Файл: OTIP.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.07.2024

Просмотров: 382

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

погрешности д .

По определению вероят-

ности попадания случайной величины X в интервал [−

; ], где ≤ a запишем

 

 

 

 

 

P{x [− ;

]} = ∫ p(x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После подстановки (6.7) подставим в (6.8) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x + a

 

 

 

− x + a

 

 

 

 

 

x2

 

 

x

 

0

 

 

 

 

x2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P = ∫

 

2 dx

+∫

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

+

 

 

 

 

 

−

 

 

2

+

 

=

a

 

a

 

dx =

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2a

 

 

 

 

 

−

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

−

 

 

 

 

 

 

a

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

2

 

+

 

−

 

2

 

+

 

 

=

 

 

 

2 −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a2

a

2a2

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P =

 

д

 

 

 

−

 

д

 

или P =

 

d

д

 

 

 

d

д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

−

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д

a

 

 

a

 

 

 

 

 

д

 

 

 

a

 

 

4a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доверительная вероятность Pд

квадратично зависит от доверительного интервала

dд. В частности, при dд = 2a имеем Pд =1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Среднее квадратическое

 

отклонение

 

σ

 

 

 

 

случайной

 

величины. СКО

вычисляется по формуле σ = D . Для определения оценки дисперсии по экспериментальным данным пользуются соотношением (6.3). Следовательно, оценка СКО определяется как

~

1

n

~

2

 

 

σ =

 

∑(xk −mx )

 

,

 

 

 

 

 

n −1 k =1

 

 

~

 

где n – объем выборки, xk – элементы выборки;

 

– оценка математического

mx

ожидания (координата центра распределения).

Основным достоинством оценки разброса случайных величин средним квадратическим значением σ является возможность определения дисперсии суммы статистически независимых величин как

D

n

или σ2

n

σ2

= ∑D

= ∑

Σ

i

Σ

i=1

i

 

i=1

 

 

независимо от разнообразия законов распределения каждой из суммируемых величин.

Таким образом, для того чтобы отдельные составляющие погрешности измерительного прибора можно было суммировать расчетным путем, они должны быть предварительно представлены своими средними квадратическими значениями σ, а не «предельными» max или доверительными д значениями.

При этом появляется возможность расчетным путем не только складывать любое число составляющих погрешности, что необходимо при анализе точности сложных измерительных приборов, но и достаточно точно вычитать погрешности,

72

что необходимо при синтезе сложных приборов с заданной результирующей погрешностью. Действительно, если

σΣ = σ12 + σ22 ,

то

σ2 = σΣ2 − σ12 .

Однако это правомерно только для независимых случайных величин. Суммируемые или вычитаемые составляющие погрешности могут быть взаимно коррелированными. В этом случае приведенные соотношения заметно усложняются, что будет более подробно рассмотрено в п. 8.1.

6.3. Вероятностные характеристики скалярных первичных погрешностей и результатов их действия на показания измерительных приборов

Ранее при расчете погрешностей показаний измерительных приборов мы учитывали только детерминированные первичные погрешности. Теперь рассмотрим примеры вычисления погрешностей приборов в зависимости от первичных скалярных погрешностей, заданных своими вероятностными характеристиками. К скалярным первичным погрешностям относятся такие погрешности, которые заданы только величиной (без указания направления). В тех случаях, когда первичная погрешность является функцией неслучайного параметра (времени, размера и др.), значение функции при фиксированном значении аргумента рассматривается как скалярная погрешность.

Пример 6.2. Двойной синусный механизм.

Схема измерительной цепи с рычажной передачей представлена на рис. 6.7. Звенья 2 и 3 жестко связаны между собой.

В рычажной передаче, преобразующей прямолинейное движение также в прямолинейное, но иначе направленное, размеры плеч рычагов от оси шарнира до

центров сфер

 

q2 = q3 = 12 мм; диапазон

измерения

составляет

0 ≤ x ≤ 6

мм;

первичные

 

погрешности заданы

доверительными

отклонениями

 

д(

q2 ) =

д( q3) = 0,012 мм при доверительной вероятности

Pд = 0,9973

и нормальном

законе распределения с математическим ожиданием

M (

q2 ) =

M (

q3 )

= 0 и

дисперсией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

2 ) =

(

1

2

1

0,012

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 )D= q

д D= q

 

= 0,004

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мм2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

73

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Рис. 6.7. Схема измерительной цепи двойного синусного механизма с рычажной передачей: 0 – корпус прибора; 1 – измерительный стержень; 2 – ведущее звено рычага; 3 – ведомое звено рычага; 4 – выходное звено

Требуется вычислить погрешность показаний прибора, обусловленную случайными первичными погрешностями звеньев 2 и 3.

Функциональная связь между входом x и выходом y рассматриваемой измерительной цепи согласно рис. 6.7 выражается равенством

y = q3 x [мм]. q2

Погрешности показаний прибора в зависимости от скалярных первичных

погрешностей

q2 ,

q3 в соответствии с основной формулой линейной теории

точности (5.13) определяются

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

∂ y

q

 

 

q

3

 

x q

 

 

 

 

y

 

 

 

∂ y

 

q

 

 

x

q

 

 

 

q2

=

 

 

2

= −

 

 

 

2

,

 

q3

=

 

 

 

3

=

 

3

.

(6.9)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂q3

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

∂q2 q

2 O

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 O

 

 

 

 

 

 

 

 

Суммарная погрешность показаний прибора равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yqΣ

= yq

 

 

+ yq

 

 

= −

q3

 

x q2 +

x

 

q2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

q22

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При заданных значениях параметров найдем максимальную величину

погрешности

yqΣmax

 

в

зависимости

от

максимальных значений

детерминированных первичных погрешностей,

равных

q2 = −0,012 мм,

q3 = +0,012 мм при x = 6 мм

 

 

 

 

 

 

yqΣmax = −

 

12

6 (−0,012) +

6

0,012 = 0,012 мм.

(6.10)

 

122

 

 

 

12

 

 

 

Применим операцию математического ожидания к выражениям (6.9) и получим математические ожидания составляющих yq2 , yq3 погрешности

показаний прибора

M [ yq

] = −

q3

x M [ q2 ] = 0 ,

M [ yq ] =

x

M [ q3 ] = 0 .

 

q22

 

2

 

 

3

q2

Дисперсии погрешностей показаний при x = 6 мм

 

 

 

 

q

3

 

2

 

 

 

12

 

 

2

 

−

 

D[ y

q2

] =

−

 

x

D[ q

2

] =

−

 

 

 

6

 

0,0042

= 4 10

 

6 мм2 ,

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74

 

 

 

 

x

 

2

 

 

6

 

2

 

2

 

−6

 

2

 

D[

y

q3

] =

 

 

D[

q

3

] =

 

 

0,004

 

= 4 10

 

мм

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем дисперсию суммарной погрешности

yqΣ

 

 

 

 

 

D[ yqΣ ] = D[ yq3 ] + D[ yq3 ] = 8 10−6 мм2 .

Среднее квадратическое отклонение суммарной погрешности yqΣ

σ( yqΣ ) = D[ yqΣ ] = 2 2 10−3 мм.

Доверительное отклонение д для yqΣ при доверительной вероятности Pд = 0,9973 и нормальном распределении (поскольку слагаемые распределены нормально)

д( yqΣ ) = 3σ(

yqΣ ) = 6 2 10−3 ≈ 0,0085 мм.

Следовательно, доверительный

интервал равен

2 д(

yqΣ ) ≈ 0,017 мм.

Интервал между наибольшими возможными абсолютными значениями

суммарной

погрешности

yqΣmax в зависимости от детерминированных

первичных погрешностей равен 2

yqΣmax = 0,024 мм согласно (6.10). В интервале

между 0,017

и 0,024 мм

будет

только 0,27% случаев появления yqΣ, этим

процентом, как правило, пренебрегают.

Пример 6.3. Мостовая измерительная электрическая схема.

Для мостовой измерительной электрической схемы (см. пример 5.3, рис. 5.6)

влияние погрешностей сопротивлений

 

 

 

R1 и

R2 на выходное сопротивление

реохорда rx было определено в детерминированных условиях:

r (

R ) = R

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

Zшк

 

R [дел. шкалы],

x (R

+ R

)2

 

 

x

1

 

 

Lшк

1

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

r (

R ) =

 

 

− R1

 

 

R

 

 

 

Zшк

 

R [дел. шкалы].

(R + R

 

)2

 

 

 

x

2

 

 

 

x

 

 

Lшк

2

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вероятностные характеристики (в делениях шкалы):

M [ r ( R )]=

Rx R2

 

 

 

 

Zшк

 

M [ R ],

 

)2

 

Lшк

x

 

1

 

(R

+ R

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

M [ r

(

R

)]=

− R1Rx

 

 

 

 

Zшк

M [ R ],

 

)2

 

 

 

x

 

2

 

(R

+ R

2

 

 

 

Lшк

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

M [ rΣ ] = M [ rx ( R1 )]+ M [ rx ( R2 )],

75

D[ r (

R )]=

 

R

R

 

 

 

Z

шк

 

 

2

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

D[ R ],

(R

 

 

)2 Lшк

x

1

 

+ R

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

D[ r ( R )]=

 

−

R R

x

 

 

Z

шк

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

D[ R ],

(R

+ R

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

)2 Lшк

 

 

 

2

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

D[ rΣ ] = D[ rx ( R1 )]+ D[ rx ( R2 )].

Вероятностные характеристики

M [

 

rΣ ], D[ rΣ ]

найдены в предположении,

что погрешности сопротивлений

R1 и

 

R2

являются независимыми случайными

величинами. Зная СКО суммарной

 

погрешности

σ[ rΣ ] = D[ rΣ ] , можно

определить доверительное отклонение

 

д(

 

rΣ ) погрешности показаний прибора.

6.4. Энтропийное значение погрешности

Погрешности приборов могут быть распределены по различным законам, поэтому не всегда представляется возможным сравнивать характеристики приборов. Чтобы такое сравнение стало возможным вводят понятие энтропийной погрешности.

Информационное описание измерения. Применение теории информации к измерительным устройствам было разработано П.В. Новицким [17, 18]. В теории информации существует понятие «энтропия» как мера неопределенности или мера свободы выбора. Количество информации I определяется как разность энтропий

I = H (x) − H (x xи) ,

где H(x) – энтропия (мера неопределенности) измеряемой величины до ее измерения; H (x xи) (эта запись читается как «энтропия x при условии xи») –

энтропия действительного значения x измеряемой величины (мера интервала неопределенности) вокруг полученного после измерения показания xи, т. е. энтропия погрешности измерения.

Эти оценки неопределенности в виде энтропии до и после измерения вычисляются на основе вероятностного описания ситуации до и после измерения по соотношению

+∞

 

H (x) = − ∫ p(x)ln p(x)dx ,

(6.11)

−∞

где p(x) – плотность распределения вероятностей измеряемой величины x. Энтропия обращается в нуль, когда одно из состояний системы достоверно, а

другие невозможны. Энтропия будет наибольшей при заданном числе состояний, когда эти состояния равновероятны. Энтропия увеличивается при увеличении числа состояний.

76

Смотрите также файлы