Так как E E0 E , напряжённость электрического поля связанных зарядов
E E |
|
E |
|
|
Q |
|
|
Q |
|
|
Q |
|
|
1 |
1 |
|
0 |
r |
0r |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
r |
|
|
4πε εr |
|
4πε r |
|
4πε r |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
– поле связанных зарядов направлено против поля свободных зарядов. Отношение
– диэлектрик ослабляет электрическое поле свободных зарядов в ε раз. Демонстрация: Изменение потенциала при вводе диэлектрической пластины
4. Теорема Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме
Дивергенция
divE E
– скалярная функция векторного аргумента. В декартовых координатах
в сферических координатах
divE |
1 |
|
2 |
E |
|
|
|
1 |
|
|
E |
|
sinθ |
r |
2 |
r |
r |
r |
r sinθ θ |
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в цилиндрических координатах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
divE |
1 |
rEr |
1 Eφ |
|
Ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r |
r |
φ |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно доказать, что из теоремы Остроградского-Гаусса в интегральной форме (21.4), (21.5), (21.7) следует теорема Остроградского –Гаусса в дифференциальной форме:
171
ПРИМЕР
Расчёт объёмной плотности связанных зарядов (см. ПРЕДЫДУЩИЙ ПРИМЕР)
Точечный заряд Q находится в безграничном диэлектрике относительной диэлектрической проницаемостью ε. Найти объёмную плотность связанных зарядов в диэлектрике как функцию от расстояния r от заряда Q.
РАНЕЕ была получена зависимость поляризованности от r:
Рассчитаем объёмную плотность связанных зарядов по теореме ОстроградскогоГаусса для P в дифференциальной форме (21.8):
|
|
1 d |
2 |
|
1 d |
|
r2Q |
|
|
1 |
|
ρ |
divP |
|
|
|
|
r |
Pr |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 . |
r |
2 |
|
dr |
r |
2 |
|
|
4πr |
2 |
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
172
Лекция 22
3.3.3. Электрическое поле в диэлектриках (продолжение)
5. Условия на границе раздела двух диэлектриков
Проанализируем, как изменяется электрическое поле при переходе из одной среды (диэлектрика) в другую.
Пусть имеются два изотропных диэлектрика (относительные диэлектрические проницаемости ε1 и ε2), граничащие друг с другом (РИС. 22.1). В среде с ε1 суще-
ствует электрическое поле с напряжённостью E1 и электрическим смещением
. Свободные заряды на границе раздела сред отсутствуют. Найдём векторные
характеристики поля в среде с ε2 – E2 |
и |
D2 |
тельную τ к поверхности раздела сред). |
|
|
(в проекциях на нормаль n и каса-
ε1 |
|
ε1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
ε2 |
|
ε2 |
4 |
3 |
S |
|
|
|
L |
а |
|
|
|
б |
|
Рис. 22.1 |
|
|
1) Dn
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для
Выберем поверхность интегрирования S в виде цилиндра, основания которого параллельны границе раздела сред, а высота мала (РИС. 22.1А). Поток D
|
DdS D |
S |
торц |
|
|
DdS D |
S |
торц |
|
1n |
|
|
|
2n |
|
|
S |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бок |
|
|
|
|
|
охваченный поверхностью S заряд q 0S 0 , так |
нице раздела отсутствуют. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
1n |
|
|
|
D2n D1n Sторц ;
как свободные заряды на гра-
(22.1)
– нормальная составляющая вектора электрического смещения не претерпевает скачка на границе раздела диэлектриков.
в изотропном диэлектрике
D ε0εE ,
D1n
С учётом условия (22.1)
ε ε E |
ε ε E |
2n |
0 1 1n |
0 2 |
– нормальная составляющая напряжённости электрического поля претерпевает скачок на границе раздела диэлектриков.
3) Eτ
Воспользуемся I уравнением Максвелла – условием потенциальности электростатического поля
Edl 0.
L
Выберем контур интегрирования L в виде прямоугольника, одна пара сторон которого параллельная границе раздела сред (стороны 1-2 и 3-4 на РИС. 22.1Б), а дру-
E |
по контуру L |
|
|
1 |
Edl E |
|
|
|
l |
|
|
1τ |
E |
2τ |
|
|
|
|
12 |
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1τ |
|
|
|
|
|
– тангенциальная составляющая напряжённости электрического поля не претерпевает скачка на границе раздела диэлектриков.
и условия (22.3) получим
D1τ ε0ε1E1τ , D2τ ε0ε2E2τ
D2τ ε1
D1τ ε2
– тангенциальная составляющая электрического смещения претерпевает скачок на границе раздела диэлектриков.
3.3.4. Проводники в электростатическом поле
Свойства электростатического поля в проводниках54
1.Внутри проводника напряжённость электрического поля равна нулю:
Eвнутри 0.
В противном случае по проводнику будет идти ток, так как в проводнике имеются свободные заряды, свободно перемещающиеся под действием электрического поля.
Демонстрация: Клетка Фарадея
54 Следует отметить, что эти утверждения относятся только к электростатическому полю в проводниках, т. е. к случаю, когда электрический ток отсутствует.
174
2.Напряжённость электрического поля перпендикулярна поверхности проводника:
Если Eτ ≠ 0, то по поверхности проводника будет идти ток.
3.Нескомпенсированный заряд располагается на поверхности проводника:
ρ0 .
Доказательство
Проведём внутри проводника произвольную замкнутую поверхность S (РИС. 22.2). Теорема Остроградского-Гаусса для D
|
|
|
|
|
DdS q |
S |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
Но |
D 0 |
, так как |
E 0 |
, |
поэтому DdS 0 |
и |
q |
S |
0 |
, т. е. |
S
нескомпенсированного заряда внутри проводника нет.
Демонстрация: Стекание заряда с острия 4. Поверхность проводника эквипотенциальна (а также весь объём проводника):
Доказательство
Найдём разность потенциалов между точками 1 и 2 на одном проводнике, соединив эти точки кривой, целиком лежащей внутри проводника (РИС. 22.3), и воспользовавшись интегральной связью напряжённости и потенциала электростатического поля:
|
2 |
|
|
|
φ12 |
|
Edl 0 |
φ1 φ2 |
, ч. т. д. |
|
|
1 |
|
|
|
Демонстрация: Распределение заряда на поверхности проводника
5.Нормальная проекция электрического смещения у поверхности проводника равна поверхностной плотности свободных зарядов:
Применим теорему Остроградского-Гаусса для D , выбрав поверхность интегрирования S в виде цилиндра, одно из оснований которого лежит внутри проводника, а другое плотно прилегает к поверхности проводника с внешней стороны (РИС. 22.4):
DdS DnSторц ,
S
так как внутри проводника D 0 ме внешнего торца, равны нулю;
и потоки D через все стороны цилиндра S, кро-