Файл: Бахтадзе 3 курс.doc

На языке пространства состояний описать такое соотношение было бы значительно менее удобно. Поэтому в инженерной практике, где нередко рассматриваются сложные соединения более простых звеньев (так называемые блок-схемы систем), язык передаточных функций бывает порой предпочтительней, чем описание в пространстве состояний или в терминах «вход-выход». Существуют определенные правила, рассчета передаточной функции блок-схемы всей системы по передаточным функциям ее отдельных звеньев (блоков).

Представим еще одно важное свойство, демонстрирующее удобство такого описания систем.

Пусть система имеет вид:

а входное воздействие представляет собой комплексныйгармонический сигнал

,

где - некоторый постоянный вектор,- частота колебаний (в теории управления мнимую единицу принято обозначать).

Из формулы (11) для решения системы получим:

. (21)

Предположим, что матрица устойчива (об условиях устойчивости матриц и систем будет рассмотрено позднее). Можно показать, что для устойчивых матрицпри.

Черезобозначимустановившееся значение вектора состояния:

. (22)

Тогда можно показать, что из (21), (22) следует, что при.

Таким образом, для установившегося значения выхода имеем:

при .

Или, иначе говоря,

(23)

где матрица называетсячастотной характеристикой системы.

Поясним смысл полученного соотношения (23). Пусть все компоненты входного вектора равны 0 кромей, которую представим в виде:

,

где -й элемент матрицы, а. В силу линейностиотклик системы на сумму вещественной и мнимой составляющихравен сумме откликов на каждую из них, т.е.

если в качестве входа взять вещественную гармонику , то на-м выходе установившееся значение будет

(24)

Отчюда вытекает следующий важный результат: если на й вход системы с устойчивой характеристикой поступает гармонический сигнал с частотой, то на-м выходе получается гармонический сигнал с той же частотой, но амплитуда отличается враз. Эту величину называюткоэффициентом усиления входного гармонического сигнала, в то время как фаза изменяется на .

Передаточные функции дискретных систем

Введем теперь определение передаточной функции для дискретных систем. Определим оператор сдвига назад :

(25)

и аналогично предыдущему случаю будем рассматривать его как формальную переменную. Тогда при первое из уравнений (12):

запишется в виде:

т.е.

Теперь передаточные функции выражаются через переменную по формуле:

, (26)

.

Аналогично непрерывному случаю, будем называть характеристическим полиномом дискретной линейной системы общий знаменатель элементов матричных функций:

от переменной .

Соответственно, как и в непрерывном случае, передаточные функции имеют вид:

,

,

где и - матрицы, элементы которой являются полиномами от .

Поэтому если не имеет нулей внутри единичного круга (т.е. матрица А дискретно устойчива, т.е. для всех собственных значений А), то матричные функции и аналитичны в этом круге.

Аналогично тому, как это сделано для непрерывных систем, можно показать, что если у открытой системы (13): без ошибок наблюдения выхода () матрица А дискретно устойчива, а на вход подается гармонический сигнал

,

то выход системы стремится к установившемуся значению, записываемому формулой:

,

т.е. и в этом случае гармонические сигналы преобразуются в пределе в гармонические с амплитудой, измененной в раз и со сдвигом по фазе, равным . Знак минус соответствует оператору сдвига назад.

Видно, что и в дискретном случае язык передаточных функций хорошо приспособлен к описанию прохождения гармонических сигналов, имеющих фиксированную частоту.

Методы анализа систем, основанные на таком подходе, называют частотными.

Операторный подход к описанию линейных систем в пространстве состояний

Рассмотрим непрерывную стационарную систему:

(27)

при нулевых начальных условиях и отсутствии ошибок на выходе ().

Тогда сигнал на выходе линейно зависит от сигнала на входе:

,

где - некоторый линейный оператор.

Для линейной системы (27) этот оператор является линейным интегральным оператором и имеет явное выражение:

.

Функция называется весовой функцией системы.

Однако можно рассматривать и более общие линейные операторы L, задающие соответствие входа и выхода. При этом система не обязательно приводима к виду (27).

На такие операторы следует наложить естественные ограничения, например, требование причинности: значение выхода в момент не может зависеть от значений входа в будущем .

Кроме того, оператор L должен быть ограниченным в смысле определенной операторной нормы.

Для одномерного случая (когда входной и выходной сигналы скалярные), весовая функция определяется как реакция системы в момент на - функцию:

(функция, имеющая конечное значение при единственном значении переменной (обычно в начале координат) и равная нулю при всех других значениях.), если начальное состояние было нулевое.

Эту функцию называют также импульсной характеристикой системы.

Для одномерных систем в качестве другого «типового» сигнала на входе рассматривают также «единичный скачок», или функцию Хевисайда:

1.

Реакцию системы (при нулевых начальных условиях) на такое входное воздействие называют переходной характеристикой , или переходной функцией. Она связана с импульсной характеристикой соотношением:

.

Способ описания систем с помощью весовой или переходной функций часто применяется при моделировании сложных физических устройств неизвестной структуры.

Управляемые системы. Критерии управляемости