Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Сделать презентацию

Скачать файл (12,66Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3944

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

127

x x0

–x0

x0ω0

–x0ω0

Рис. 16.2

Энергия колебаний (механическая энергия колебательной системы)

W Wк Wп mv2	kx2	const	2π
2	2

ω0

(студенты проверяют выполнение этого равенства самостоятельно).

128

Демонстрация: Пружинные маятники

ПРИМЕРЫ

1. Математический маятник

		Математический маятник – материальная точка,
		подвешенная на невесомой нерастяжимой нити в одно-
		родном гравитационном поле.
z		Найдём период колебаний математического маятника
		Найдём период колебаний математического маятника
	l	массы m на нити длиной l (РИС. 16.3). Запишем II закон
φ	l	Ньютона:
		Ньютона:
		ma Fт T .
		ma Fт T .

mСпроецируем это уравнение на оси естественной системы координат:

	man T Fт cosφ ,
Рис. 16.3	maτ Fт sinφ .	(16.4)

Груз вращается вокруг оси z по окружности радиуса l. Выразим тангенциальное ускорение маятника через угловое ускорение:

aτ εzl ,

а по определению

εz d2φ . dt2

Подставим (16.5) и (16.6), а также Fт = mg в уравнение (16.4):

	2
m	d φ			l	mgsinφ ,
m	dt		2	l	mgsinφ ,
			2

	2				g
d φ					g	sinφ 0.
dt		2			l	sinφ 0.
		2

При малых углах sin φ ≈ φ и это дифференциальное уравнение примет вид

(16.5)

(16.6)

2
d φ
dt	2

ω2φ 0

– дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний, где

ω0 gl .

Период колебаний математического маятника T 2π ,

ω0

T 2π gl

зависит только от его длины.

129

2. Физический маятник

Физический маятник – твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через

точки этого тела, не являющиеся его центром масс, в од-

z			нородном гравитационном поле.
			Пусть масса маятника равна m, его момент инерции отно-
	d		Пусть масса маятника равна m, его момент инерции отно-
	d		сительно оси маятника равен I, расстояние между цен-
φ		C	сительно оси маятника равен I, расстояние между цен-
φ		C	тром масс маятника и его осью z равно d (РИС. 16.4).
			тром масс маятника и его осью z равно d (РИС. 16.4).
			Найдём период колебаний маятника.

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения:

Рис. 16.4

Iε MF	M
т

( N – сила реакции оси маятника). нение на ось маятника:

Спроецируем это урав-

	2
I	d φ
I	dt	2
		2

mgdsinφ

При малых углах φ sin φ ≈ φ и

2
d φ
dt	2

Обозначив

	mgd	φ
	I	φ
	I

ω	mgd

0	I

получим дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний. Пе-

риод колебаний

2π

ω0


T 2π	I	.

	mgd

Приведённая длина физического маятника – длина математического маятника с периодом собственных колебаний, равным периоду собственных колебаний данного физического маятника.

Демонстрация: Математический и физический маятники

Из приведённых выше примеров видно, что свободные незатухающие механические колебания будут гармоническими лишь при малых изменениях колеблющейся величины.

1.14.3. Свободные затухающие колебания

Рассмотрим пружинный маятник (см. 1.14.2), введя силу сопротивления в виде Fсопр rv – сила вязкого трения, r – положительная константа. Колебательная система изображена на РИС. 16.5.

Запишем II закон Ньютона для груза:

ma Fт N Fупр Fсопр .

В проекции на ось x

130

			2	x				dx
m		d		x	kx r			dx	,
m		dt		2	kx r			dt	,
				2

2	x			r dx		k
d	x			r dx		k	x 0.
dt	2			m dt		m	x 0.
	2

Обозначим ω0			k		и
Обозначим ω0			m		и
			m

									Рис. 16.5
	r	2β	,						Рис. 16.5
	m	2β


β – коэффициент затухания;

				2	x		dx
				d	x	2β	dx	2
					2	2β		ω x 0	(16.7)
				dt	2		dt	0	(16.7)
				dt			dt

– дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

Это также однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вид его общего решения41 зависит от величины коэффициента затухания.

1. Сильное затухание (β ≥ ω0)

Общее решение дифференциального уравнения (16.7)

			0				0
	β	2	2	t		2	2	t
x t A e	β	β	ω	t	A e	β β	ω	t
x t A e					A e
1					2

– апериодическое решение, здесь A1 и A2 – постоянные, определяемые из начальных условий. Колебаний нет, имеет место апериодический процесс. Примерный график апериодического процесса показан на РИС. 16.6.

Рис. 16.6

2. Слабое затухание (β < ω0)

Общее решение дифференциального уравнения (16.7)

41 Можно провести решение дифференциального уравнения (16.7) через характеристическое уравнение.

			131

	x t A e		βt	cos ωt φ		,
	x t A e			cos ωt φ
	0
где

		ω	ω β
				2	2
				0

– циклическая частота затухающих колебаний.

(16.8)

Величины A0 и φ в решении (16.8) – это постоянные, определяемые из начальных условий. Заметим, что затухающие колебания не являются колебаниями в строгом смысле этого слова (см. ОПРЕДЕЛЕНИЕ).

Амплитуда затухающих колебаний