Файл: математика.pdf

Переходя к пределу при l ! 1, получаем представление функции f(x) интегралом Фурье:

Е¸ часто представляют в виду двух соотношений: преобразования

В отличие от ряда Фурье, имеющего дискретный спектр ck, спектр сигнала, выраженного с помощью интеграла Фурье является непрерывной функцией F (!).

22

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным называется уравнение, в которое входит неизвестная функция и е¸ производные. Общий вид дифференциального уравнения порядка n:

Удифференциального уравнения есть две особенности:

²Решениями дифференциального уравнения являются не числа, а функции,

²В уравнение, помимо неизвестной функции входят е¸ производные.

Порядком уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение. Уравнение (1) имеет порядок n.

В большинстве практических приложений дифференциальное уравнение имеет вид разрешенного относительно старшей производной:

В принципе, разрешая уравнение (1) относительно переменной y(n), его можно преобразовать в уравнение (2), хотя практически это не всегда удается выполнить в алгебраической форме.

Поскольку в практических задачах в подавляющем большинстве случаев встречаются уравнения, разрешенные относительно старшей производной, математиками разрабатывалась теория именно таких уравнений. Если в конкретной задаче получается дифференциальное уравнение не разрешенное относительно старшей производной, то его надо разрешить, а если это не удается сделать, придется разрабатывать специальные методы его исследования.

Дифференциальные уравнения, как правило имеют много решений. Для выбора из множества решений одного, кроме решаемого уравнения, удовлетворяются некоторые дополнительные условия: граничные, краевые и т.д.

Используются термины – частное и общее решение.

Частное решение – это какая-то конкретная функция y(x), обращающая дифференциальное уравнение в тождество.

23

Например, для уравнения y0 = y частным решением будет y = ex, а общим y = Cex. Если в общем решении положить C = 1, получим указанное частное решение. Общее решение – это функция y(x; C1; : : : Cn), зависящая не только от x, но и от других величин C1; : : : Cn, называемых произвольными постоянными, задавая значения которых можно получить любое частное решение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, ЗАДАЧА КОШИ, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЯ

Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид

Дадим геометрическую интерпретацию решений уравнения (Рис.2). Пусть y = y(x) – частное решение уравнения (3). В любой точке плоскости Oxy, через которую проходит это решение, соотношение y0 = f(x; y) означает, что производная y0, то есть тангенс угла наклона кривой y(x), численно равен правой части системы – f(x; y(x)). Тангенс угла наклона, или вычисленный по нему угол наклона определяет направление, по которому будет двигаться решение из заданной точки при изменении

независимой переменной x.

Таким образом, уравнение (3) для каждой точки плоскости Oxy определяет направление, по которому движется изображающая точка (x; y(x)) решения y = y(x). Если это направление в каждой точке плоскости отметить отрезком прямой, исходящей из точки, решение будет представлять кривую, в каждой точке касающуюся исходящей из точки прямой.

На рисунке проведены построения для дифференциального уравне-

ния

y0 = ¡xy ;

решениями этого уравнения являются окружности с центром, находящимся в начале координат. В качестве примера, на рисунке также построено решение, соответствующее начальному условию y(3; 5)=0.

24

Выбирая различные точки (x0; y0), можно получить различные частные решения.

Если для фиксированного x0 обозначить y0 = C, где C – произвольная постоянная, то получится формула для общего решения y = '(x; C).

Очень часто в практических приложениях аргумент x представляет время. Исходя из таких ситуаций условие прохождения решения через данную точку называется начальным.

Иногда при получении общего решения его удается получить в виде неявной функции ©(x; y; C) = 0. Такая функция называется первым интегралом уравнения (3). Для дифференциального уравнения первого порядка такой интеграл один, у уравнений высокого порядка первых интегралов, в принципе, столько, каков порядок уравнения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПОРЯДКА n

Для дифференциального уравнения порядка n

также доказаны теоремы существования и единственности в разных предположениях относительно функции f. Из них вытекает, что при определ¸нных условиях существует и, притом, только одно решение, удовлетворяющее уравнению (4) и n начальным условиям: y(i)(x0)=yi0 i = 0; 1; : : : ; (n¡1).

С практической точки зрения это означает, что существует только одно решение уравнения(4), удовлетворяющее начальным условиям. Но если в отдельных точках условия теоремы существования и единственности нарушаются, необходимо дополнительно исследовать свойства решений и уравнение в целом в окрестности точек нарушения условий теоремы существования и единственности.

СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 1-го ПОРЯДКА

В практических приложениях возникает необходимость одновременного исследования нескольких дифференциальных уравнений, образующих систему.

Набор n дифференциальных уравнений

26

где yi – неизвестные функции независимой переменной x, представляет систему n дифференциальных уравнений 1-го порядка с n неизвестными.

Для такой системы доказана теорема существования и единственности, например, в таком варианте.

Теорема. Если функции fi; (i=1; : : : ; n) непрерывны по всем аргументам в замкнутой области D и имеют непрерывные и ограниченные частные производные по переменным y1; : : : ; yn, то существует одно, единственное решение системы (5)

y1(x) : : : yn(x);

определ¸нное в некоторой точке окрестности точки x0 и удовлетворяющее начальным условиям yi(x0) = yi0; (i = 1; : : : ; n).

Следствие. Переходя от точки x0 к другому значению x, находящемуся в найденной окрестности точки x0 и применяя теорему снова, можно продолжить найденное решение за пределы этой окрестности. Такое продолжение можно повторять многократно, распространяя, таким образом, найденное решение на всю или почти всю область D.

Существование и/или единственность решения может нарушиться в точках (n+1)-мерного пространства fx; y1; : : : ; yng, где условия теоремы существования и единственности нарушаются.

Таким образом, за исключением точек, в которых условия существования и единственности нарушаются, решения системы однозначно определяются начальными значениями неизвестных системы при x=x0. Обозначая эти значения постоянными величинами Ci, можно записать общее решение системы (5) в виде функций от независимой переменной x и n произвольных постоянных Ci:

yi = yi(x; C1; : : : ; Cn) i = 1; : : : ; n:

Общее решение системы (5) представляет набор n функций, каждая из которых зависит от независимой переменной x и n произвольных постоянных.

Частное решение, это единственное решение, которое получается из общего заданием конкретных значений произвольных постоянных.

На практике, когда уда¸тся решить систему (5) аналитически, вначале находится общее решение, а потом требуемое частное решение определяется из удовлетворения дополнительных, обычно начальных, условий.

Задача нахождения решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

Аналитически уда¸тся найти решение дифференциальных уравнений только для отдельных классов систем. Разработаны численные методы

27