ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.08.2024
Просмотров: 232
Скачиваний: 0
x x
x
Рис. 5.9
В системе π1/π2 такую плоскость построить нельзя. Действительно, плоскость, параллельная треугольнику, не будет перпендикулярна ни π1, ни π2, т.е. она не образует с плоскостями проекций ортогональной системы.
Решение задачи требует двойной замены плоскостей проекций. При первой замене (π2 на π4) используется горизонталь треугольника h. Новая ось проекций x14 проводится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h'. Спроецировав треугольник ABC на новую плоскость проекций π4, получим проекцию AIVBIVCIV π4. Этот процесс был описан выше.
На втором этапе преобразуем плоскость треугольника ABC в плоскость уровня. Для этого перейдем от системы π1/π4 к системе π4/π5 (см. рис. 5.9). Новая плоскость π5 устанавливается параллельно треугольнику, а значит, новая ось x45 на чертеже проводится параллельно прямой, на которой расположены точки AIV, BIV, CIV . Через указанные точки проводят перпендикуляры – линии связи к новой оси и откладывают на них от оси x45 в плоскости π5 отрезки, равные по длине расстояниям от оси x14 до вершин A', B' и C' соответственно. Полученная проекция AVBVCV определяет истинную величину треугольника.
Подобные двойные преобразования используются для решения задач на определение углов при вершинах треугольника, построение высот, биссектрис, вписанных (описанных) окружностей и т. п.
5.2. Способ плоскопараллельного перемещения
При плоскопараллельном перемещении заданная фигура движется в пространстве так, что все ее точки перемещаются в плоскостях, параллельных друг другу и (как правило) параллельно одной из плоскостей проекций. Сами траектории точек фигуры произвольны.
5.2.1. Плоскопараллельное перемещение отрезка
На рис.5.10 показано плоскопараллельное перемещение отрезка из первоначально-
го положения AB в положение AB . Концы A и B отрезка движутся соответственно в плоскостях α и β, параллельных горизонтальной плоскости проекций π1.
47
π |
Исходное |
Вершина A |
|
перемещена |
|||
|
|||
|
положение |
в новое |
|
|
отрезка AB |
положение |
|
x |
|
π |
|
|
x |
а |
б |
|
π |
|
|
Отрезок AB |
|
x |
перемещен |
|
в новое |
||
|
||
|
положение |
|
|
в |
|
|
Рис. 5.10 |
Отметим, что при таком движении угол наклона ϕ1 отрезка к плоскости π1 сохраняется неизменным. Поэтому не изменяется и длина горизонтальной проекции отрезка,
т.е. A' B'= A' B' . Последнее свойство имеет важное значение, так как используя его, мы получаем возможность проецировать объект в удобном для решения задач положении.
На рис. 5.11 приведен комплексный чертеж, на котором выполнено плоскопараллельное перемещение отрезка AB, занимающего общее положение, в новое положение, параллельное фронтальной плоскости проекций. На этом чертеже сначала пе-
x |
ремещается в новое положение, параллель- |
||||||||||||
|
|||||||||||||
|
ное оси x, горизонтальная проекция отрез- |
||||||||||||
|
ка, которая после перемещения получает |
||||||||||||
|
обозначение |
|
' |
|
' , причем A' B'= |
|
' |
|
' . За- |
||||
|
A |
B |
A |
B |
|||||||||
Рис. 5.11 |
тем по линиям связи строится новая фрон- |
||||||||||||
|
тальная проекция отрезка |
|
|
|
|
||||||||
|
A'' B'' . |
||||||||||||
После перемещения отрезка AB в положение AB он станет фронталью и его новая фронтальная проекция будет равна натуральной величине (НВ), т.е. A'' B''= AB . Соответственно угол ϕ1 наклона проекции A'' B'' к горизонтальной плоскости проекций будет равен углу наклона отрезка AB к той же плоскости (ϕ1 = ϕ). Отметим, что в данном случае новое положение горизонтальной проекции выбрано произвольно, а все точки фронтальной проекции отрезка движутся по горизонтальным прямым.
5.2.2.Плоскопараллельное перемещение плоскости
Вкачестве примера рассмотрим задачу о переводе плоскости треугольника ABC, занимающего общее положение, в положение плоскости уровня методом плоскопараллельного перемещения. Условие задачи и ее решение задачи показано на рис. 5.12.
48
B'' |
|
B'' |
|
A'' |
A'' |
|
B'' |
|
|
A'' |
|
A' |
|
|
B' |
h' |
h' |
B' |
|
B' |
A' |
A' |
h' |
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 5.12 |
|
|
При первом движении треугольник ABC переводится во фронтальное проецирующее положение. С этой целью в плоскости треугольника строится горизонталь A1, затем ее горизонтальная проекция A'1' перемещается в проецирующее положение (на свободном поле чертежа проводится
отрезок A'1' = A'1' перпендикулярно оси x). В
процессе перемещения размеры и форма горизонтальной проекции треугольника не
изменяются. Построение вершин С' и B' выполняется с помощью циркуля по засечкам.
Все вершины треугольника на фронтальной плоскости проекций перемещаются по горизонталям, пересечение которых с линиями связи, проведенными из соответствующих вершин новой горизонтальной проекции, образует вырожденную в прямую но-
вую фронтальную проекцию A'' B''C".
При втором движении все точки треугольника перемещаются в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, в результате чего он займет положение горизон-
тальной плоскости уровня, а его вырожденная фронтальная проекция A" B"C" – положение горизонтали. Длина ее при этом сохранится неизменной. Горизонтальная проек-
ция A' B'C' треугольника ABC будет равна его натуральной величине.
5.3.Способ вращения вокруг проецирующей прямой
Кчастным случаям метода плоскопараллельного перемещения относятся метод вращения вокруг проецирующих прямых, а также метод вращения вокруг прямых уровня.
5.3.1. Вращение точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций |
||||
Пусть точка А вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости π1 (рис. 5.13). |
||||
|
|
Через точку А проведена плоскость, |
||
|
|
перпендикулярная к оси вращения и, сле- |
||
|
|
довательно, параллельная плоскости π1. |
||
A |
|
При вращении точка А описывает в плоско- |
||
|
сти α окружность радиуса R; величина ра- |
|||
|
|
диуса выражается длиной |
перпендикуля- |
|
x |
|
ра, проведенного из точки А на ось. Ок- |
||
|
ружность, описанная в пространстве точкой |
|||
A' |
A' |
А, проецируется на плоскость π1 без иска- |
||
жений. Так как плоскость |
α перпендику- |
|||
|
|
|||
|
|
лярна к плоскости π2, то проекции точек |
||
Рис. 5.13 |
|
окружности на плоскости π2 расположатся |
||
|
|
на α″, т.е. на прямой, перпендикулярной к |
||
|
|
фронтальной проекции оси вращения. |
||
49
x
A'' |
ϕ |
i'' |
|
||
|
A'' |
|
A' |
A' |
i' |
Рис. 5.14
На рис. 5.14 показан поворот точки А против часовой стрелки на угол ϕ вокруг оси, проходящей через точку i перпендикулярно к плоскости π2.
Из точки i″, как из центра, проведена дуга радиуса i″A″, соответствующая углу ϕ и направлению вращения. Новое положение
фронтальной проекции точки А – точка A".
5.3.2. Вращение прямой вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций
x
B'' |
i'' |
B'' |
|
||
A'' |
A'' |
|
|
|
|
B' |
A' |
|
ϕ |
|
B'
i'
A'
Рис. 5.15
Рассмотрим вращение отрезка прямой линии вокруг заданной оси. В общем случае выполняется поворот двух точек A и B на один и тот же заданный угол и по заданному направлению на одной из плоскостей проекций. Каждая точка будет иметь свой радиус вращения. Затем по линиям связи находится новое положение второй проекции отрезка.
Для решения задач, связанных с вращением отрезка прямой, используется следующий способ (рис. 5.15). Если ось вращения перпендикулярна плоскости π1, то через точку i' проводим перпендикуляр к A'B' в точку C' и поворачиваем его на заданный угол ϕ.
Проведя через точку C' (новое положение точки C') прямую, перпендикулярную к радиусу O'C', получаем направление нового положения горизонтальной проекции отрезка. Так как отрезки C'A' и C'B' не изменяют своей величины, то, откладывая от точки
C' отрезки C' A' = C' A' и C' B'=C' B' , находим новое положение A' B' проекции всего отрезка. Затем по линиям связи достраивается новая фронтальная проекция отрезка
A'' B'' .
Данным способом можно не только повернуть отрезок на заданный угол, но и определить угол, на который нужно повернуть заданный отрезок, чтобы придать ему требуемое положение (например, расположить параллельно плоскости π2 или найти точку пересечения с другой прямой и т. д.).
5.3.3. Вращение плоскости вокруг проецирующей прямой
При вращении плоскости, заданной следами, обычно поворачивают один из следов и горизонталь (или фронталь) плоскости. На следе берется произвольная точка и поворачивается вокруг оси на заданный угол ϕ. Новый след будет проходить через выбранную точку перпендикулярно отрезку, соединяющему эту точку с центром вращения. Второй след находится по новому положению горизонтали (фронтали).
5.4. Способ вращения точки, прямой, плоскости вокруг прямой уровня
Поворот плоской фигуры используется для определения ее натуральной величины. Например, чтобы определить форму и размеры плоской фигуры, ее можно повер-
50