Файл: Начертательная геометрия.pdf

M 1M 1'

Рис.3.9

B''

Через следы прямых пройдут соответствующие одноименные следы плоскости.

Например, необходимо построить следы плоскости, заданной треугольником

ABC (рис.3.9).

Определим горизонтальный след прямой АВ. Для этого продолжим фронтальную проекцию А″В″ до пересечения с осью x и находим фронтальную проекцию М″ горизонтального следа. В пересечении линии связи и продленной проекции А″В″ находим точку М′ - горизонтальную проекцию горизонтального следа, который совпадает с горизонтальным следом М прямой АВ. Аналогично находим точку М1′ - горизонтальную проекцию горизонтального следа прямой ВС.

Соединив полученные точки М′ и М1′ проводим горизонтальный след h′0α.В пересечении h′0α с осью x получим точку схода следов xα. Затем определим фронтальный след отрезка АВ точку N ≡N″ . Соединив точку N″ с точкой xα получим фронтальный след f″0α плоскости АВС.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей плоскости. Например, необходимо определить фронтальную проекцию точки D, принадлежащей плоскости, заданной треугольником ABC (рис. 3.10). Через точку D′ проведем горизонтальную проекцию прямой A′1′ и A″1″. Проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой. По линии связи находим фронтальную проекцию точки D″.

fo''

N''N a''

x x

N' h'o a'

Рис. 3.12

Для построения проекций горизонтали плоскости треугольника АВС, через фронтальную проекцию вершины С проводим фронтальную проекцию горизонтали C″D″llOx, а затем по линиям связи строим

ее горизонтальную проекцию C′D′. Горизонтальный след плоскости является одной из ее горизонталей (нулевая горизонталь). Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x.

Если плоскость задана следами (рис. 3.12), то построение в ней горизонтали можно начинать с ее горизонтальной проекции, так как горизонтальная проекция горизонтали плоскости параллельна горизонтальному следу плоскости.

При построении горизонтали плоскости α (рис. 3.12) учтено, что следы прямых, лежащих в плоскости, расположены на одноименных следах плоскости. Поэтому, проведя горизонтальную проекцию горизонтали a′llh′0α , определяем горизон-

тальную проекцию N′, а затем фронтальную проекцию N″≡ N фронтального следа горизонтали. Фронтальная проекция a''llx.

Прямая, принадлежащая данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций π2 называется фрон-

талью плоскости.

На рис. 3.13 построение фронтали плоскости треугольника АВС начато с ее горизонтальной проекции А′К′llx, а затем

построена ее фронтальная проекция А″К″. Если плоскость задана следами (рис.3.14), то горизонтальна проекция фронтали плоскости β, b″llf″0β (f″0β - нулевая фронталь), а горизонтальный след М ≡М′ принадлежит горизонтальному следу h′0β этой плоскости. Горизонтальная проекция фронтали b′llx.

B'

y

Рис.3.15

Прямая, принадлежащая данной плоскости и перпендикулярная к ее линиям особого положения называется линией наи-

большего наклона плоскости.

В данной плоскости различают линии наибольшего наклона:

а) относительно горизонтальной плоскости проекций π1 ;

б) относительно фронтальной плоскости проекций π2;

в) относительно профильной плоскости проекций π3 .

Линия наибольшего наклона к плос-

кости π1 называется линией ската плоскости.

Если плоскость задана треугольником АВС (рис. 3.16), линия наибольшего наклона это плоскости, относительно плоскости π1 (линия ската) определяется при помощи вспомогательной горизонтали СЕ проведенной через точку С этого треугольника. Горизонтальную проекцию В'D' линии наибольшего наклона проводим через В' перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали (В'D' С'Е'), а фронтальную проекцию – через точку В'' и точку D'' построенную по точке D' с помощью линии связи.

M'

A'

B'

Пример 1. Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми АВ и СD. Определить лежит ли прямая МN в этой плоскости (рис. 3.18).

Обозначим точки пересечения фронтальных проекций прямых АВ и МN через К'' и прямых СD и МN через L''. Построим их горизонтальные проекции – точки К/ и L/ на горизонтальной проекции прямой М'N'. Из построений видно, что точки К (К'К'') и (L' L'') принадлежащие прямой МN не лежат в плоскости пересекающихся прямых АВ и СD. Значит прямая МN не лежит в заданной плоскости.

M'

h'o

Пример 2. Построить фронтальную проекцию отрезка прямой МN принадлежащую плоскости заданной двумя параллельными прямыми АВ и СD (рис. 3.19).

Обозначим горизонтальные проекции точек пересечения прямой МN с прямыми АВ и СD соответственно К' и L'. По линиям связи определяем их фронтальные проекции К'' и L'' и проводим искомую проекцию М'' N''.

Пример 3. Построить следы плоскости α заданной двумя пересекающимися прямыми АВ и СD (рис. 3.20).

Находим горизонтальные следы М

(М' М'') и М1 (М'1 М''1) прямых АВ и СD.

Проводим горизонтальный след h'оα плоскости α через точки М' и М'1 до пересечения с осью x и находим точку схода следов xα. Затем находим фронтальный след N (N' N'') прямой АВ. Соединив точки N'' и xα, находим фронтальный след ϕ''оα плоскости α.