Файл: Начертательная геометрия.pdf

В пересечении этих образующих с прямой АВ находятся искомые точки пересечения K1 и K2. При определении видимости проекций точек пересечения руководствуются видимостью проекций образующих, на которых расположены точки K1 и K2. Точка K1 находится на образующей, точка K2 – на невидимой.

На рис. 9.12 показано построение точек пересечения прямой АВ общего положения со сферой радиуса R с центром в точке О.

Через прямую АВ проведена горизонтально проецирующая плоскость α, которая пересекает сферу по окружности радиуса R. Для того чтобы избежать проецирования этой окружности на фронтальную плоскость проекций π2 (проекция – эллипс), задача решается с помощью способа перемены плоскостей проекций.

Преобразуем систему π1/π2 в новую π2/π4 , при этом плоскость π4 параллельна прямой АВ. Проведя новую ось проекций параллельно АВ, находим положение прямой АВ и центра сферы О на плоскости проекций π4 – проекции АIVВIV и ОIV.

Рис. 9.12

В результате преобразования прямая AB стала параллельной плоскости π4 и окружность радиуса R1 проецируется наπ4 без искажения. В пересечении проекции АВ и окружности радиуса R1 определяются проекции точек пересечения K1 и K2.

Проекции точек пересечения на плоскости π1 и π2 находятся при помощи линий связи. При определении видимости участков прямой АВ следует учитывать, что проекция K1IV точки K1 расположена на невидимой части сферы.

100

9.3. Примеры решения задач к главе 9

Пример 1. Построить точки пересечения прямой АВ с поверхностью кругового кольца (рис. 9.13).

Решение. Так как прямая АВ – горизонтальная, то для построения точек пересечения применим вспомогательную горизонтальную плоскость α (α"). Плоскость α

пересекает поверхность кругового кольца

по двум параллелям (окружностям) радиу-

сов R1 и R2. В пересечении горизонтальных

проекций параллелей с проекцией прямой

АВ определяются горизонтальные проекции K1, K2, K3, K4 точек пересечения. Фронтальные проекции точек пересечения находятся

при помощи линий связи. Так как поверх-

ность тора представляет собой поверхность

4-го порядка, то прямая имеет в общем слу-

чае четыре точки пересечения.

При определении видимости участков проекций прямой руководствуемся тем, что фронтальные проекции точек K1, K2, K3 расположены на невидимой части поверхности кругового кольца.

Рис. 9.13

Пример 2. Построить точки пересечения прямой АВ с поверхностью усеченного конуса (рис. 9.14).

Решение. Так как фронтальную проекцию вершины конуса нельзя построить (построения выходят за рамки чертежа), то принимаем очерковую образующую конуса за фронтальную проекцию вспомогательной прямой, проходящей через вершину конуса. Обозначив точку ее пересечения с проекцией АВ точкой С, находим на горизонтальной проекции АВ проекцию С и проводим горизонтальную проекцию SC вспомогательной прямой SС. Пересекающиеся прямые АВ и SС образуют плоскость, пересекающую конус по образующим. Находим ее горизонтальный след hоα на плоскости основания конуса, построив горизонтальные следы М1 и М2 прямой АВ и вспомогательной прямой. След hоα пересекает окружность основания конуса в точках 1 и 2.

Рис. 9.14

101

Пересечение проекций образующих S1 и S2 с проекцией АВ определяет горизонтальные проекции K1 и K2 точек пересечения. По линиям связи определяем фронтальные

проекции K1, K2.

Видимость участков проекции отрезка АВ определяем из того, что точки пересечения расположены на видимых частях проекций конуса.

9.4.Вопросы для контроля

1.При каких условиях рассматриваются частные случаи пересечения прямой поверхностью геометрических тел?

2.Как построить точки пересечения прямой с поверхностью в частном случае?

3.В чем состоит общий способ определения точек пересечения прямой с поверхностью геометрических тел?

4.Как проводится вспомогательная плоскость при пересечении конуса прямой линией общего положения, чтобы получить в сечении конуса прямые линии?

5.С помощью каких преобразований можно упростить задачу построения точек пересечения прямой общего положения со сферой?

102

Глава 10. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ 10.1. Способы построения линий пересечения

При пересечении многогранников может иметь место проницание одного многогранника другим (полное пересечение) и врезание (неполное пересечение).

При проницании получаются две замкнутые линии пересечения. Они могут быть плоские (при проницании одной грани) и пространственные (при проницании двух и более граней). При врезании получается одна замкнутая пространственная ломаная линия пересечения.

Вершинами ломаной пересечения являются точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого и ребер второго с гранями первого. Звеньями ломаной являются отрезки, по которым грани одного пересекают грани другого.

В соответствии с этим при решении задач используется один из следующих спо-

собов:

1)способ ребер, дающий возможность найти вершины ломаной линии пересечения (задачи на пересечение прямой линии с плоскостью);

2)способ граней, дающий возможность определить звенья ломаной линии пересечения (задачи на взаимное пересечение плоскостей).

Преимущество отдается тому из способов, который дает более простое решение. Иногда эти два способа целесообразно комбинировать. Следует отметить, что если проекция ребра одного многогранника не пересекает проекции контура другого, то данное ребро не пересекает другой многогранник. Однако пересечение проекций ребра одного многогранника с проекциями контура другого еще не означает, что ребро пересекает многогранник.

При определении видимости проекции линии пересечения следует учитывать, что видимой является та часть линии пересечения, которая находится на видимых проекциях граней обоих многогранников.

Рассмотрим случай пересечения пирамиды с призмой, боковая поверхность которой – фронтально-проецирующая (рис. 10.1).

Так как фронтальные проекции ребра АА1 призмы и ребра SF пирамиды не пересекают контур другого многогранника, то при пересечении получается одна пространственная ломаная линия (случай врезания).

Грань АА1В1В призмы – горизонтальная плоскость α, пересекающая боковую поверхность пирамиды по ломаной линии, звенья которой параллельны сторонам основания DEF пирамиды. По фронтальной проекции точки 1′′, расположенной на ребре SD пирамиды найдем ее горизонтальную проекцию 1′ и проведя звенья ломаной линии, оп-

ределим точки 2′,3′,4′ (1′- 2′ ll D′E′, 2′-3′ ll E′F′, 1′4′ ll D′F′).

Горизонтальные проекции 5′ и 6′ точек пересечения ребер SE и SD находятся с помощью линий связи.

Горизонтальные проекции 7′ и 8′ точек пересечения ребра СС1 призмы с поверхностью пирамиды определим с помощью горизонтальной плоскости β, проведенной через ребро СС1 призмы.

Плоскость β пересекает поверхность пирамиды по линиям, параллельным сторонам основания пирамиды. Спроецировав точку K, лежащую на ребре SD пирамиды, через проекцию K′ проведем линии, параллельные S′E′ S′ F′. Эти линии пересекаются с горизонтальной проекцией ребра СС1 призмы в точках 7′ и 8′.

Последовательно соединяя каждые пары точек пересечения одних и тех же гра-

ней отрезками прямых, получим замкнутую пространственную ломаную линию 1′-2′-3′-

5′-7′-6′-8′-4′-1′.

103

S''

α''

'

F''

F

S

E

Рис. 10.1.

Видимой будет часть этой линии 3′-2′-1′-4′, расположенная на видимой грани

AA1B1B.

На рис. 10.2 показано построение линии пересечения двух призм, боковые поверхности которых проецируются (для призмы ABCA1 B1C1 - горизонтальнопроецирующая, для призмы DEFD1E1F1 – профильно-проецирующая).

Рассматривая положение горизонтальных и профильных проекций многогранников отмечаем, что призма DEFD1E1F1 проницает боковую поверхность призмы ABCA1 B1C1. Следовательно, при пересечении получаются две замкнутые ломаные линии: одна из них – пространственная (пересекаются две грани призмы ABCA1 B1C1), другая – плоская (пересекается одна грань).

Горизонтальная проекция линий пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикальной призмы, а профильная – с профильной проекцией горизонтальной призмы.

Отмечая точки пересечения 1′-2′-3′-4′-5′-6′ горизонтальных проекций ребер D′D1′,E′E1′, F′F1′ с горизонтальной проекцией призмы ABCA1B1C1, при помощи линий связи находим их фронтальные проекции.

Фронтальные проекции 7′′, 8′′ точек пересечения ребра АA1 с боковой поверхностью призмы DEFD1E1F1 определим по линиям связи, используя их профильные проек-

ции 7′′′ и 8′′′.

104