ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.08.2024
Просмотров: 230
Скачиваний: 0
|
∆ |
|
∆ |
а |
б |
|
Рис. 4.17 |
Решение: Расстояние от точки до прямой измеряется натуральной величиной отрезка перпендикуляра, опущенного на нее из этой точки. Поскольку данная прямая – горизонталь, то в соответствии со свойством проецирования прямого угла горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали. Проводим перпендикуляр из C' к A'B', затем строим на его горизонтальной проекции вспомогательный прямоугольный треугольник для определения натуральной величины отрезка перпендикуляра CK.
4.6. Перпендикулярность двух плоскостей
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Поэтому построение перпендикулярных плоскостей сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.
Пример 1:Провести через прямую m плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника ABC (рис. 4.18).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
б |
||
Рис. 4.18
Решение: На рис. 4.16 была рассмотрена задача на построение перпендикуляра из заданной точки к плоскости треугольника. Данная задача сводится к предыдущей, если на прямой m задать точку D и провести через нее перпендикуляр n к плоскости треугольника ABC. Полученная таким образом плоскость будет задана двумя пересекающимися прямыми, m и n, одна из которых перпендикулярна плоскости треугольника
42
ABC. А как известно, плоскость, содержащая перпендикуляр к другой плоскости, сама перпендикулярна этой плоскости.
|
Пример 2: Плоскость α задана сле- |
||
|
дами f0α'' |
и hα0'. |
Построить плоскость β, |
|
перпендикулярную |
заданной. Расстояние |
|
|
между плоскостями произвольное. Плос- |
||
|
кость β |
задать пересекающимися прямы- |
|
|
ми (рис. 4.19). |
|
|
|
Решение: |
Проводим прямую l, перпенди- |
|
|
кулярную плоскости α (l' hα0' и l'' f0α''). |
||
|
Затем заключаем эту прямую в какую-либо |
||
|
плоскость. Для этого выбираем на прямой l |
||
|
произвольную точку A и проводим через |
||
|
нее произвольную прямую m. Полученная |
||
|
таким образом плоскость β будет искомой, |
||
|
так как она задана двумя пересекающими- |
||
Рис. 4.19 |
ся прямыми, m и l, из которых одна пер- |
||
|
пендикулярна плоскости α. |
||
4.7. Перпендикулярность прямых
Определение: Две прямые перпендикулярны, если одну из них можно заключить в плоскость, перпендикулярную другой прямой.
Таким образом, чтобы провести прямую n перпендикулярно заданной прямой l, следует вначале построить плоскость α l, как это было рассмотрено в разделе 4.5, а затем в этой плоскости провести произвольную прямую. Все прямые этой плоскости будут перпендикулярны прямой l.
4.8.Вопросы для контроля
1.Как построить на чертеже плоскость, параллельную другой плоскости?
2.Как определить на чертеже расстояние от точки до прямой частного положения?
3.Как построить точку пересечения плоскости с прямой линией общего положения? Приведите примеры.
4.Покажите на примерах построение прямой и плоскости, параллельных плоскости общего положения.
5.Расскажите, как построить прямую, перпендикулярную плоскости общего положения. Приведите примеры.
6.Приведите примеры построения прямой линии, перпендикулярной проецирующей плоскости.
7.Как определить на чертеже расстояние от точки до проецирующей плоскости? Приведите примеры.
8.Сформулируйте, как построить на чертеже плоскость, перпендикулярную другой плоскости общего положения. Приведите примеры.
9.Расскажите, как построить линию пересечения двух плоскостей. Приведите пример.
10.Сформулируйте условие перпендикулярности двух прямых общего положения.
43
Глава 5 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
Решение пространственных задач на комплексном чертеже значительно упрощается, если интересующие нас элементы фигуры занимают частное положение. Переход от общего положения геометрической фигуры к частному выполняется следующими способами:
1)введением дополнительных плоскостей проекций, расположенных либо параллельно либо перпендикулярно рассматриваемому геометрическому элементу;
2)изменением положения линии или плоской фигуры в пространстве при неизменной системе плоскостей проекций.
Получающиеся в этом случае вырожденные проекции помогают решению многих задач по начертательной геометрии.
5.1. Способ замены плоскостей проекций
Сущность способа заключается в том, что на существующих плоскостях проекций строятся дополнительные плоскости проекций, расположенные параллельно или перпендикулярно заданному геометрическому объекту. При этом новая плоскость проекций обязательно должна быть перпендикулярна к одной из имеющихся плоскостей проекций. В результате образуется новая система взаимно перпендикулярных плоскостей проекций, заменяющая прежнюю.
Введем в систему плоскостей проекций π1/π2 новую плоскость проекций π4 (рис. 5.1). В результате будем иметь другую систему – π1/π4. При этом проецирование остается ортогональным, т.е. новое направление проецирования S перпендикулярно плоскости π4. В результате получается комплексный чертеж, представленный на рис. 5.2.Можно ввести новую плоскость проекций, сохранив в качестве общей (связующей) плоскости не π1, а π2. При этом все построения проводят аналогично предыдущему случаю.
z
|
|
|
A'' |
B'' |
B |
B |
DZ |
|
x |
A'
|
A'' |
B' |
|
|
A |
A |
|
|
|
||
x |
|
A' |
x |
|
|
||
|
|
|
x
DZ
A IV
Рис. 5.1 |
Рис. 5.2 |
Рассмотрим основные задачи преобразования комплексного чертежа.
5.1.1. Перевод прямой общего положения в положение прямой уровня
Для преобразования прямой AB в прямую уровня (т.е. параллельно плоскости проекций) (рис. 5.3) вводят новую плоскость проекций π4 так, чтобы ось проекций x14 была параллельна какой-либо проекции AB (в данном случае – A'B'), затем откладывают на новой плоскости проекций от оси x14 координаты Z для построения точек AIV и BIV, равные координатам Z точек A″ и B″. Новая проекция прямой AIVBIV дает натуральную величину отрезка AB и позволяет определить угол наклона ϕ1 этого отрезка к плоскости
44
проекций π1. Угол наклона отрезка AB к фронтальной плоскости проекций ϕ2 можно определить, построив его изображение на дополнительной плоскости проекций π5 π2 (рис. 5.4). Ось x15 параллельна фронтальной проекции отрезка A''B''.Проекция AVBV также будет представлять собой натуральную величину отрезка AB.
x
x
x
x
Рис. 5.3 |
Рис. 5.4 |
5.1.2. Перевод прямой уровня в проецирующее положение
x
x
Рис. 5.5
Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой уровня преобразовалось в точку (рис. 5.5.), надо эту плоскость расположить перпендикулярно данной прямой, т.е. провести на комплексном чертеже ось проекций перпендикулярно направлению проекции прямой на общую плоскость проекций. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости π4 π1. Аналогичные построения можно выполнить и для фронтали. В этом случае новая плоскость проекций π5 π2.
Для построения вырожденной в точку проекции прямой общего положения необходимо последовательно решить две предыдущие задачи. Другими словами, выполняется двойная замена плоскостей проекций. В новой системе эта прямая должна стать проецирующей.
x
x
На рис. 5.6 представлена такая задача. Прямая общего положения l (AB) сначала переводится в положение прямой уровня
введением плоскости проекций π4 π1 (AIV BIV π4), а затем в положение проеци-
рующей прямой в системе плоскостей π4/π5 (AV BV π5). На плоскости π5 прямая l изобразится в виде точки.
Рис. 5.6
45
|
5.1.3. Перевод плоскости общего положения в проецирующее положение |
|
|
Известно, что если одна плоскость перпендикулярна другой, то она должна со- |
|
держать прямую, перпендикулярную этой плоскости. В качестве такой прямой для пре- |
||
образований и перевода плоскости в проецирующее положение можно взять прямую |
||
уровня, например, горизонталь, как это показано на рис. 5.7. |
||
|
|
Используя рассуждения и построе- |
|
|
ния, приведенные в предыдущем разделе, |
|
|
переведем горизонталь h в проецирующее |
|
|
положение, вводя новую плоскость проек- |
x |
|
ций π4. Проецируем точки плоскости тре- |
|
|
угольника ABC на плоскость проекций π4, |
|
|
беря их координаты Z с плоскости π2, т.е. |
|
|
заменяем плоскость π2 на π4. Поскольку |
|
|
проекция плоскости треугольника AIVBIVCIV |
|
|
на плоскость π4 вырождена в прямую, она |
|
x |
будет служить геометрическим местом всех |
|
|
|
|
Рис. 5.7 |
точек, принадлежащих этой плоскости. |
|
|
|
|
5.1.4. Перевод проецирующей плоскости в положение плоскости уровня |
|
x
x
Если заданная плоскость перпендикулярна одной из плоскостей проекций, то с помощью замены плоскостей проекций ее можно переместить в положение плоскости уровня. Решение этой задачи позволяет определить натуральную величину плоской фигуры (рис. 5.8.).
|
Пусть задана фронтально-проециру- |
|
|
ющая плоскость α (∆ABC π2). Вводим новую |
|
|
плоскость проекций π4, параллельную α. Но- |
|
|
вая ось проекций x24 по этой причине будет |
|
|
расположена параллельно α, т.е. в системе |
|
|
плоскостей проекций π2 / π4 плоскость α зай- |
|
Рис. 5.8 |
мет положение плоскости уровня. Треуголь- |
|
ник ABC будет проецироваться на плоскость |
||
|
||
|
π4 в натуральную величину. |
5.1.5. Перевод плоскости общего положения в плоскость уровня
Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить ее изображение как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно две предыдущие задачи.
Пример: Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала параллельной одной из плоскостей проекций новой системы.
Пусть дан треугольник ABC, плоскость которого занимает общее положение (рис. 5.9). Нужно создать такую новую ортогональную систему плоскостей проекций, в которой плоскость треугольника займет положение, параллельное одной из них.
46