Файл: OTIP.pdf

так как площадь под кривой p(x) слева от нее составляет 5% всей площади.

Соответственно значения x1, x2, x5, x6, x7 на рис. 6.4 – это 1%-, 2,5%-, 95%-, 97,5%-,

99%-ная квантили. Их принято обозначать соответственно x0,01, x0,025, x0,95, x0,975, x0,99. Интервал значений x между x = x0,05 и x = x0,95 охватывает 90% всех возможных значений случайной величины и называется интерквантильным

промежутком с 90%-ной вероятностью. Его протяженность d0,9 = x0,95 − x0,05 .

Интерквантильный промежуток включает в себя 90% всех возможных значений случайной величины и т. д.

На основании такого подхода вводится понятие квантильных оценок погрешности, т. е. значений погрешности с заданной доверительной вероятностью Pд, как границ интервала неопределенности ± д = ±dд2 , на

протяжении которого встречается Pд процентов всех значений погрешности, а 1− Pд процентов общего числа их значений остаются за границами этого

интервала.

Таким образом, доверительное значение случайной погрешности есть ее

максимальное значение с указанной доверительной вероятностью Pд, т. е. сообщение, что часть реализаций погрешности с вероятностью 1− Pд = q может

быть больше указанного значения погрешности.

Обозначение доверительной погрешности снабжают индексом, численно равным принятой доверительной вероятности, например 0,9 при Pд = 0,9 ; 0,95

при Pд = 0,95 и т. д.

Исторически сложилось так, что в разных областях знаний используют различные значения доверительной вероятности, равные 0,5; 0,8; 0,9; 0,95; 0,99. Так в области расчета артиллерийской стрельбы общепринятой является срединная ошибка, т. е. погрешность с доверительной вероятностью Pд = 0,5,

когда 50% всех возможных отклонений меньше ее, а другие 50% – больше. Доверительная вероятность Pд = 0,8 является общепринятой в теории и практике

оценки надежности средств автоматики, электронной и измерительной техники.

68

Погрешность 0,9 обладает тем уникальным свойством, что для широкого

класса законов распределения вероятностей только она имеет соотношение со средним квадратическим отклонением в виде

0,9 =1,6σ

независимо от вида закона распределения. Поэтому ГОСТ 11.001–73 при отсутствии данных о виде закона распределения для определения двусторонней доверительной вероятности предписывал использовать только Pд = 0,9 .

При наличии у прибора кроме чисто случайной составляющей еще и систематической погрешности θ выход возможных значений погрешности за границы доверительного интервала ± (θ+ 0,9 ) становится практически

односторонним. Для односторонней вероятности выхода за пределы интервала

±д при отсутствии данных о виде закона распределения ГОСТ 11.001–73

предписывал использование доверительной вероятности Pд = 0,95 . Доверительная вероятность Pд = 0,99 используется лишь при указании погрешностей первичных и рабочих эталонов.

Достоверность определения доверительного значения погрешности по экспериментальным данным. Достоинство доверительного значения погрешности состоит в том, что оно может быть достаточно просто оценено прямо по экспериментальным данным.

Пусть проведена серия из n измерений. Из наблюдавшихся n случайных погрешностей составляют вариационный ряд, располагая их в порядке возрастания:

(1) ≤ (2) ≤ (3) ≤ ... ≤ (n) .

Далее используется предположение, что каждый из членов вариационного ряда является оценкой соответствующих квантилей, которые делят весь интервал возможных вероятностей (от 0 до 1) на n + 1 частей с равными значениями вероятности, иными словами, вероятности попадания значений погрешности в каждый из интервалов

i(n +1) ·100%-ной квантили.

Таким образом, практическое определение д сводится к тому, что из всех

полученных отсчетов отбрасываются наиболее удаленные от центра, а следовательно, самые ненадежные отсчеты. Если при переменном n отбрасывается постоянная относительная доля всех отсчетов, то определяемое по крайним членам оставшегося вариационного ряда значение д , в отличие от

«предельной» погрешности прибора max , с ростом длины n серии отсчетов не

69

возрастает, а стабилизируется и оказывается тем более устойчивым, чем больше объем выборки n.

При этом необходимо учитывать, что по ограниченным экспериментальным данным мы получаем не точные доверительные значения, а лишь их приближенные значения – оценки. Достоверность квантильных оценок повышается с понижением значений Pд, а при постоянном Pд – с ростом числа

отсчетов n. Поэтому квантильные оценки с большими доверительными вероятностями могут быть найдены только при большом числе отсчетов. Действительно, так как вариационный ряд из n членов определяет границы n + 1 интервалов, вероятность попадания в которые принимается одинаковой, то при

с каждого из концов вариационного ряда должны быть отброшены не только пустые интервалы (−∞; (1) ) и ( (n) ; + ∞), но и какое-то число фактических

отсчетов. Располагая рядом из n отсчетов и отбрасывая с каждого из концов ряда

Отсюда число отсчетов n, необходимое для определения по экспериментальным данным д с заданной вероятностью Pд, будет не меньшим, чем

n≥ (1+ Pд +2nотб)(1− Pд)≈ [2(1+nотб)](1− Pд).

идля различных значений Pд и nотб = 1 приведено в табл. 6.1.

невозможность их суммирования, так как доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов слагаемых.

Пример 6.1. Определить доверительный интервал, в который с вероятностью Pд попадают значения погрешности при условии, что: а) распределение значений

погрешности равномерное; б) значения погрешности распределены по треугольному закону (закону Симпсона).

70

Доверительный интервал линейно зависит от доверительной вероятности Pд. При Pд =1 доверительный интервал равен dд = 2a . Как следует из формулы (6.6) на полученный интервал dд не влияет положение центра распределения m.

Плотность распределения закона Симпсона (рис. 6.6) можно представить в виде

71