Файл: TVMS-3.pdf

но пользоваться этими формулами можно только в теоретических выкладках, так как при практических расчетах эти формулы обладают существенно большей вычислительной погрешностью, чем их аналоги (5.1.2) и (5.1.3). Дока зать формулы (5.1.5) и (5.1.6) мы предлагаем читателю в задачах 422 и 423.

Несложно также показать, что выборочный коэффициент корреляции заключен в пределах от –1 до 1 и характеризует близость зависимости между выборками X и Y к линейной (рис. 5.1.1).

Чем ближе точки (xi; yi) расположены к некоторой прямой, тем ближе значение модуля выборочного коэффициента корреляции ˆ| ρ(X, Y) | к единице, и наоборот, чем ближе ˆ| ρ(X, Y) | к единице, тем ближе точки (xi; yi) расположе ны к некоторой прямой. При этом выборочный коэффициент корреляции ˆρ(X, Y) положителен [отрицателен] тогда и только тогда, когда при увеличении одной из величин X, Y значения другой имеют тенденцию к увеличению [соот ветственно, к уменьшению], т. е. прямая, около которой расположены точки (xi; yi), имеет положительный [соответственно, отрицательный] наклон.

Значение выборочного коэффициента корреляции, близкое к нулю, озна чает отсутствие линейной связи между переменными, но при этом может на блюдаться сильная нелинейная корреляционная зависимость (как на рис. 5.1.1, е, где точки расположены близко к некоторой п а р а б о л е ) или ста тистическая связь, которую в виде функциональной зависимости переменных представить невозможно, так, на рис. 5.1.1, ж приведен пример статистиче ской зависимости, когда с увеличением x растет разброс точек вдоль оси y, однако никакой функцией y = f(x) (линейной или нелинейной) такую зави симость выразить нельзя.

38

x

ж)

Рис. 5.1.1. Виды зависимости между выборками: сильная линейная прямая,ˆρ(X, Y) ≈1 (а);

слабая линейная прямая,ˆρ(X, Y) ≈−0,5 (б);

сильная линейная обратная,ˆρ(X, Y) ≈−1 (в);

слабая линейная обратная,ˆρ(X, Y) ≈−0,5 (г);

отсутствие зависимости,ˆρ(X, Y) ≈0 (д);

сильная нелинейная,ˆρ(X, Y) ≈0 (е);

зависимость, не являющаяся корреляционной,ˆρ(X, Y) ≈0 (ж)

39

Задачи

420. Вычислить выборочный коэффициент корреляции по результатам наблюдений двумерной случайной величины:

421. Вычислить выборочный коэффициент корреляции по результатам наблюдений двумерной случайной величины:

xi −2 −1 0 1 2

yi 4 1 0 1 4

422.Доказать формулу (5.1.5).

423.Доказать формулу (5.1.6).

40

(где uγ/2 — такое число, что Φ0 (uγ/2 ) = γ/2 ) с вероятностью, большей γ, вы полняется неравенство | X −MX |<ε, т. е. гарантируется меньшая, чем ε, ошиб ка репрезентативности при замене математического ожидания MX выбороч ным средним X . Эту же формулу для объема выборки используют и в случае, когда n велико, и есть основания пользоваться центральной предельной тео ремой.

В частности, при большом числе испытаний Бернулли n и не очень малой вероятности p (такой, что np >10 ) в силу локальной и интегральной теорем Му авра — Лапласа (4.4.6)—(4.4.7) относительная частота ˆp имеет нормальный за

(где uγ/2 — такое число, что Φ0 (uγ/2 ) = γ/2 ) с вероятностью, большей γ, вы полняется неравенство ˆ|p −p|<ε, т. е. гарантируется меньшая, чем ε, ошибка репрезентативности при замене вероятности p относительной частотой p .

Задачи

424.Дисперсия случайной величины X не превышает 10. Требуется

ной величины (независимых, проведенных в одинаковых с вероятностной точ ки зрения условиях) от математического ожидания MX не превысит 0,25.

425. В условиях задачи 424 требуется определить, сколько следует провести наблюдений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что ошибка репрезентативности при замене математического

ожидания MX выборочным средним X не превысит 0,2.

величины X и воспользовавшись формулой (5.1.10), в которой uγ/2 =u0,99/2 =u0,495 =2,55 [так как

426. Известно, что в среднем из каждой тысячи кредитов, выданных на развитие малого предпринимательства 30 не возвращаются. Определить, сколько нужно отобрать предприятий, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9,

43