Файл: OTIP.pdf

г – симметричный экспоненциальный, д – трапецеидальный

Для нормального закона распределения (см. рис. 6.1а) характерны следующие закономерности: равные по абсолютному значению погрешности равновероятны; малые погрешности более вероятны, чем большие. Плотность распределения для нормального закона

По нормальному закону распределены многие погрешности, поэтому в инженерной практике это распределение чаще всего используется, иногда без достаточного основания.

Плотность вероятности равномерного закона (см. рис. 6.1б)

По равномерному закону распределены погрешности: от трения в опорах; от округления; отсчета; от порога нечувствительности и др.

Плотность распределения треугольного закона Симпсона (см. рис. 6.1в) можно представить в виде

По этому закону распределены погрешности: суммарная при измерении длин; суммарная от квантования интервала времени при равномерном законе

где Г(1α) – гипергеометрическая функция; α – число, которое может принимать

значения от 0 до ∞. При α → ∞ получаем равномерный закон вида, изображенного на рис. 6.1б; при α > 2 получаем плавные законы, близкие к трапецеидальным (см. рис. 6.1д); при α = 2 имеем нормальный закон (см. рис. 6.1а) и, наконец, при α = 1 и α = 0,5 выражение (6.1) принимает соответственно вид

Графическое изображение этих законов показано на рис. 6.1г.

63

По законам, близким к

p(x) = e− x2 ,

распределяются редкие случайные события, например, выбросы случайных процессов за установленную границу.

Распределение отсчетов синусоидально изменяющейся во времени величины x = X m sin ωt , если моменты этих отсчетов равномерно распределены во времени,

называется арксинусоидальным. Его плотность описывается выражением

где δ – дельта-функция Дирака.

Числовые характеристики случайной величины. При решении многих прикладных задач вместо законов распределения вероятностей случайной величины пользуются числовыми характеристиками, к которым в том числе относятся:

– математическое ожидание случайной величины

∞

mx = ∫ x p(x)dx ,

−∞

которое можно рассматривать как среднее взвешенное из всех возможных значений случайной величины X, где в качестве веса используется плотность распределения;

– дисперсия случайной величины

Dx = ∞∫(x − mx )2 p(x)dx ,

−∞

характеризующая разброс фактических значений случайной величины относительно ее математического ожидания;

– среднее квадратическое отклонение (СКО) случайной величины есть положительное значение квадратного корня из ее дисперсии

σx = Dx .

64

Использование дисперсии на практике не всегда удобно, так как ее размерность есть квадрат размерности случайной величины. Поэтому для более наглядной характеристики рассеяния пользуются средним квадратическим отклонением, имеющем размерность самой случайной величины.

Можно определить характеристики случайной величины на основании обработки опытного материала. Из статистики известно, что обработка экспериментальных данных не позволяет определить точные значения математического ожидания и дисперсии, а дает возможность найти только их приближенные значения – оценки искомых параметров.

Пусть в результате n независимых испытаний получено n значений величины x, которые обозначим

Реализация (6.2) называется выборкой из генеральной совокупности, n – объем выборки, xk – элементы выборки.

Характеристики суммы и произведения случайных величин. При расчете измерительных приборов на точность прежде всего следует установить связь между детерминированными значениями параметров, после чего можно перейти к вероятностным характеристикам. При этом приходится одновременно учитывать несколько случайных величин, связанных между собой определенной зависимостью. Наиболее распространенными связями между случайными величинами являются их сумма и произведение. Наряду со случайными величинами в расчетах участвуют и неслучайные.

Математическое ожидание неслучайной величины С равно этой величине

M[C] = C .

Дисперсия неслучайной величины С равна нулю

D[C] = 0.

Неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания

M [C x] = C M [x].

65

Неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат

D[C x] = C 2 D[x] .

Неслучайную величину можно выносить за знак СКО ее абсолютным значением

σ[C x] = C σ[x].

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий

M[x + y + z +... + q] = M[x] + M[ y] + M[z] +... + M[q].

Математическое ожидание линейной функции случайных величин равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов

M [A x + B y +... + F z + C] = A M [x] + B M [ y] +... + F M [z] + C ,

где A, B, F, C – неслучайные величины.

Если случайные величины независимы в статистическом смысле, т. е. если вероятность появления одной случайной величины не связана с вероятностью появления другой случайной величины, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий каждой из них

D[x + y + z +... + q] = D[x] + D[ y] + D[z] +... + D[q].

Если вероятность появления одной случайной величины, например x, связана с вероятностью появления второй случайной величины, например y, то x и y считаются зависимыми в статистическом смысле. Мерой такой связи является

коэффициент корреляции

kxy = M {[x − M (x)][ y − M ( y)]}.

Если статистической связи нет, то kxy = 0 . Но из некоррелированности случайных величин не всегда следует их независимость. При функциональной связи kxy =1. При наличии статистической связи 0 ≤ kxy ≤1.

Дисперсия суммы двух зависимых случайных величин определяется по формуле

D[x + y] = D[x] + D[ y] + 2kxy σ(x) σ( y) .

При большем числе слагаемых дисперсию суммы находят последовательным сложением.

Вероятностные характеристики произведения независимых случайных величин имеют вид:

D[x y] = D[x] D[ y] + D[x]M 2 [ y] + M 2 [x] D[ y].

66

Если X1, X2, …, Xn – независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией σ2 , то при

n

неограниченном увеличении n закон распределения суммы ∑X i неограниченно

i=1

приближается к нормальному. Эта теорема называется центральной предельной теоремой для одинаково распределенных слагаемых

6.2. Вероятностные оценки ширины распределения случайных погрешностей

«Предельная» или «максимальная» оценка случайной погрешности. Эта оценка теоретически правомерна только для ограниченных распределений (равномерного, треугольного, трапецеидального и т. п.). Для этих распределений действительно существует такое значение ± X m , которое ограничивает с обеих

сторон возможные значения случайной величины. Однако эти распределения являются лишь теоретической идеализацией и реальные распределения погрешностей, строго говоря, им никогда не соответствуют. Кривые плотности реальных распределений погрешностей, за редкими исключениями, не имеют четко выраженных границ. И поэтому указание для них «предельных» или «максимальных» значений неправомерно. На практике такая оценка есть указание наибольшего по модулю отклонения, встретившегося в данном, произвольно ограниченном ряду наблюдений, так как с увеличением объема выборки экспериментальных данных «предельные» значения монотонно возрастают. «Предельная» погрешность прибора max , найденная экспериментально по 100

отсчетам, всегда будет большей, чем найденная по первым 10 отсчетам.

Квантильные оценки случайной погрешности. Площадь, заключенная под кривой плотности распределения (рис. 6.3), согласно правилу нормирования, равна единице, т. е. отражает вероятность всех возможных событий. Эту площадь можно разделить на некоторые части вертикальными линиями. Абсциссы таких

67