|
|
|
10 |
|
|
|
|
750 |
|
|
|
|
320 |
|
562500 |
|
240000 |
|
102400 |
|
|
|
|
|
Всего |
|
|
6620 |
|
|
|
|
2791 |
|
4718400 |
|
1969620 |
|
829781 |
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
662 |
|
|
|
|
279,1 |
|
471840 |
|
196962 |
|
82978,1 |
|
Решение данной системы имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n∑xi yi |
|
∑xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
∑yi |
|
10 1969620 −6620 2791 |
|
|
|
|
b |
= |
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
= |
|
= 0,363 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
10 471840 −66202 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n∑xi2 − |
∑xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑yi −b1 ∑xi |
|
|
1 |
∑yi − |
b |
|
∑xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b0 |
|
|
|
|
= |
|
= y −b1 x = 279,1 −0,363 662 = 38,746 . |
= |
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, модель регрессии показателя y от x имеет вид: |
|
|
y = 38,746 + 0,363x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тесноту линейной связи между двумя переменными характеризует коэффициент |
корреляции, который вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
ryx = |
|
|
|
|
n∑xi yi −(∑xi ) (∑yi ) |
yi ) 2 . |
|
|
|
|
|
|
[n |
∑ |
xi2 − |
( |
|
xi )2 |
] n |
∑ |
yi2 |
−( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив исходные данные в эту формулу, получим: rxy = 0,934 , т.е. имеем тесную положительную линейную связь.
Средний коэффициент эластичности равен
L = f ′(x) xy
Т.к. x = 662, y = 279,1, то имеем
L = f ′(x) xy = b1 xy = 0,363 279662,1 = 0,861.
Задача 8.11.
По данным Госкомстата РФ на конец первого квартала года численность населения с доходами ниже прожиточного минимума и численность безработных составляла (млн. чел.):
Год |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
Численность населения с |
|
|
|
|
|
доходами ниже прожиточного |
35,9 |
32,4 |
33,0 |
55,2 |
59,9 |
минимума |
|
7,5 |
|
|
|
Численность безработных |
6,7 |
8,4 |
10,2 |
8,6 |
Для выявления зависимости между численностью населения с доходами ниже прожиточного минимума и численностью безработных определите:
1.Линейный коэффициент корреляции.
2.Абсолютную и относительную эластичность для второй и третьей пары признаков. Сделайте выводы.
Решение.
Определим средние значения переменных x (численность населения с доходами ниже прожиточного минимума) и y (численность безработных):
|
|
= |
|
35,9 +K+59,9 |
= 43,28 млн. чел.; |
|
|
x |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
6,7 +K+8,6 |
= |
8,28 млн. чел. |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
Линейный коэффициент корреляции равен |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
rxy |
= |
∑(xi − x)( yi − y) |
= |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
∑(xi − x)2 |
∑( yi − y)2 |
|
|
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
(35,9 − 43,28)(6,7 −8,28) +K+ (59,9 − 43,28)(8,6 −8,28) |
= |
[(35,9 − 43,28)2 |
+K+ (59,9 − 43,28)][(6,7 −8,28)2 +K+ (8,6 −8,28)]= 0,679 . |
Определим коэффициент эластичности для второй и третьей пары признаков:
|
L = |
y |
|
x |
= |
8,4 −7,5 |
|
33 |
= 4,42 . |
|
x |
y |
33 −32,4 |
8,4 |
|
|
|
|
|
|
Выводы.
Связь между численностью населения с доходами ниже прожиточного минимума и численностью безработных является достаточно тесной и положительной.
Эластичность для второй и третьей пары признаков является очень высокой.
Задача 8.12.
По 8 однородным магазинам имеются следующие данные:
Товарооборот, |
Уровень издержек обращения по |
тыс. р. |
отношению к товарообороту, % |
7 |
10,0 |
10 |
9,0 |
15 |
7,5 |
20 |
6,0 |
30 |
6,3 |
45 |
5,8 |
60 |
5,4 |
120 |
5,0 |
По уравнению прямой определить коэффициент регрессии, определив количественное изменение уровня издержек обращения при изменении товарооборота на 1 тыс. р.
Вычислить коэффициент корреляции. Сделать выводы.
Решение.
Линейное уравнение регрессии между уровнем издержек обращения по отношению к товарообороту (Y) и товарооборотом (X) имеет вид:
y = b0 +b1 x +e ,
где e – случайные остатки.
Коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
|
xy |
|
− |
x |
|
y |
|
, b |
|
= |
|
−b |
|
. |
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
−( |
|
|
)2 |
|
1 |
|
|
x 2 |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
x |
|
Результаты расчета необходимых коэффициентов:
|
|
= |
7 +10 +K+120 |
= 38,375 тыс. р.; |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
10 +9 +K+5 |
= 6,875 тыс. р.; |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
7 10 +10 9 +K+120 5 |
= 220,813 ; |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 2 +102 +K+1202 |
= 2712,375 . |
|
x 2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
Отсюда имеем: |
b |
|
= |
220,813 −38,375 6,875 |
= −0,0347 ; |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2712,375 −38,3752 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b0 |
|
= 6,875 +0,0347 38,375 = 8,207 . |
т.е. эмпирическое линейное уравнение регрессии имеет вид: y = 8,207 −0,0347 x .
Коэффициент регрессии равен b1 = −0,0347. Отсюда следует, что при изменении товарооборота на 1 тыс. р. уровень издержек обращения в среднем уменьшается на 34,7 р.
Коэффициент корреляции через коэффициент регрессии выражается в виде
r = b1 sx s y
где sy и sx − оценки стандартных отклонений наблюдений yi и xi вокруг своих средних y и x .
Определим sy и sx:
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(xi |
− x) 2 |
|
|
(7 −38,375) |
2 |
+K+(120 −38,375) |
2 |
|
s x |
= |
i =1 |
|
= |
|
= 37,641 |
; |
|
|
|
7 |
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑( yi |
− y) 2 |
|
|
(10 −6,875) |
2 |
+K+(5 −6,875) |
2 |
|
|
s y |
= |
i=1 |
|
|
= |
|
=1,797 . |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда коэффициент корреляции равен |
|
|
|
|
r = −0,0347 |
37,641 |
= −0,727 . |
|
|
|
|
|
1,797 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данное значение коэффициента корреляции говорит о наличии сильной отрицательной линейной корреляционной связи между товарооборотом и уровнем издержек обращения по отношению к товарообороту.