Файл: Начертательная геометрия.pdf

ковых ребер используем способ вращения вокруг оси, проходящей через вершину S перпендикулярно плоскости π1.

Поворачиваем ребра SB, CS, SD до положения, параллельного плоскости π2 .Длины проекций S″B1, C″S1, S″ D1 являются натуральными длинами соответствующих ребер.

На рис. 6.6, б представлено построение полной развертки усеченной части пирамиды. Вначале на плоскости чертежа строим треугольники – боковые грани пирамиды – по трем сторонам, последовательно пристраивая треугольники друг к другу боковыми ребрами. Пристроив к стороне А°В° одного из треугольников четырехугольное основание пирамиды, получим полную развертку ее поверхности.

Чтобы выделить на развертке усеченную часть пирамиды, находим положение вершины 1° фигуры сечения на ребре А°δ°.Зная натуральную величину многоугольника сечения 1IV 2IV 3IV 4IV, последовательно засекаем на ребре развертки точки 2°,3° и 4°, используя величину сторон многоугольника сечения. Полученные на развертке точки соединяем отрезками прямых. Пристраиваем затем натуральную величину сечения 1IV 2IV 3IV 4IV к одному из участков линии пересечения (1°2°). Полученную полную развертку поверхности усеченной пирамиды обводим сплошной толстой основной линией, а линии сгиба – штрихпунктирной с двумя точками линией.

6.3.3. Пересечение многогранника плоскостью общего положения

При решении задач на построение проекций фигуры сечения многогранника плоскостью общего положения применяются вспомогательные плоскости, которые проводят через грани или ребра многогранника. В качестве вспомогательных плоскостей используют плоскости частного положения.

На рис. 6.7 приведено построение проекций линии пересечения прямой треугольной призмы плоскостью общего положения. Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми DE и EF (DE ll π1 ,EF ll π2).

α

β

Рис. 6.7

59

Так как боковые грани призмы являются горизонтально-проецирующими плоскостями, то горизонтальная проекция 1′2′3′ линии пересечения совпадает с горизонтальными проекциями самих граней.

Фронтальную проекцию 1″ точки пересечения ребра А с заданной плоскостью определим при помощи фронтальной плоскости α (α′), проходящей через это ребро.

Плоскость α пересекает заданную плоскость по фронтали f, параллельной прямой EF.Фронталь f проходит через точку М прямой ED. В пересечении проекции f″ с фронтальной проекцией ребра находится проеция 1″. Для построения фронтальной проекции 2″3″ линии пересечения грани ВС призмы с заданной плоскостью, заключаем грань во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость β (β′). Плоскость β пересека-

етзаданную по прямой NL (N′L′, N ″ L″), на фронтальной проекции которой находится

2″3″.

1″2″3″ - фронтальная проекция искомой фигуры сечения. Фронтальная проекция 1″3″ отрезка 1-2 расположена на невидимой грани и показана штриховой линией.

Для построения фигуры сечения многогранника плоскостью общего положения можно использовать один из способов преобразования чертежа, позволяющей преобразовать плоскость общего положения в проецирующую.

На рис. 6.8 дано построение проекций линий пересечения пирамиды SABC плоскостью общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми – горизонталью ED и фронталью EF.

x

x

Рис. 6.8

60

Построение выполнено при помощи способа перемены плоскостей проекций. Дополнительная плоскость проекций π4 , перпендикулярная плоскости π1 , выбрана перпендикулярно горизонтали DE. При этом новая ось проекций Χ1 будет расположена перпендикулярно к проекции D′E ′.

На плоскости π4 получим проекцию пирамиды SIV AIV BIV CIV, а секущая плоскость спроецируется в виде прямой, т.е. станет перпендикулярной π4.

На следе – проекции секущей плоскости – будет находиться проекция линии пересечения 1IV2IV 3IV .

Точка 1 расположена на ребре SA, точка 2 – на SB, точка 3 – на SC.

Путем обратного проецирования на плоскость π1 и плоскость π2 построим горизонтальную 1′2′3′ и фронтальную 1″ 2″ 3″ проекции линии пересечения.

Фронтальная проекция отрезка расположена на невидимой грани пирамиды.

6.4. Примеры решения задач к главе 6

Пример 1. Правильная треугольная призма усечена двумя плоскостями: горизон- тально-проецирующей α( α′ ) и фронтально-проецирующей β(β″) (рис. 6.9). Построить профильную проекцию усеченной призмы.

Решение. Плоскость α пересекает верхнее основание призмы по прямой 4-5, а боковую поверхность по горизонтально-проецирующим прямым 1-5 и 3-4. Прямая 1-5 совпадает с ребром А призмы.

Плоскость β пересекает ребро А призмы в точке 1, а ребро С – в точке 2. Плоскости α и β пересекаются по линии 1-3.

β

α

Рис. 6.9

Профильные проекции указанных выше точек определяются при помощи линий связи. Соединив построенные точки получим профильную проекцию линии пересечения.

Пример 2. Правильная треугольная пирамида усечена двумя плоскостями: фрон- тально-проецирующей α (α″ ) и профильной β (β″) (рис. 6.10). Построить недостающие проекции усеченной пирамиды.

61

Решение. Плоскость α пересекает грань SAC по отрезку 1 - 2, грань SBC по отрезку 2 – 3, грань SAB по отрезку 1 – 4.

Плоскость β пересекает грань SBC по отрезку 3 – 5, а грань SAB по отрезку 1 – 4. При построении проекций точек, принадлежащих линии пересечения, следует учитывать, что профильные проекции S′′′A′′′ и S′′′B′′′ совпадают, т.к грань SAB пирамиды является профильно-проецирующей плоскостью.

Недостающие проекции точки 1, расположенной на ребре SA и точки 5, расположенной на ребре SB, построены при помощи линий связи.

Проекции точки 2, расположенной на ребре SС, определены при помощи линий связи сначала на профильной проекции ребра, а затем на горизонтальной.

Для построения горизонтальных проекций точек 3 и 4, через их фронтальную проекцию проведены вспомогательные прямые SD и SE, принадлежащие соответственно гра-

ням SBC и SAB.

β

α

Рис. 6.10

Построив горизонтальные проекции S′D и S ′E′ этих прямых по линии связи определим горизонтальные проекции точек 3 и 4, а затем и их профильные проекции.

Плоскости α и β пересекаются по фронтально-проецирующей прямой 3 – 4. Соединив построенные проекции точек получим проекции линии пересечения.

6.5.Вопросы для контроля

1.Какая фигура называется многогранником?

2.Дайте определение призмы, пирамиды, правильного многогранника.

3.Как определить недостающую проекцию точки на поверхности многогранника?

4.Что представляет собой сечение многогранника плоскостью?

5.В чем различие способа ребер и способа граней?

6.Как используется способ перемены плоскостей проекций при построении сечения многогранника плоскостью?

62

Глава 7. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ ЛИНИЯХ И КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

7.1. Кривые линии и их проекции

Линию можно рассматривать как множество последовательных положений движущейся точки – траекторию точки.

Кривая – разновидность линии, которая получается, когда движущая точка изменяет направление своего движения. Кривая линия может являться результатом пересечения кривой поверхности плоскостью или кривых поверхностей между собой.

В начертательной геометрии кривые линии изучаются по их проекциям. Если все точки кривой лежат в одной плоскости, кривую называют плоской, в противном случае

– пространственной.

алгебраическими уравнениями) и трансцендентные (определяемые неалгебраическими уравнениями).

Порядком алгебраической кривой называют наибольшую степень ее уравнения. Геометрический порядок плоской кривой определяется наибольшим числом то-

чек пересечения ее с прямой линией, а пространственной кривой наибольшим числом точек пересечения ее с ее плоскостью. При проецировании порядок алгебраической кривой в общем случае сохраняется.

Все плоские кривые разделяются на циркульные, состоящие из сопряженных дуг окружностей (их проводят при помощи циркуля), и лекальные, вычерчивающиеся с помощью лекала по предварительно построенным точкам.

7.2. Некоторые кривые, часто встречающиеся в практике

Рассмотрим построение некоторых плоских алгебраических кривых (эллипса, гиперболы, параболы), трансцендентных (спираль Архимеда, эвольвенту окружности, синусоиду), а также пространственных винтовых линий.

Эллипс (рис.7.2) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки (например, от точки М) до двух заданных точек F1 и F2 (фокусов эллипса) есть величина постоянная, равная большой оси эллипса АВ (F1M+F2M=АВ). Отрезок CD

– малая ось эллипса, точка О – центр эллипса. Точки F1 и F2 расположены на большой оси АВ симметрично относительно точки О и удалены от концов малой оси (точек С и D) на расстояние, равное половине большой оси эллипса.

Существует ряд способов построения эллипса. Наиболее просто построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружностей (рис.7.3).

Из центра проводят две окружности радиусами, равными половине большой и малой осей. Большую окружность делят на 12 равных частей и точки деления соединяют с точкой О.

63