Файл: деп_тукс_10_11.doc

231

Теории управления квантовыми системами.

ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ КВАНТОВОЙ ИНФОРМАЦИИ.

Учебное пособие

Кострома

2011

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫМИ СИСТЕМАМИ.

ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ КВАНТОВОЙ ИНФОРМАЦИИ.

Учебное пособие

Кострома 2011

УДК 532.5.013.4:537:I

ББК 22.12.22.134

Х 71

В 24

Печатается по решению редакционно-издательского совета Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова

Автор: Д.Е. Попов

Рецензенты:

Доктор технических наук П.Н. Белкин

Кандидат физико-математических наук С.Н.Николаев

ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫМИ СИСТЕМАМИ.

ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ КВАНТОВОЙ ИНФОРМАЦИИ: Учеб. пособие/Д.Е. Попов. - Кострома: КГУ им. Н.А. Некрасова, 2009, 238 c. –

ISBN 5-94057-017-8

Изложены физические основы квантовой теории информации, методы управления соответствующими квантовыми системами, достижения и проблемы в практической реализации квантовой криптографии, квантовой телепортации, квантовых вычислений и квантового компьютера.

Предназначается для студентов физических направлений и специальностей высших учебных заведений.

УДК 532.5.013.4:537:I

ББК 22.12.22.134

Х 71

В 24

ISBN 5-94057-017-8

© Костромской государственный

университет им. Н.А. Некрасова, 2011

© Попов Д.Е., 2011

Содержание

Введение 4

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 7

1.1. Чистые и смешанные состояния 7

1. 2. Обозначения Дирака 15

1. 3. Перепутанные состояния 15

2. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ 28

2. 1. Кубиты 28

2. 2. О квантовой информации 36

2. 3. Преобразование одного кубита 78

2. 4. Перепутывание 82

2.5. Перепутывание и квантовая неразличимость 83

2.6. Логический элемент «управляемое НЕ» 85

3. ПАРАДОКС ЭЙНШТЕЙНА – ПОДОЛЬСКОГО – РОЗЕНА (ЭПР) 87

4. НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА 93

5. КВАНТОВАЯ КРИПТОГРАФИЯ 101

5.1. Понятие о криптографии 101

5.2. Ключи и их распределение 102

5.3. Открытые ключи 104

5.4 Понятие о квантовой криптографии 107

5.4.1. Защита посредством неортогональных состояний 109

5.4.2. Защита посредством перепутывания 111

5.4.3. Практическая реализация квантово – криптографических систем 114

6. КВАНТОВАЯ ТЕЛЕПОРТАЦИЯ 120

6.1 Общие представления 120

6.2. Протокол квантовой телепортации 133

6. 3. Обзор некоторых экспериментальных результатов по квантовой телепортации 136

6.4. Заключительные замечания: возможна ли телепортация макрообъекта? 139

7. КВАНТОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. КВАНТОВЫЕ КОМПЬЮТЕРЫ. 144

7.1. Вводные замечания 144

7.2. Квантовый регистр 148

7.3. Задачи поиска. 150

7.4. Квантовые алгоритмы 152

7.4.1. Моделирование времени. 157

7.4.2. Моделирование вероятности 159

7.4.3. Алгоритм разложения на простые множители или алгоритм Шора 163

7.5. Общие требования к квантовым компьютерам Практическая реализация 163

ПРИЛОЖЕНИЕ. ГИПОТЕЗЫ О КВАНТОВОЙ ПРИРОДЕ СОЗНАНИЯ 189

Заключение 223

СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ 226

Литература 230

Введение

Информация-это не просто математическое понятие, она всегда имеет физическое воплощение: информация хранится, передаётся, принимается и обрабатывается с помощью физических средств. Такие физические основы информации в традиционной теории информации следуют законам классической физики, а в квантовой теории - квантовым законам. Следовательно, концепцию информации и вычисления можно формулировать в контексте физических теорий, а изучение информации требует, в конечном счёте, проведения физических экспериментов.

Закон Мура - это эмпирический закон, согласно которому число транзисторов в кристалле одной интегральной схемы в течение первых 15 лет удваивалось каждый год, а затем и до сих пор такое удвоение происходит за 1.5 года. Если первые кремниевые микросхемы имели размеры элементов в плоскости кристалла порядка десятков микрон, то современные образцы характеризуются размерами порядка 100 нм, а контроль осуществляется с точностью порядка 10 нм. Согласно закону Мура через некоторое время размеры интегральной схемы станут порядка атомных, и, следовательно, законы их функционирования будут определяться законами микромира, т.е. квантовой механикой.

В 1982 году Р. Фейнман поставил вопрос о том, каким должен быть компьютер, способный моделировать природу на её фундаментальном уровне с более полным и глубоким описанием реальности. Фейнман пришёл к выводу, что такой компьютер должен быть квантовым. При этом, если существующие компьютеры работают по законам квантовой физики – в электронике используются законы квантовой физики, но в классическом режиме, то квантовый компьютер должен и работать в квантовом режиме. Квантовые эффекты вообще приводят к качественно новым вычислениям (компьютингу), к значительному продвижению криптографии и к квантовым компьютерам, а также к новым средствам связи.

В последние десятилетия происходит создание теоретических и экспериментальных основ новой научной дисциплины - квантовой теории информации. Она возникла на стыке квантовой механики, квантовой оптики, оптики атомных пучков, физики взаимодействия излучения с веществом, дискретной математики, теоретической информатики. В последние два десятилетия были проведены эксперименты, в которых с небывалой точностью управляли единичными квантовыми частицами разного типа. Новые экспериментальные методики позволяют сохранить и обработать информацию, закодированную в индивидуальных квантовых системах.

Появление этого нового научного направления, с одной стороны, обусловлено внутренней логикой дальнейшего развития квантовой физики и других направлений физики. История науки показывает, что фундаментальные исследования значительно опережают прикладное применение новых открытий. Необходимость развития квантовой физики по созданию квантового компьютера была обусловлена также практическими потребностями значительного увеличения быстродействия компьютеров по сравнению с существующими, а также значительного прогресса в криптографии. Это новое направление охватывает как фундаментальную физику, так и возможности применения результатов в компьютерной и коммуникационной индустрии.

Более того, работы по квантовой теории информации могут привести к дальнейшему пониманию принципиальных основ квантовой физики, а, возможно, и к более глубокому пониманию фундаментальных законов физики и реальности вообще. Квантовая информатика может сыграть роль решающих экспериментов для более глубокой интерпретации квантовой физики, либо даст толчок к зарождению новой теории, либо позволит более глубоко раскрыть потенциал уже существующей и используемой теории.

1. Основные понятия и определения квантовой механики

1.1. Чистые и смешанные состояния

Наличие в окружающем нас мире «противоестественных» (с классической точки зрения) состояний, объективность их существования подтверждены физическими экспериментами, и этот факт является прямым следствием одного из самых фундаментальных принципов квантовой механики — принципа суперпозиции состояний. Это неотъемлемое свойство природы нашло свое отражение в основном теоретическом принципе квантовой механики. Сформулировать его можно следующим образом: если система может находиться в различных состояниях, то она способна находиться и в состояниях, которые получаются в результате одновременного «наложения» друг на друга двух или более состояний из этого набора.

В классической физике принцип суперпозиции является приближенным, а не универсальным, фундаментальным. Это скорее следствие линейности уравнений движения соответствующих систем и служит достаточно хорошим приближением, когда нелинейные эффекты незначительны.

Иная ситуация — в квантовой механике. В ней принцип суперпозиции является фундаментальным, одним из основных постулатов, определяющих структуру математического аппарата теории. Из него следует, например, что состояния квантовомеханической системы должны изображаться векторами линейного пространства, что операторы физических величин должны быть линейными и т. д.

Но основное отличие не в этом. Например, если в качестве отдельных состояний системы взять пространственные координаты ее центра масс, и наша система способна принимать различные положения в пространстве, то из принципа суперпозиции следует, что она в состоянии находиться одновременно сразу во всех точках пространства — то есть быть полностью «размазанной» во всем пространственно-временном континууме. И это будет вполне естественное состояние с точки зрения квантовой теории. Для практической реализации такого необычного состояния системы нет принципиальных теоретических запретов.

Основное отличие принципа суперпозиции в квантовой теории от его классического аналога в том, что состояния, которые «накладываются» друг на друга в классической теории, — это альтернативные, взаимоисключающие состояния, когда одно из них полностью отрицает другое. Если мы находимся где-то в одном месте, значит, в другом месте нас нет — это подсказывает здравый смысл. Но в квантовой теории складываются именно такие взаимоисключающие состояния, и система может находиться в таких состояниях одновременно!