Файл: Начертательная геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.08.2024

Просмотров: 237

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

y

x

Рис. 7.2

Рис. 7.3

Через точки деления меньшей окружности проводят прямые, параллельные большой оси эллипса, а через точки деления большей окружности – прямые, параллельные малой оси. Точки пересечения (например, точка М) соединяют плавной кривой.

Окружность – частный вид эллипса, у которого полуоси равны между собой и являются радиусом окружности.

Гипербола (рис. 7.4) – кривая, у которой разности расстояний от любой ее точки (например, от точки М) до двух заданных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная, равная АВ. Гипербола имеет две ветви, действительную ось x и мнимую ось y, центр О, вершины А и В.

На рис. 7.4 показано построение точки М гиперболы по действительной оси АВ и фокусам F1 и F2. Из фокусов, как из центров, проводим дуги окружностей соответственно радиусом R и R+АВ. Точка их пересечения является точкой гиперболы. Изменяя радиус R и повторяя построения, получаем новые точки гиперболы.

Парабола (рис. 7.5) – кривая, каждая точки которой (например, точка М) равноудалена от заданной точки F (фокуса) и прямой d (директриссы), (FM=NM). Расстояние FО от фокуса F до директриссы d – параметр параболы (Р), x – ось параболы, точка А – вершина параболы.

x

x

Рис. 7.4

Рис. 7.5

На рис. 7.5 показано построение точки М параболы по заданным фокусу (F) и директриссе (d). Из фокуса F делаем засечку дугой радиуса R на прямой, удаленной от директриссы d на расстояние R, причем R > Р/2. Изменяя величину R и повторяя построения, получаем новые точки параболы.

64

Рис. 7.6

Спираль Архимеда (рис. 7.6) – кривая, которую описывает точка, равномерно вращающаяся вокруг неподвижной точки (полюса О) и одновременно равномерно удаляющаяся от него. Расстояние ОА, пройденное точкой от полюса О при повороте на 360° – шаг спирали.

Точки, принадлежащие спирали Архимеда, строят, исходя из определения кривой, задаваясь шагом ОА и направлением вращения.

Полученный отрезок и окружность делят на одинаковое число частей (12) и через точки деления окружности проводят в одном направлении касательные к ней. На каждой касательной откладываем отрезки 1А1, 2А2, 3А3 и т.д., равные соответственно А01, А02, А03 и т.д. Полученные точки соединяем плавной кривой.

Эвольвента окружности (рис. 7.7) –

кривая, образующаяся точками касатель-

ной прямой, катящейся без скольжения по

неподвижной окружности.

 

На рис. 7.7. показано построение

эвольвенты окружности диаметра D в ука-

занном направлении и начальном положе-

нии точки А (точка А0).

 

Через точку А0 проводим касатель-

ную к окружности и на ней откладываем

длину заданной окружности πD.

Синусоида (рис.7.8) – кривая, ха-

рактеризующая изменение синуса угла в

зависимости

от

величины

центрального

угла.

 

 

 

Расстояние между крайними точка-

ми синусоиды по высоте, равное диаметру

производящей окружности, называется ам-

плитудой. Расстояние Т=2πR – шаг сину-

соиды. Построение точек синусоиды (А, А1,

А2,…А12) показано на рис. 7.8.

 

Рис. 7.7

65

Рис. 7.8

Цилиндрическая винтовая линия (гелиса) – пространственная кривая, которая образуется на поверхности цилиндра вращения в результате двойного равномерного движения точки – вращения вокруг оси цилиндра и поступательного движения вдоль образующей цилиндра (рис. 7.9).

Рис. 7.9

Шаг винтовой линии (Р) – расстояние между двумя ее соседними витками в направлении параллельности. Для построения цилиндрической винтовой линии делим окружность основания цилиндра и шаг Р винтовой линии на равное число частей (12). Определим соответствующие фронтальные проекции перемещаемой точки (А0, А1,…А0) и соединим их плавной кривой.

Горизонтальная проекция цилиндрической винтовой линии – окружность, а фронтальная синусоида. Разверткой цилиндрической винтовой линии (А0, А1, А2…А0) является прямая.

66

Угол α – угол подъема винтовой линии: tg α = 2πPR .

Различают правые и левые винтовые линии. У правой подъем слева вверх направо, у левой – справа вверх налево.

Коническая винтовая линия (рис. 7.10) – пространственная кривая, которая образуется на поверхности конуса вращения в результате двойного равномерного движения точки – вращения вокруг оси конуса и поступательного движения вдоль образующей конуса.

Шаг конической винтовой линии (Р) – величина прямолинейного перемещения точки в направлении оси конуса при полном обороте вокруг оси.

Для построения проекций конической винтовой линии разделим окружность основания конуса и шаг Р на равное число частей (12). Проводим проекции образующих конуса и определим на них положение соответствующих проекций точек А0, А1, А2…А0 и соединим их плавной кривой.

Горизонтальная проекция винтовой линии – спираль Архимеда, а фронтальная

– затухающая синусоида (синусоида с уменьшающейся амплитудой).

Рис. 7.10

7.3.Образование и классификация кривых поверхностей

Различают три основных способа задания поверхности:

1.аналитический (поверхность задается уравнением);

2.каркасный (поверхность задается совокупностью точек или линий);

3.кинематический (поверхность образуется непрерывным перемещением в пространстве какой-либо линии поверхности).

В начертательной геометрии в основном рассматривается кинематический способ образования поверхности.

Перемещающаяся в пространстве линия или поверхность называется образующей, которая при движении может сохранять или изменять свою форму.

Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями (иногда точками), называемыми направляющими, по которым скользит образующая при своем движении, а также условием движения образующей.

Совокупность геометрических элементов и условий, которые определяют поверхность в пространстве называют определителем.

Следует отметить, что одна и та же поверхность может быть получена различными способами. Например, цилиндрическая поверхность может быть получена в резуль-

67

тате перемещения прямолинейной образующей по кривой направляющей, или движением кривой образующей по прямолинейной направляющей.

Для большей наглядности изображения поверхностей в ряде случаев используют ее очерк – границы видимости на плоскостях проекций. Очерк проекции получается при пересечении с плоскостью проекций проецирующей поверхности, обертывающей данную. Например, очерком сферы является окружность радиуса, равного радиусу сферы.

Взависимости от формы образующей поверхности разделяются на линейчатые (образующая – прямая линия) и нелинейчатые (криволинейная образующая).

Линейчатые поверхности называются развертывающимися, если их можно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Неразвертывающиеся поверхности не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

Поверхности с постоянной образующей – поверхности, образующая которых не изменяет своей формы при образовании поверхности. Поверхности с переменной образующей – поверхности, образующая которых изменяется при образовании поверхности.

Взависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве поверхности можно условно разделить на группы, указанные на рис. 7.11.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейчатые

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нелинейчатые

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Развертываю-

 

 

Неразвертываю-

 

 

С постоянной

 

 

С переменной

щиеся

 

 

 

 

щиеся

 

 

 

 

 

образующей

 

 

образующей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цилиндрические

 

Конические

 

Торсовые

 

 

 

С плоскостью параллелизма

 

 

Винтовые

 

 

 

 

Вращения

 

 

Циклические (трубчатые)

 

 

 

 

Циклические (каналовые)

 

 

Каркасные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.11

7.4.Линейчатые поверхности

7.4.1.Цилиндрическая поверхность (рис. 7.12) образуется движением прямой линии l (образующей), пересекающей кривую линию m (направляющую и имеющей постоянное направление S.

7.4.2.Коническая поверхность (рис. 7.13) образуется движением прямой линии l (образующей), пересекающей кривую m (направляющую) и проходящей во всех своих положениях через неподвижную точку S (вершину конической поверхности).

При задании цилиндрических и конических поверхностей на чертеже в качестве направляющей часто используют линию пересечения поверхности с одной из плоскостей проекций.

На рис. 7.12 показано построение линии пересечения заданной цилиндрической поверхности с горизонтальной плоскостью проекций. Образующая L (L1, L2, L3, L4) при

своем движении, пересекаясь с плоскостью проекций π1, дает точки М1, М2, М3, М4. Кривая, проведенная через эти точки является линией пересечения (следом) цилиндрической поверхности с плоскостью проекций π1.

68

Рис. 7.14

На рис. 7.13 показано построение линии пересечения конической поверхности с горизонтальной плоскостью проекций.

l

 

 

l

l

l

x

 

 

 

l

l

l

 

 

l

Рис. 7.12

l

l

l

l

x

l

l

l

 

 

 

 

l

 

Рис. 7.13

Цилиндрическая поверхность является частным случаем конической, у которой вершина S удалена в бесконечность.

7.4.3. Торсовая поверхность (поверхность с ребром возврата) образуется движением прямолинейной образующей (во всех своих положениях касающейся некоторой пространственной кривой m (рис. 7.14).

Образующая занимает положения касательно L1, L2, L3, L4, L5 кривой m (ребру

возврата) в точках А1, А2, А3, А4, А5.

Коническую и цилиндрическую поверхности можно рассматривать как частные случаи торса, когда ее ребро возврата вырождается в точку (конечную или бесконечно удаленную).

Цилиндрическая, коническая и торсовая поверхности являются разверты-

вающимися.

7.4.4. Поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана) образуются движением прямолинейной образующей, параллельной некоторой заданной плоскости (плоскости параллелизма) и пересекающей две заданные линии (направляющие).

Цилиндроид (рис. 7.15) образуется движением прямолинейной образующей L (L1, L2, L3, L4) по двум криволинейным направляющим m и n, причем во всех положениях образующая остается параллельной плоскости параллелизма π1.

Коноид (рис. 7.16) образуется движением прямолинейной образующей L (L1, L2, L3, L4) по двум направляющим, из которых одна m - кривая, а другая n – прямая. При этом во всех положениях образующая остается параллельной плоскости параллелизма π1 (направляющая n – горизонтально-проецирующая).

69

Смотрите также файлы