙ ЙНРХМШУБНЙ Й УРЙОБНЙ. пЛБЪЩŒБЕФУС, ВЕУРПТСДПЛ ОЕ ТБЪТХЫБЕФ ЛХРЕТПŒУЛЙЕ РБТЩ, ИПФШ ЙНРХМШУ Й УФБОПŒЙФУС РМПИЙН ЛŒБОФП-