Вывод: Коэффициент детерминации означает, что вариация выпуска продукции на 90,5% обусловлена влиянием величины факторного признака, т.е. стоимостью основных производственных фондов. А остальные 9,5% − это неучтенные факторы.
Определяем тесноту корреляционной связи. Рассчитываем эмпирическое корреляционное отношение.
|
η = |
δ2 |
= 0,905 = 0,951 |
|
σ2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
Связь между рассмотренными признаками очень высокая, т.к. 0,951 > 0,9.
Задача 8.7.
Капитал коммерческих банков характеризуется следующими данными:
Собственный капитал, |
|
Средний размер |
Дисперсия |
Число банков |
привлеченных |
привлеченных |
млн. р. |
|
средств, млн. р. |
средств |
|
|
30 – 40 |
8 |
100 |
400 |
40 – 50 |
10 |
180 |
2500 |
50 – 60 |
2 |
200 |
3600 |
Определить показатели тесноты связи между размером собственного капитала банков и привлеченными средствами, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.
Решение.
Каждой группе значений собственного капитала поставим в соответствие середину интервала возможных значений. Тогда таблица примет вид
|
Собственный капитал, |
Число |
Средний размер |
Дисперсия |
|
привлеченных |
привлеченных |
|
млн. р. |
банков, ni |
|
средств, млн. р., yi |
средств, sε2i |
|
35 |
8 |
100 |
400 |
|
45 |
10 |
180 |
2500 |
|
55 |
2 |
200 |
3600 |
Эмпирическое корреляционное отношение определяется по формуле
δ2 η = y , s y2
где δ2y − межгрупповая дисперсия; sy2 − общая дисперсия.
Остаточная дисперсия представляет собой среднее групповых дисперсий и находится по формуле средней арифметической взвешенной
2 |
|
∑sε2i ni |
|
400 8 + 2500 |
10 +3600 2 |
|
35400 |
2 |
sε |
= |
|
= |
|
|
= |
|
=1770 млн. р. . |
∑ni |
8 +10 |
+ 2 |
20 |
Средний размер привлеченных средств по всем группам банков найдем по формуле средней арифметической средней
∑yi ni |
|
100 8 +180 10 + 200 2 |
|
3000 |
|
y = |
∑ni |
= |
|
|
|
|
|
= |
|
=150 млн. р. |
8 +10 + 2 |
|
20 |
Межгрупповая лисперсия равна |
|
|
|
δ2y = |
1 |
∑L (y j − y)2 n j = |
1 |
[(100 −150)2 |
8 +(180 −150)2 10 +(200 −150)2 2]= |
n |
|
|
j=1 |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
34000 |
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
= |
1700 млн. р. . |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
Тогда эмпирическое корреляционное отношение равно
|
η = |
δ2y |
= |
δ2y |
= |
1700 |
= |
1700 |
= 0,70 . |
|
s y2 |
δ2y |
+ sε2 |
1700 +1770 |
3470 |
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент детерминации равен |
|
|
|
|
R2 = η2 |
= 0,49 . |
|
|
|
|
|
|
Задача 8.8.
Распределение предприятий по источникам средств для их покупки характеризуется следующими данными:
|
Источники средств |
Зарождающийся |
Зрелый бизнес |
Итого |
|
бизнес |
|
|
|
|
|
Банковский кредит |
31 |
32 |
63 |
|
Собственные средства |
38 |
15 |
53 |
|
Итого |
69 |
47 |
116 |
Необходимо:
1.Вычислить коэффициенты ассоциации и контингенции.
2.Какие выводы можно сделать на основании значений этих коэффициентов?
Решение.
Таблица для вычисления коэффициентов ассоциации и контингенции имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
a+b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
d |
|
c+d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a+c |
|
b+d |
a+b+c+d |
|
|
Коэффициент ассоциации равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ka |
= |
ad −bc |
= |
31 |
15 |
−32 |
38 |
= −0,447 . |
|
|
|
|
|
ad +bc |
|
15 |
+32 |
38 |
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент контингенции равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
Kk |
= |
|
|
ad −bc |
|
|
= |
31 15 −32 38 |
= |
|
−751 |
−0,228 . |
|
|
(a +b)(a + c)(c + d )(b + d ) |
63 69 53 47 |
|
3290,65 |
|
Выводы. Вычисленные значения коэффициентов ассоциации и контингенции говорят о недостаточной силе связи между рассматриваемыми признаками.
Задача 8.9.
По десяти однородным предприятиям имеются следующие данные:
|
Предприятие |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Количество рабочих с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
профессиональной |
10 |
12 |
14 |
17 |
24 |
28 |
30 |
35 |
40 |
50 |
|
подготовкой, % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество бракованной |
18 |
17 |
14 |
12 |
10 |
10 |
8 |
9 |
6 |
6 |
|
продукции, % |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.По исходным данным постройте однофакторную регрессионную модель зависимости выпуска бракованной продукции и профессиональной подготовкой рабочих.
2.Проверьте найденную модель на адекватность.
3.Вычислите коэффициенты эластичности между четвертым и пятым предприятиями. Сделайте выводы.
Решение.
1. Линейное уравнение регрессии между выпуском бракованной продукции и профессиональной подготовкой рабочих имеет вид:
y = b0 +b1 x + e ,
где x – профессиональная подготовка рабочих, y – выпуск бракованной продукции, e – случайные остатки.
Коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
|
xy |
|
− |
x |
|
y |
|
, b = |
|
−b |
|
. |
|
|
|
y |
x |
|
|
|
−( |
|
|
)2 |
1 |
|
x2 |
|
0 |
1 |
|
|
x |
Составим вспомогательную таблицу
№№ |
x |
y |
x2 |
xy |
y |
e |
e2 |
( y − |
y |
)2 |
1 |
10 |
18 |
100 |
180 |
15,74646 |
2,25354 |
5,078439 |
49 |
|
2 |
12 |
17 |
144 |
204 |
15,15315 |
1,84685 |
3,410843 |
36 |
|
3 |
14 |
14 |
196 |
196 |
14,55985 |
-0,55985 |
0,313427 |
9 |
|
|
4 |
17 |
12 |
289 |
204 |
13,66988 |
-1,66988 |
2,788513 |
1 |
|
|
5 |
24 |
10 |
576 |
240 |
11,59331 |
-1,59331 |
2,538629 |
1 |
|
|
6 |
28 |
10 |
784 |
280 |
10,40669 |
-0,40669 |
0,165399 |
1 |
|
|
7 |
30 |
8 |
900 |
240 |
9,813385 |
-1,81338 |
3,288364 |
9 |
|
|
8 |
35 |
9 |
1225 |
315 |
8,330116 |
0,66988 |
0,448745 |
4 |
|
|
9 |
40 |
6 |
1600 |
240 |
6,846847 |
-0,84685 |
0,71715 |
25 |
|
10 |
50 |
6 |
2500 |
300 |
3,880309 |
2,11969 |
4,49309 |
25 |
|
Всего |
260 |
110 |
8314 |
2399 |
110 |
- |
23,2426 |
160 |
|
Среднее |
26 |
11 |
831,4 |
239,9 |
11 |
- |
2,32426 |
16 |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
239,9 − 26 11 |
= −0,2967 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
xy |
x |
y |
b |
= |
|
−b |
|
=11+0,2067 26 =18,713, |
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −(x)2 |
831,4 − 262 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. эмпирическое линейное уравнение регрессии имеет вид |
|
|
|
|
|
|
y =18,713 − 0,2967 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Проверим уравнение регрессии на адекватность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент детерминации равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 |
=1 − |
|
|
|
|
∑ei2 |
|
|
|
=1 − |
23,243 |
= 0,855 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑( yi − y)2 |
160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим расчетное значение F-статистики: |
F = (n −2) |
|
|
R2 |
= (10 −2) |
0,855 |
|
= 47,071. |
|
1 |
− R2 |
1 −0,855 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критическое значение F-статистики на уровне значимости α = 0,05 равно |
|
|
Fα; 1; n−2 = F0,05; 1; 8 |
= 5,318 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчетное |
|
значение |
F-статистики оказалось больше критического |
уровня, поэтому |
уравнение регрессии с надежностью 95% считаем адекватным.
3. Определим коэффициент эластичности между четвертым и пятым предприятиями
|
L = |
y |
|
x |
= |
10 −12 |
|
24 |
= −0,69 . |
|
x |
y |
24 −17 |
10 |
|
|
|
|
|
|
Выводы. Построенная однофакторная модель регрессии является адекватной.
Задача 8.10.
Имеются следующие данные: |
|
|
|
|
|
|
|
Средние товарные |
|
№№ |
Регионы |
|
Товарооборот, д.е. |
|
|
|
|
(x) |
запасы, д.е. (y) |
|
1 |
6-й |
|
870 |
360 |
|
2 |
7-й |
|
740 |
300 |
|
3 |
8-й |
|
800 |
304 |
|
4 |
9-й |
|
800 |
300 |
|
5 |
10-й |
|
630 |
304 |
|
6 |
11-й |
|
710 |
290 |
|
7 |
12-й |
|
520 |
210 |
|
8 |
13-й |
|
600 |
310 |
|
9 |
14-й |
|
200 |
93 |
|
10 |
15-й |
|
750 |
320 |
|
11 |
16-й |
|
950 |
360 |
|
12 |
17-й |
|
845 |
310 |
|
13 |
18-й |
|
950 |
360 |
|
14 |
19-й |
|
770 |
290 |
|
15 |
20-й |
|
410 |
170 |
|
16 |
21-й |
|
150 |
60 |
|
17 |
22-й |
|
740 |
310 |
|
18 |
23-й |
|
407 |
189 |
|
19 |
24-й |
|
880 |
310 |
|
20 |
25-й |
|
510 |
340 |
|
21 |
26-й |
|
970 |
340 |
|
22 |
27-й |
|
860 |
340 |
|
23 |
28-й |
|
780 |
315 |
|
24 |
29-й |
|
790 |
310 |
|
25 |
30-й |
|
440 |
280 |
|
26 |
31-й |
|
504 |
290 |
|
27 |
32-й |
|
310 |
120 |
|
28 |
33-й |
|
380 |
160 |
|
29 |
34-й |
|
740 |
290 |
|
30 |
35-й |
|
980 |
350 |
|
31 |
36-й |
|
840 |
310 |
|
32 |
37-й |
|
780 |
308 |
|
33 |
38-й |
|
540 |
260 |
|
34 |
39-й |
|
760 |
290 |
|
35 |
40-й |
|
141 |
60 |
Задание:
1.Постройте ряд распределения по регионам.
2.Определите средние групповые и общие.
3.Определите моду и медиану, третий квартиль, восьмой дециль.
4.Определите показатели вариации.