Файл: Начертательная геометрия.pdf

0''

0'

1. Секущая плоскость α (α'') пересекает все образующие конуса ( не параллельные ни одной из образующих конуса) – в сечении получается эллипс

(ϕ > δ) (рис. 8.5).

2.В частности, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса, то получается окружность (рис. 8.6).

3.Секущая плоскость α (α'') параллельная одной образующей конуса в сечении получается парабола (ϕ = ϕ) (рис.8.7).

4.Секущая плоскость α1 (α1'') параллельна двум образующим конуса – в сечении получается гипербола (ϕ < δ) (рис. 8.8). Профильная плоскость α2 (α2'') образует с осью конуса угол равный 0, что не противоречит вышеуказанному неравенству.

86

В частном случае, если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получается пара пересекающихся в вершине прямых (образующих) (рис.8.9).

Если конус вращения пересекается плоскостью общего положения, то о линии пересечения можно судить, преобразовав плоскостью общего положения в проецирующую. Преобразование рационально выполнить переменой плоскостей проекций.

На рис. 8.10 показано построение проекций усеченной части конуса вращения плоскостями частного положения α и β.

Рис. 8.9

А

х

х

A'

Рис. 8.10

Фронтально-проецирующая плоскость α (α'') пересекает поверхность конуса по эллипсу (см. рис.8.5), профильная плоскость β (β') – по гиперболе (см. рис. 8.8).

Фронтальная проекция линий пересечения совпадает со следами – проекциями секущих плоскостей (α'', β''). Горизонтальная проекция сечения конуса плоскостью α - эллипс, а горизонтальная проекция сечения плоскостью β совпадает со следом – проекцией β'.

87

Для построения точек линий сечения использованы образующие, равностоящие друг от друга. Поэтому горизонтальная проекция основания конуса (окружность) разделена на 12 равных частей (точки І, ІІ…ХІІ). Это позволяет использовать равноотстоящие образующие для построения развертки конуса.

Фронтальные проекции образующих пересекают след проекции α в точках 1, 2…12. Эти точки по линиям связи находятся на горизонтальных проекциях образующих, причем точки 4 и 10 определяются на профильной проекции ( на очерковых образующих), а затем на горизонтальной. Малая ось эллипса АВ определена при помощи горизонтальной плоскости χ (χ), которая проведена через середину отрезка 1 – 7 (фронтальную проекцию линии сечения плоскостью α).

Вспомогательная плоскость χ (χ) пересекает плоскость α по фронтальнопроецирующей прямой, а конус по окружности радиуса R. В пересечении прямой и дуги радиуса R определим горизонтальные проекции А и В.

Построения профильных проекций точек эллипса (1, 2…12) сводится к построению проекций точек по двум заданным (направлений линий связи указано стрелками).

Для построения точек, принадлежащих гиперболе использованы точки G и H, находящихся на образующих II и XII, а также точки E и F, принадлежащие вспомогательной горизонтальной плоскости δ (δ).

На рис. 8.11 приведено построение полной развертки усеченного конуса, приведенного на рис. 8.10.

Рис. 8.11

88

Полная развертка состоит из боковой развертки, части основания конуса и натуральных величин сечений.

Построение развертки боковой поверхности начинают с проведения из точки S дуги окружности радиусом, равным длине образующей конуса, Длина дуги определяется центральным углом ϕ:

ϕ= 180 l/d ;

где d – диаметр окружности основания конуса; l – длина образующей.

Дугу делят на 12 частей и полученные точки соединяют с точкой S (с определенной степенью точности вместо 1/12 длины окружности основания конуса можно откладывать длину хорды).

От вершины S на образующих откладывают действительные длины отрезков образующих от вершины конуса до секущих плоскостей. Действительные длины этих отрезков находят способом вращения вокруг оси конуса. Для этого достаточно из фронтальных проекций точек фигур сечений провести горизонтальную прямую до пересечения с контурной образующей конуса, являющейся действительной ее длиной.

Для построения точек C и D, лежащих на основании конуса следует отложить от точекIII и XI соответствующих дуг(эти дуги на рис. 8.10 и 8.11 отмечены одной черточкой).

Для построения точек E и F на развертке находятся положения образующих, на которых находятся эти точки, откладывая от точек II иXII соответствующие дуги (эти дуги отмечены двумя черточками). Положение точек E и F на образующих находим, используя действительные длины отрезков SE и SF.

Для получения полной развертки пристраивают к развертке боковой поверхности часть основания конуса и натуральные величины сечений.

Натуральная величина эллипса построена по его осям (использован способ перемены плоскостей проекций), натуральная величина сечения профильной плоскостью β находится на профильной проекции (рис. 8.10).

8.4 Пересечение сферы и тора плоскостью

При пересечении сферы плоскостью всегда получается окружность, которая в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскостям проекций, проецируется в виде прямой, в виде эллипса или в виде окружности.

На рис. 8.12 показано построение проекций усеченной сферы плоскостями частного положения α, β, χ. Фронтальная проекция линий пересечения совпадает со следами

– проекциями секущих плоскостей (α, β, χ).

Горизонтальная проекция сечения сферы плоскостью α - окружность радиуса R, а профильная – прямая.

Профильная проекция сечения плоскостью β – окружность радиуса R, а горизонтальная – прямая.

Плоскость χ пересекает сферу по окружности, которая на плоскости π и π проецируется в виде эллипса. Две вершины этого эллипса (точки А и В) являются низшей и высшей точками сечения. Точки 1 и 2, лежащие на экваторе и профильном меридиане, определяют видимые части горизонтальной и профильной проекций от невидимой (точки обозначены только на одной симметричной части сечения). Вершина эллипса D (конец большой оси) определена при помощи горизонтальной плоскости δ (δ). Плоскость δ пересекает заданную плоскость χ на фронтально проецирующей прямой, а сферу – по окружности радиуса R, проецирующейся на плоскость π в натуральную величину. Профильная проекция D''' точки D строится по линиям связи. Аналогичным способом находят промежуточные точки 3, используя вспомогательную плоскость δ2.

Видимость горизонтальной и профильной проекций линий сечений определяется в зависимости от расположения их относительно экватора и профильного меридиана сферы.

89

При пересечении тора плоскостью в общем случае получается кривая 4-го порядка, в частных случаях она может распадаться на две кривые 2-го порядка.

На рис. 8.13 показано построение проекций усеченной части открытого тора фронтально-проецирующей плоскостью α (α).

Фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом – проекцией секущей плоскостью α.

Для построения кривой пересечения определены точки А, В, С, D, E и промежу-

точные 1, 2, 3, 4.

90

Точки А и В лежат на экваторе (наибольшей параллели) тора, точка С на горле (наименьшей параллели). Точки D и Е лежат на крайних параллелях (точки обозначены только на одной симметричной части сечения).

Промежуточные точки 1 и 2 расположены на параллелях m, точки 3.4 – на параллелях n. Построение горизонтальных проекций показано стрелками.

Профильные проекции точек кривой пересечения построены при помощи линий

связи.

8.5Построение условной развертки сферы

Так как сферическая поверхность принадлежит к числу неразвертывающихся, то возможна лишь ее приближенная (условная) развертка. Способ построения состоит в том, что сферу разбивают с помощью меридианов на узкие равные между собой доли (клинья). Каждую такую долю заменяют описанной цилиндрической поверхностью, которая касается сферы по среднему меридиану доли. Этот средний меридиан будет нормальным сечением цилиндрической поверхности. Границами цилиндрической поверхности будут плоскости меридианов, ограничивающих рассматриваемую долю.

На рис. 8.14 показано построение условной развертки сферы.

Горизонтальную проекцию n экватора n разбиваем на 12 равных частей и через полученные точки проводим горизонтальные проекции меридианов (рис. 8.14, а).

Рассмотрим построение приближенной развертки 1/12 части (доли) сферы, средним меридианом которой является меридиан m (m' m'').

Заменим часть сферы цилиндрической поверхностью, описанной около нее. Образующие этой поверхности будут фронтально-проецирующими прямыми. Для построения развертки элемента цилиндрической поверхности половину фронтального меридиана разбиваем на 6 равных частей (отмечены точками 1, 2, 3, 4 только половина симметричной части). На горизонтальной прямой (рис. 8.14, б) откладываем отрезок А0В0 равный 1/12 окружности диаметра D. Через середину А0В0 проводим перпендикуляр и

91

откладываем на нем отрезки 40-30, 30-20, 20-10, равные длине дуг меридиана m. Через полученные точки проводим горизонтальные прямые, на которых откладываем отрезки С0D0, E0F0, соответственно равные длине образующим цилиндрической поверхности С - D, E – F. Отрезки А - В, С - D, E – F представляют собой спрямленные дуги соответствующих параллелей сферической доли. Соединив найденные точки лекальной кривой, получим плоскую фигуру, являющейся приближенной разверткой 1/12 части сферы.

Для придания каждой доли развертки сферической поверхности кроме изгибания производят растяжение и сжатие материала.

Положение произвольной точки К принадлежащей поверхности сферы, может быть определено на развертке с помощью двух “координат” – длин дуг S1 и S2. Дуга S1 определяет смещение точки К от одной из параллелей по меридиану, а дуга S1 - смещение ее от одного из меридианов по параллели сферы.

8.6 Примеры решения задач к главе 8

Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения плоскостью общего положения, заданной пересекающимися прямыми АВ и ВС (рис. 8.15).

Рис. 8.15

92

Для построения использован способ перемены плоскостей проекций. Сделав секущую плоскость проецирующей, сведем задачу к построению ряда точек на поверхности конуса.

Расположим дополнительную плоскость проекций π4 перпендикулярно горизонтали АВ, секущей плоскости при этом, ось x1 расположим перпендикулярно проекции АВ. Горизонталь АВ преобразуется в проецирующую прямую (А В), а секущая плоскость (АВ ∩ ВС) в плоскость перпендикулярную плоскости π4. След – проекция секущей плоскости – пересекает проекцию конуса на плоскость π4 в точках 1 и 2, которые являются концами большой оси эллипса. В точке О, делящей отрезок 1 2 пополам, находится проекция центра эллипса. По линиям связи на горизонтальной проекции конуса найдены проекции 0 1 2. Для нахождения проекций 3 и 4 (концов малой оси эллипса) использована плоскость α (α ), проведенная перпендикулярно к оси конуса. В пересечении окружности радиуса R, проведенной из точки S, с линией связи, проведенной из проекций О, находятся проекции 3 и 4. Для определения положения точек 5 и 6, в которых эллипс на фронтальной проекции разделяется на «видимую» и невидимую» части, построены проекции SD, SE образующих SD и SE, найдены точки 5 и 6, по ним проекции 5 и 6. Образующие SF и SG использованы для нахождения точек 7 и 8, расположенных на ближней и дальней образующих конуса. Фронтальные проекции точек 1, 2, 3, 4, 5. 6, 7, 8, 0 находятся из того, что расстояния проекций на плоскость π от оси x1 равно расстоянию проекций на плоскость π2 от оси x. Профильная проекция линии пересечения конуса плоскостью строится, используя линии связи.

Натуральная величина фигуры сечения эллипса по его большой оси (1020=1 2) и малой оси (3040 = 3 4).

Пример 2. Построить линию пересечения тела вращения фронтальной плоско-

стью α (рис. 8.16).

Рис. 8.16

93