Файл: Начертательная геометрия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.08.2024

Просмотров: 228

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

именных следов плоскостей (рис. 4.12): прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т.е. их линией пересечения.

Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей α и β надо:

1) найти точку M' пересечения следов h0α' и h0β' и точку N'' в пересечении f0α'' и f0β'' , а по ним – проекции M'' и N';

2) провести прямые линии M''N'' и M'N'.

а

б

Рис. 4.12

4.3.1. Пересечение двух треугольников

Как отмечено выше, для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения используют вспомогательные секущие плоскости. Если плоскости представлены в виде многоугольников, то в этом случае находят точки пересечения прямых, принадлежащих одной плоскости, с другой плоскостью. Таким образом, если плоскости заданы треугольниками, нужно найти точку пересечения одной стороны треугольника с плоскостью общего положения, которой является второй треугольник, затем найти точку пересечения второй стороны треугольника с той же плоскостью общего положения.

Соединив эти точки прямой линией, получим прямую, по которой пересекаются треугольники (рис. 4.13, а). Как правило, в качестве секущих плоскостей используют плоскости частного положения – фронтально-проецирующие, либо горизонтальнопроецирующие.

На рис. 4.13, б) приведено построение линии пересечения, которая проходит через точки M и N. Точка M найдена как точка пересечения прямой AB с плоскостью треугольника DEF. Для построения этой точки через сторону AB проведена фронтальнопроецирующая плоскость γ1 (на рисунке изображена ее фронтальная проекция γ1'', совпадающая с проекцией A''B'' прямой AB). Секущая плоскость γ1 пересекает плоскость треугольника DEF по прямой 1 – 2; точка M получается как точка пересечения прямых AB и 1 – 2. Сначала находим горизонтальную проекцию точки M', затем по линии связи строим фронтальную проекцию M''.

Точка N линии пересечения треугольников получена с помощью второй секущей плоскости γ2, которая проведена через прямую BC треугольника ABC и, также как γ1, является фронтально-проецирующей. Фронтальная проекция секущей плоскости γ2'' совпадает с проекцией B''C'' прямой BC. Плоскость γ2 пересекает треугольник DEF по линии 3 – 4. На пересечении прямых BC и 3 – 4 получается точка N, принадлежащая линии пересечения двух треугольников.

38

 

 

 

 

 

γ

2

C''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C''

F''

 

 

 

 

 

F''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

γ

1

 

 

 

 

3''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A''

K''

 

 

A''

1''

 

 

 

4''

''

 

 

 

''

 

 

 

2''

 

B''

 

 

 

 

B''

L''

''

 

 

 

 

''

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B'

 

 

1'

 

 

B'

'

 

 

 

'

3'

 

 

F'

 

 

 

F'

K' = L'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A'

 

 

 

A'

 

 

 

2'

4'

 

 

E'

 

 

 

 

 

 

 

C'

 

 

 

 

C'

E'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

Рис. 4.13

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из рис. 4.13, б видно, что сначала находится горизонтальная проекция точки N', затем по линии связи определяется фронтальная проекция N''.

Для определения видимости сторон треугольников надо сравнить положение двух точек, из которых одна принадлежит стороне треугольника ABC, вторая – стороне треугольника DEF и у которых совпадают либо горизонтальные, либо фронтальные проекции (конкурирующие точки). В первом случае устанавливается, какая из этих точек «закрывает» другую по отношению к горизонтальной плоскости проекций, во втором – относительно фронтальной плоскости проекций. На рис. 4.13, а в качестве примера приведены две горизонтально-конкурирующие точки – K и L. У этих точек совпадают

горизонтальные проекции (K' ≡ L').

Но точка K принадлежит стороне AB треугольни-

ка ABC и отстоит от плоскости π1

выше, чем точка L,

принадлежащая стороне DE

треугольника DEF.

Следовательно, для наблюдателя,

смотрящего на плоскость π1

сверху, точка K «закрывает» точку L , а это значит, что эта часть треугольника ABC, которой принадлежит точка K, закрывает треугольник DEF. Поэтому часть горизонтальной проекции прямой D'E', закрытой треугольником ABC, обычно не показывается (рис. 4.13, а), или показывается штриховой линией (рис. 4.13, б). Аналогично устанавливается взаимное положение фронтальных проекций треугольников ABC и DEF.

4.4. Пересечение прямой с плоскостью общего положения

Для определения точки пересечения прямой m с плоскостью α (DABC) выполняют следующие операции.

1.Через прямую m проводят проецирующую плоскость β (рис. 4.14). В данном примере проводят горизонтально проецирующую плоскость β'.

2.Определяют линию n пересечения плоскости β с плоскостью α(DABC). На

рис. 4.14 горизонтальная проекция этой линии n' совпадает с m' по построению, а фронтальная n' определяется проецированием точек 1' и 2' на фронтальные проекции A''B'' и B''C'' сторон треугольника ABC.

3. Находят точку K пересечения прямой m с плоскостью α. Фронтальная проекция n'' линии пересечения n пересекает m'' в точке K''.

39

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.14

Поскольку n лежит в плоскости α, то точка K принадлежит как плоскости α, так и прямой m, т.е. является точкой их пересечения. Ее горизонтальная проекция K' определяется проецированием K'' на m'.

Видимость прямой и плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально конкурирующих точек 2 и 3. Точка 2 лежит на стороне AC , а 3 – на прямой m. Их фронтальные проекции 2'' и 3'' показывают, что точка 2 находится ниже точки 3 и поэтому на горизонтальной плоскости проекций горизонтальная проекция 2' точки 2 будет закрыта проекцией 3' точки 3. Отсюда следует, что проекция A'C' стороны AC расположена ниже проекции m' и участок этой прямой с левой стороны до K' будет видимым. Относительную видимость на фронтальной плоскости проекций можно определить с помощью фронтально конкурирующих точек 4 и 5. Как показывают горизонтальные проекции этих точек 4' и 5', точка 4 лежит ближе к наблюдателю, чем точка 5, но поскольку последняя принадлежит прямой m, то участок ее фронтальной проекции 5''K'' невидим.

На рис. 4.15 дан пример построения точки пересечения прямой AB с плоскостью общего положения α, заданной следами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

б

Рис. 4.15

40

В данном случае через прямую AB проведена горизонтально-проецирующая плоскость β. На горизонтальной плоскости проекций линия пересечения плоскостей MN совпадает с горизонтальным следом этой плоскости. Построив фронтальную проекцию прямой M''N'' находим фронтальную проекцию точки пересечения ее с прямой AB – K'', после чего по линии связи находим горизонтальную проекцию точки K'. В завершении определяем видимость прямой AB относительно точки пересечения.

4.5. Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым этой плоскости, например ее горизонтали и фронтали.

Пример 1: Провести перпендикуляр из точки D к плоскости треугольника ABC. Решение задачи начинают с построения горизонтали h (h', h'') и фронтали f (f', f'')

плоскости треугольника (см. рис. 4.16). Затем к этим прямым проводят из точки D перпендикуляр n, как показано на рисунке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

б

Рис. 4.16

Прямая n перпендикулярна плоскости α(ABC), так как n h и n f (на основании свойства ортогонального проецирования).

При построении на комплексном чертеже перпендикуляра к плоскости нужно иметь в виду следующее: если n α(h ∩ f), то фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали, а его горизонтальная проекция – горизонтальной проекции горизонтали (n' h'; n'' f'''). Действительно и обратное утверждение.

Замечание: Построенный перпендикуляр не определяет расстояние от точки D до плоскости! Полученные точки пересечения перпендикуляра с фронталью и горизонталью не являются точками пересечения перпендикуляра с плоскостью. Точка пересечения находится с помощью дополнительных построений (секущих плоскостей), подобно тому, как это было рассмотрено в предыдущем подразделе.

Приведенное решение используется при определении расстояния от точки до плоскости и до других более сложных поверхностей.

Пример 2: Определить расстояние от точки С до прямой AB (рис. 4.17).

41

Смотрите также файлы