Файл: Начертательная геометрия.pdf

нуть вокруг горизонтали так, чтобы в результате вращения фигура расположилась параллельно плоскости π1.

Рис. 5.17

Теперь надо определить натуральную величину радиуса вращения точки B. Для этого применяется способ прямоугольных треугольников. По катетам O'B' и B'B* =B''1'' = ∆Z строим прямоугольный треугольник O'B'B*, гипотенуза его равна радиусу R вращения точки B.

После этого можно найти положение точки B' , а затем точки C' , причем не оп-

ределять радиус вращения точки С, а найти положение точки C' в пересечении двух прямых, из которых одна является перпендикуляром, проведенным из точки C' к пря-

мой A'D', а другая проходит через найденную точку B' и точку D' (горизонтальную проекцию точки D, принадлежащей стороне BC и расположенной на оси вращения).

Проекция A' B'C' выражает натуральную величину треугольника ABC, так как после поворота плоскость треугольника параллельна плоскости π1. Фронтальная же проекция треугольника совпадает с фронтальной проекцией горизонтали, т.е. представляет собой прямую линию.

На рис. 5.17 дано построение для случая, когда горизонталь проведена вне проекций треугольника. Это позволяет избежать наложения проекций одной на другую, но чертеж занимает несколько большую площадь.

51

Если требуется повернуть плоскую фигуру до положения, параллельного плоскости π2, то за ось вращения надо выбрать фронталь.

5.5.Контрольные вопросы

1.В чем заключается сущность способа замены плоскостей проекций?

2.Какое основное условие должно быть соблюдено при введении новой плоскости проекций?

3.Какая координата точки сохраняется в новой плоскости проекций?

4.Каковы исходные задачи преобразования комплексного чертежа?

5.Как перевести прямую общего положения в положение прямой уровня?

6.Как перевести прямую уровня в проецирующее положение?

7.Переведите плоскость общего положения в положение плоскости уровня.

8.В чем заключается суть способа плоскопараллельного перемещения?

9.Какое основное условие должно быть соблюдено при плоскопараллельном перемещении фигуры?

52

Глава 6. МНОГОГРАННИКИ

6.1. Общие сведения о многогранниках

Одним из видов пространственных форм являются многогранники – замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Эти многоугольники образуют грани; общие стороны многоугольников называются ребрами; вершины многогранных углов, образованных его гранями, сходящихся в одной точке – вершинами многогранника.

Если вершины и ребра многогранника находятся по одну сторону от плоскости любой его грани, то многогранник называют выпуклым.

Наибольший практический интерес представляют собой призмы, пирамиды и правильные многогранники (тела Платона).

Призма – многогранник, две грани которого представляют равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами (основаниями). Ребра, не принадлежащие основаниям и параллельные друг другу, называют боковыми. Призму, ребра которой перпендикулярны к основаниям, называют прямой. Прямая призма называется правильной, если ее

основаниями являются правильные многоугольники.

Пирамида – многогранник, одна грань которого плоский n-угольник (основание), а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной. Если основанием пирамиды является правильный многоугольник и высота ее проходит через вершину этого многоугольника, пирамиду называют правильной.

Многогранник называют правильным, если его грани представляют собой правильные и равные многоугольники. Гранями правильных многогранников могут быть только правильные треугольники, четырехугольники (квадраты) и пятиугольники.

Существует пять видов правильных многогранников (рис. 6.1):

Рис. 6.1

1)правильный четырехгранник (тетраэдр) ограничен 4-мя равными правильными треугольниками. Представляет собой правильную пирамиду, в качестве основания которой может быть выбрана любая из 4-х граней (рис. 6.1, а);

53

2)правильный шестигранник (гексаэдр) ограничен 6-ю равными квадратами – это куб. Представляет собой частный случай правильной призмы (рис. 6.1, б);

3)правильный восьмигранник (октаэдр) ограничен 8-ю равносторонними и равными треугольниками (рис. 6.1, в);

4)правильный двенадцатигранник (додекаэдр) ограничен 12-ю правильными и равными пятиугольниками (рис. 6.1, г);

5)правильный двадцатигранник (икосаэдр) ограничен 20-ю равносторонними и равными треугольниками (рис. 6.1, д).

Увсякого выпуклого многогранника число граней (Г) плюс число вершин (В) минус число ребер (Р) равно двум, т.е. Г + В – Р = 2.

6.2.Точка и прямая линия на поверхности многогранника

Нахождение недостающих проекций точек, находящихся на боковой поверхности прямой призмы (рис. 6.3) упрощается, т.к. боковые грани призмы являются горизонталь- но-проецирующими плоскостями. Так горизонтальная проекция 1' точки 1, расположенной на грани АА1ВВ1 находится на отрезке А′В′ (А1′В1 ′). Профильную проекцию точки 1 определим с помощью линий связи.

Горизонтальная проекция 2′ точки 2, расположенной на боковом ребре BB1 совпадает с горизонтальной проекцией этого ребра. Профильную проекцию точки 2 построим при помощи горизонтальной линии связи.

На рис. 6.4 показано построение недостающих проекций точек, находящейся на боковой поверхности пирамиды SABC. Фронтальная проекция 1″ точки 1, расположенная на грани SBC, представляющей собой профильно-проецирующую плоскость, построена с помощью линий связи.

54

A1

Рис. 6.3

Чтобы определить по заданной проекции 2″ точки 2, лежащей на грани SAB, проекцию 2′ (рис. 6.4), используем горизонталь h. Фронтальная проекция горизонтали h″ проведена через проекцию 2″ до пересечения с проекцией B″S″ ребра BS в точке D″. Горизонтальная проекция h″ горизонтали h проходит через точку D′ параллельно проекции А′В′ стороны АВ.

Рис. 6.4

55

Чтобы определить по заданной проекции 3″ точки 3, расположенной на грани SAC,проекцию 2 ′ используем прямую SE.Фронтальная проекция S″E″ проведена через проекцию 3″. Построив горизонтальную проекцию S ′E′ по линии связи найдем 3′. Фронтальная проекция 4″ точки 4, расположенная на ребре SA, построена с помощью линий связи сначала на профильной проекции ребра S′′′A′′′, а затем на фронтальной S′A′.

6.3. Пересечение многогранников плоскостью. Развертка поверхности многогранника 6.3.1. Общие сведения

При пересечении многогранника плоскостью в сечении получается многоугольник, вершинами которого являются точки пересечения ребер многогранника плоскостью, а сторонами – отрезки прямых, по которым грани многогранника пересекаются этой плоскостью.

Определение вершин многоугольника сводится к построению точек пересечения прямых (ребер многогранника) с плоскостью – способ ребер.

При определении сторон многоугольника решаются задачи на пересечение двух плоскостей – способ граней.

Разверткой называется фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью (без наложения элементов поверхности друг на друга).

Развертки необходимы при изготовлении изделий из листового материала.

6.3.2. Пересечение многогранника проецирующей плоскостью

На рис. 6.5, а показано построение проекций линии пересечения прямой четырехугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью α.

а

56