Средний коэффициент эластичности равен
L = f ′(x) xy .
Т.к. x = ∑n x = 3078 = 38,375 , y = ∑n y = 558 = 6,875 , то для линейной модели имеем
L = f ′(x) xy = b xy = −0,0347 386,875,375 = −0,194 ,
т.е. связь фактора с результатом можно оценить как неэластичную.
Задача 8.4.
Имеются следующие данные о расходах граждан в январе условного года:
|
Вид |
Количество |
Среднедушевой расход, |
Дисперсия |
|
обследованных |
денежных единиц, за |
|
поселения |
расходов |
|
хозяйств |
месяц |
|
|
|
|
Город |
36 |
120 |
324 |
|
Село |
64 |
50 |
196 |
Определить: 1) среднедушевой расход городских и сельских жителей; 2) дисперсии душевого расхода: среднюю из групповых, межгрупповую, общую; 3) зависимость расходов от места жительства, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Решение.
Введем обозначения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество |
|
Среднедушевой |
Дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
расход, денежных |
|
Вид поселения |
обследованных |
|
единиц, за месяц, |
расходов, σi2 |
|
|
|
|
|
|
хозяйств, ni |
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Город |
|
|
36 |
|
|
120 |
324 |
|
|
Село |
|
|
|
64 |
|
|
50 |
196 |
Среднедушевой расход городских и сельских жителей равен |
|
x = |
∑xi ni |
= |
120 36 +50 |
64 |
= |
7520 |
|
= 75,2 . |
|
∑ni |
36 +64 |
|
100 |
|
|
Межгрупповая дисперсия равна
σфакт2 |
= |
∑(xi |
− x)2 ni = |
(120 −75,2)2 36 + (50 −75,2)2 64 |
= |
112896 |
=1128,96 . |
|
|
100 |
|
|
|
∑ni |
|
|
|
36 + 64 |
|
|
Средняя из групповых дисперсий равна |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∑σi2 ni |
|
324 36 +196 64 |
|
24208 |
|
|
|
|
|
σост = |
|
|
|
= |
|
= |
|
= 242,08 . |
|
|
|
|
|
∑ni |
|
36 +64 |
100 |
|
|
|
|
Общая дисперсия равна
σ2 = σфакт2 +σост2 =1128,96 + 242,08 =1371,04 .
Коэффициент детерминации равен
η2 = σфакт2 = 1128,96 = 0,823 .
σ2 1371,04
Эмпирическое корреляционное отношение равно
η = η2 = 0,823 = 0,907 .
Задача 8.5.
Для изучения тесноты связи между объемом произведенной продукции (факторный признак – X) и балансовой прибылью (результативный признак – Y) по данным задачи № 1 вычислите эмпирическое корреляционное отношение.
Сделайте выводы.
Решение.
Сгруппируем данные относительно факторного признака X:
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
Номер |
Интервалы групп |
Значения yj, попавшие в j-ю |
y j |
группы j |
по X |
группу |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
305− 404 |
11, 12, 14, 23 |
|
15 |
2 |
404 − 503 |
26, 28, 27, 29, 30 |
|
28 |
3 |
503 − 602 |
33, 37, 35, 36, 38, 41 |
|
36,67 |
4 |
602 − 701 |
41, 43, 45, 49, 50 |
|
45,6 |
5 |
701 − 800 |
54, 55, 59, 58, 64 |
|
58 |
При решении задачи 1 были найдены yj , внесем их в таблицу 1. Кроме того, y = 37,52 .
Вычислим дисперсию
σ2y = 1n ∑( yi − y)2 = 516825,24 = 206,73 .
Вычислим межгрупповую дисперсию
nj=1 j j
=251 [(15 −37,52) 4 +(28 −37,52) 5 +(36,67 −37,52) 6 +(45,6 −37,52) 5 +(58 −37,52) 5]=
=4909,70725 =196,39 .
Следовательно, эмпирическое корреляционное отношение равно
ηyx = |
δ2y |
= |
196,39 |
= 0,950 |
= 0,975 . |
2 |
206,73 |
|
σy |
|
|
|
Выводы.
Между объемом произведенной продукции и валовой прибылью существует тесная корреляционная связь.
Задача 8.6.
По исходным данным:
1.Установите наличие и характер связи между признаками – среднегодовая стоимость основных производственных фондов и выпуск продукции методами: а) аналитической группировки; б) корреляционной таблицы.
2.Измерьте тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициентов детерминации и эмпирического корреляционного отношения.
Сделайте выводы по результатам выполнения задания.
|
|
Исходные данные |
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
№ предприятия |
Среднегодовая стоимость |
Выпуск |
|
основных производственных |
продукции, млн. |
|
п/п |
|
фондов, млн. руб. |
руб. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
31,6 |
31 |
|
2 |
25 |
27,5 |
|
3 |
15 |
25 |
|
4 |
32,5 |
34 |
|
5 |
42 |
41 |
|
6 |
38 |
36 |
|
7 |
29 |
28,6 |
|
8 |
19 |
24 |
|
9 |
40 |
40 |
|
10 |
49 |
46 |
|
11 |
31,4 |
35 |
|
12 |
28 |
29 |
13 |
20 |
20 |
14 |
31,5 |
33,6 |
15 |
26 |
28,9 |
16 |
35 |
37 |
17 |
30 |
30 |
18 |
37 |
37 |
19 |
31 |
33,8 |
20 |
24 |
24 |
21 |
31 |
33 |
22 |
32 |
32,6 |
23 |
43 |
42 |
24 |
32 |
30 |
25 |
41 |
39 |
26 |
45 |
48 |
27 |
33 |
35 |
28 |
40 |
41 |
29 |
55 |
50 |
30 |
43 |
43 |
Решение.
Группировка предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов и выпуску продукции представлена в таблице 2.
Таблица 2 Группировка по стоимости основных производственных фондов и выпуску продукции
|
Группы |
|
Среднегодовая |
Выпуск продукции, |
|
предприятий |
|
стоимость ОПФ, млн. |
№ |
по стоимости |
Число |
|
руб. |
млн. руб. |
п/п |
ОПФ, млн. |
предприятий |
|
|
|
|
|
Всего |
|
В среднем |
Всего |
В среднем |
|
руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
15 - 23 |
3 |
54 |
|
18 |
69 |
23 |
II |
23 - 31 |
6 |
162 |
|
27 |
168 |
28 |
III |
31 - 39 |
12 |
396 |
|
33 |
408 |
34 |
IV |
39 - 47 |
7 |
294 |
|
42 |
294 |
42 |
V |
47 - 55 |
2 |
104 |
|
52 |
96 |
48 |
|
Всего: |
30 |
1010 |
|
33,667 |
1035 |
34,5 |
Из расчетных данных таблицы 5 прослеживается прямая зависимость между среднегодовой стоимости основных производственных фондов (факторный признак x) и выпуском продукции (результативный признак у). Так с увеличением величины среднегодовой стоимости основных производственных фондов по каждой группе увеличивается соответственно выпуск продукции.
В I группе 18 – 23
Во II группе 27 – 28
ВIII группе 33 – 34
ВIV группе 42 – 42
ВV группе 52 – 48
Для измерения тесноты корреляционной связи строим аналитическую таблицу.
Таблица 3
Расчет межгрупповой дисперсии
|
|
Группы |
|
|
Выпуск продукции, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
млн. руб. y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
предприятий |
Число |
|
|
( |
|
− |
|
) |
( |
|
− |
|
)2 |
( |
|
− |
|
)2 f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по ОПФ, |
предприя- |
|
|
уi |
уо |
уi |
уо |
уi |
уо |
п/п |
|
млн. руб. |
тий |
f |
Всего |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
среднем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
15 - 23 |
3 |
|
69 |
23 |
-11,5 |
|
132,25 |
396,75 |
II |
|
23 - 31 |
6 |
|
168 |
28 |
-6,5 |
|
42,25 |
|
253,5 |
III |
|
31 - 39 |
12 |
|
408 |
34 |
-0,5 |
|
0,25 |
|
3 |
|
IV |
|
39 - 47 |
7 |
|
294 |
42 |
7,5 |
|
56,25 |
|
393,75 |
V |
|
47 - 55 |
2 |
|
96 |
48 |
13,5 |
|
182,25 |
364,5 |
|
|
Итого: |
30 |
|
1035 |
34,5 |
|
|
▬ |
|
|
▬ |
1411,5 |
|
В I группе y1 = 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Во II группе y2 |
= 28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВIII группе y3 = 34
ВIV группе y4 = 42
ВV группе y5 = 48
y0 = 34,5 .
Исчисляем межгрупповую дисперсию:
δ2 = ∑( yi − y0 )2 fi = 1411,5 = 47,05 .
∑fi 30
Определяем общую дисперсию:
|
= ∑ |
у2 |
|
∑ |
y |
2 |
37267,58 |
1035,54 |
|
2 |
σ2 |
|
− |
|
= |
|
− |
|
|
=1242,253 −1190,25 = 52,003 , |
|
|
|
0 |
n |
|
n |
|
|
30 |
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
где ∑у2 и ∑уданные из таблицы №1
Вычисляем коэффициент детерминации:
η2 = δ2 = 47,05 = 0,905 , или 90,5%.
σ02 52,003