ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.08.2024
Просмотров: 233
Скачиваний: 0
l
l
1"
l
l
Рис. 7.38
На поверхности сферы можно провести множество параллелей, соответственно параллельный плоскостям проекций. Эти параллели используются для построения проекций точек на сфере.
По данной фронтальной проекции А'' точки А, найдена горизонтальная А' как принадлежащая горизонтальной параллели L1. Для построения горизонтальной проекции L'2 использована точка 1, принадлежащая фронтальному меридиану. Профильная проекция А''' точки А построена при помощи линий связи и находится на невидимой (правой половине) части сферы.
На рис. 7.38 представлены проекции открытого тора (кругового кольца), полученного вращением окружности радиуса r вокруг оси i. Проекции экватора обозначены k, горла - m, крайних параллелей n1 (верхняя) и n2 (нижняя).
Стрелками на рисунке показано построение фронтальных проекций точек А, В, С по заданным горизонтальным, расположенных соответственно на экваторе k, горле - m, и крайней (верхней) параллели n1.
Для построения горизонтальной проекции D' точки D, через фронтальную проекцию D'' проведена фронтальная проекция L''1 параллели L1. Горизонтальная проекция L'1 параллели L1 построена при помощи точки 1, лежащей на образующей окружности. Горизонтальная проекция точки В найдена при помощи линий связи, как принадлежащая параллели L1.
Для построения фронтальной проекции точки Е (по заданной горизонтальной), лежащей на внутренней части тора (рис. 7.38), использована параллель L2. Фронтальная проекция этой параллели строится при помощи точки 2, принадлежащей образующей окружности.
Экватор k разделяет тор на видимую (верхняя половина) и невидимую части на горизонтальной проекции. На фронтальной проекции видимой является ближняя наружная часть открытого тора.
7.8. Примеры решения задач к главе 7
Пример 1. Построить недостающие проекции линий, принадлежащих поверхности сферы (рис. 7.39).
Решение. На рис. 7.39 задана горизонтальная проекция линий АВ и ВС, находящихся на поверхности сферы. Любая плоская кривая сферы является окружностью. Так
как линия АВ – фронтальная параллель, то фронтальная проекция ее – дуга А''-1''-В'', а профильная – прямая А'''-1''' В/'''. Точки А и В расположены на экваторе сферы. Кривая
ВС также является частью окружности, но на фронтальную и профильную плоскости проекций она проецируется в виде эллиптических кривых. Построение проекций этих кривых сводится к построению отдельных точек (2, 3, 4, 5, 6), для нахождения которых использованы вспомогательные фронтальные параллели (см. построение точки В на рис.7.37). Точка С принадлежит экватору сферы.
79
Профильные проекции точек определяются при помощи линий связи. Полученные точки соединены плавной кривой.
Видимые части проекций кривых расположены на видимых полушариях сферы.
Рис. 7.39 |
Пример 2. Построить недостающие проекции линии, принадлежащего поверхности открытого тора (рис. 7.40).
Рис. 7.40 |
Решение. На рис. 7.40 задана фронтальная проекция линии АВ, находящейся на поверхности части открытого тора, полученного вращением образующей окружности l вокруг фронтально-проецирующей оси i. Линия АВ является плоской кривой, для построения недостающих проекций которой следует построить ряд точек (А, В, 1, 2, 3), принадлежащих этой кривой.
80
Построение точек на поверхности тора приведено на рис. 7.38. Точка А находится на экваторе, точка В на горле, а точка 1 на крайней (ближней) параллели тора. Поэтому горизонтальные проекции этих точек определяются при помощи линий связи.
Для построения горизонтальных проекций 2', 3' точек 2 и 3 приведены фронтальные проекции параллелей, проходящих через эти точки (дуги окружностей). Для построения горизонтальных проекций этих параллелей использованы точки 21 и 31, лежащие на образующей окружности l.
Профильные проекции точек кривой определяются при помощи линий связи. Полученные проекции точек соединяются плавной кривой. Видимыми проек-
циями кривой являются те участки, которые расположены на видимых частях тора. Пример 3. Построить фронтальную проекцию линии АВ, принадлежащую по-
верхности коноида (рис. 7.41).
Решение. На рис. 7.41 задана горизонтальная проекция линии АВ, принадлежащей поверхности коноида. Коноид
определяется двумя направляющими m
(кривая) и n (прямая) и плоскостью парал-
лелизма α (горизонтально-проецирующая
плоскость).
Линия АВ является плоской кривой,
для построения фронтальной проекции
которой следует определить фронтальные
проекции ряда точек (А, 1, 2, 3, В).
Фронтальные проекции А'' и В'' то-
чек А и В определяются при помощи ли-
ний связи как принадлежащие направ-
ляющим m и n. Фронтальные проекции 1'',
2'', 3'' точек 1, 2, 3 определяются при помощи образующих l1, l2, l3.
Рис. 7.41
Горизонтальные проекции этих образующих проходят через проекции 1', 2', 3' точек 1, 2, 3 параллельно плоскости параллелизма α.
Фронтальные проекции образующих 1'', 2'', 3'' определяются с использованием точек 11, 12, 21, 22, 31, 32, которые принадлежат направляющим m и n.
Полученные фронтальные проекции точек А'', 1'', 2'', 3'', В'' соединяются плавной кривой.
7.9.Вопросы для контроля
1.Перечислите плоские лекальные кривые.
2.Как образуется цилиндрическая винтовая линия?
3.Перечислите линейчатые поверхности (развертывающиеся и неразвертывающиеся).
4.Как образуются поверхности с плоскостью параллелизма (цилиндроид, коноид, косая плоскость)?
5.Как образуются линейчатые винтовые поверхности (геликоиды) и дайте им название?
6.Как образуются поверхности вращения?
7.Перечислите линейчатые поверхности вращения.
8.Перечислите нелинейчатые поверхности вращения.
9.Как образуется поверхность тора и назовите его разновидности?
81
Глава 8. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ. РАЗВЕРТЫВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
8.1Общие положения
Линия пересечения кривой поверхности с плоскостью представляет собой плоскую кривую, которая может распадаться и на прямые линии в случае пересечения плоскости с линейчатой поверхностью по ее образующим.
Для построения этой кривой линии на чертеже находят проекции ее отдельных точек, соединяемых с помощью лекала.
Среди точек линии пересечения имеются точки, которые занимают особое расположение на кривой или выделяются своим местоположением относительно плоскостей проекций. Такие точки называют опорными или характерными. К ним относятся высшие и низшие, ближние и дальние, точки, расположенные на крайних образующих (точки видимости) и др. Остальные точки называются промежуточными или случайными.
Для нахождения точек линии пересечения применяются вспомогательные секущие плоскости (проецирующие или плоскости уровня). Вспомогательные плоскости выбираются так, чтобы в пересечении с кривой поверхностью получались простейшие линии – прямые и окружности.
На рис. 8.1. цилиндр вращения пересекается плоскостью общего положения α, заданной следами h0α и f0α .
х |
х |
Рис. 8.1
Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра (окружностью). Для построения фронтальных проекций точек кривой пересечения использованы вспомогательные плоскости частного положения.
Низшая 1 и высшая 2 точки определены при помощи горизонтальнопроецирующей плоскости β, перпендикулярной секущей плоскости α. Она пересекает плоскость α по линии МN (линии наибольшего ската) а поверхность цилиндра – по образующим.
Точки видимости 3 и 4, ближняя и дальняя 5 и 6 построены при помощи фронтальных плоскостей χ1, χ2, χ3, пересекающих заданную плоскость α по фронталям f1, f2,
82
f3, а поверхность цилиндра по образующим.
Для построения точек 7 и 8 использована горизонтально-проецирующая плоскость δ, которая пересекается секущей плоскостью α по горизонтали h ( как плоскости с параллельными горизонтальными следами), а с поверхностью цилиндра по образующим.
Последовательно соединив фронтальные проекции точек, получим фронтальную проекцию линии пересечения цилиндра плоскостью – эллипс (большая ось эллипса – отрезок 1-2, малая – отрезок 7-8).
Для нахождения промежуточных точек можно воспользоваться либо фронтальными, либо горизонтальными плоскостями уровня. В последнем случае плоскости будут пересекать секущую плоскость по горизонталям, а поверхность цилиндра – по окружностям. Определив горизонтальные проекции точек, принадлежащие линии сечения, можно найти и фронтальные. Построение промежуточных точек на рис. 8.1 не показано.
Задача на построение линии пересечения кривой поверхности плоскостью значительно упрощается, если заданные секущие плоскости являются плоскостями частного положения. В этом случае одна проекция линии пересечения совпадает со следом – проекцией секущей плоскости, а построение недостающих сводится к построению ряда проекций точек на поверхности. А если секущая плоскость является плоскостью общего положения, то можно преобразовать чертеж так, чтобы секущая плоскость стала в новом положении проецирующей (например, использовать способ перемены плоскостей проекций).
В дальнейшем пересечение поверхностей будет рассматриваться только плоскостями частного положения (проецирующими или плоскостями уровня).
8.2 Пересечение цилиндра плоскостью. Построение развертки
При пересечении цилиндра вращения плоскостью возможны случаи:
1секущая плоскость параллельна оси – в сечении цилиндрической поверхности получаются две прямые (образующие) (рис. 8.2, а);
2секущая плоскость перпендикулярна оси – в сечении получается окружность, равная окружностям оснований (рис. 8.2, б);
3секущая плоскость наклонна к оси – в сечении получается эллипс, малая ось которого всегда равна диаметру цилиндра, а большая зависит от угла ϕ
(рис. 8.2, в).
а |
б |
в |
Рис. 8.2
83
На рис. 8.3 показано построение проекций цилиндра вращения, усеченного плоскостями частного положения α, β, χ.
х
у у
х
y y
Рис. 8.3
Горизонтальная плоскость α (α'') пересекает поверхность цилиндра по части окружности, профильная плоскость β (β'') по прямым АВ и СD (образующим цилиндра), фронтально-проецирующая плоскость γ (γ'') – по части эллипса. Фронтальная проекция линий пересечения совпадает со следами – проекциями секущих плоскостей (α'', β'', χ''), а горизонтальная – с окружностью оснований цилиндра.
Построение профильной проекции сводится к построению профильных проекций точек по двум заданны, направление построений линий связи указано стрелками).Вместо ломаных линий связи при построении профильных проекций точек можно использовать координаты y, которые откладываются на горизонтальных линиях связи по разные стороны оси цилиндра (см. построение точек А, В, С, D).
Обычно для построения точек линий сечения пользуются образующими, равноотстоящими друг от друга. Поэтому горизонтальная проекция цилиндра (окружность) разделена на 12 частей (точки 1, 2…12). Этой равномерной «разметкой» удобно пользоваться не только для построения проекций сечений, но и для построения развертки.
Действительный вид фигуры сечения плоскостью γ построен способом перемены плоскостей проекций. Новая ось проекций x1проведена параллельно следу – проекции γ''. Выполнив соответствующие построения на плоскости π4, получим натуральную величину сечения цилиндра плоскостью γ.
84
На рис. 8.4. приведено построение полной развертки усеченного цилиндра.
Рис. 8.4
Для построения развертки боковой поверхности на горизонтальной прямой откладывают длину окружности основания πd и делят ее на 12 равных частей (с определенной степенью точности вместо 1/12 длины окружности можно откладывать длину соответствующей хорды). Из точек деления проводят перпендикуляры к отрезку πd и на них откладывают длины образующих от основания до секущих плоскостей α, β, χ. Для построения точек А, В, С, D на развертке использовано расположение этих точек на горизонтальной проекции цилиндра (от точек деления откладывают длины дуг 2А и 12В) Точки 1, А, С и 1, В, D соединены прямыми линиями. Точки С, 3…11, D соединяют плавной линией.
К прямой линии πd (развертка нижнего основания цилиндра) присоединяют окружность основания, а к верхней части боковой развертки натуральные фигуры сечения плоскостями (часть эллипса, прямоугольник, сегмент окружности).
8.3Пересечение конуса плоскостью. Построение развертки
При пересечении конуса вращения получаются различные виды кривых второго порядка (конические сечения). Рассмотрим возможные случаи пересечения конуса фронтально-проецирующими плоскостями (угол между следом – проекцией и осью конуса – α, половина угла конуса при вершине – ϕ).
85