322
Химический потенциал равен изменению внутренней энергии теплоизолированной системы постоянного объёма при изменении числа её частиц на единицу.
Возможно μ 0. Для идеального газа μ < 0; для фотонного газа μ = 0.
Контакт двух теплоизолированных систем
Рис. 41.5
При контакте двух теплоизолированных систем с химическими потенциалами μ1 и μ2 (РИС. 41.5) поток энергии (энергия, переносимая сквозь границу между системами за какой-либо промежуток времени) слева направо на рисунке будет равен потоку энергии справа налево:
где |
* |
, |
* |
– химические потенциалы систем 1 и 2 после приведения их в контакт; |
μ1 |
μ2 |
dN12, dN21 – число частиц, переходящих из системы 1 в систему 2 и наоборот за один и тот же малый промежуток времени. Так как dN12 = dN21,
– в состоянии равновесия химические потенциалы систем равны.
6.1.3. Статистическое описание состояния макросистемы
Микропараметры – параметры, характеризующие состояние каждой частицы: масса, импульс, координата, энергия и т. п.
Задача статистической физики – установление связи между микро- и макропараметрами.
Пусть имеется система из N тождественных, слабо взаимодействующих частиц (газ). Благодаря взаимодействию между частицами система может прийти в равновесное состояние.
Частицы, составляющие макросистемы
классические частицы |
фермионы |
|
бозоны |
|
Подчиняются законам |
полуцелый спин |
|
целый спин |
|
классической физики. |
( |
) |
( |
) |
|
|
Не подчиняются |
|
|
|
|
|
|
Подчиняются принципу |
принципу Паули. |
|
|
Паули. |
|
|
|
6.1.4. Фазовое пространство в классической физике
Фазовое пространство – 6-мерное пространство координат и проекций импульса: x, y, z, px, py, pz.
323
Каждой частице сопоставляется изобразительная точка, координаты которой в фазовом пространстве полностью характеризуют состояние частицы. Изобразительная точка движется по фазовой траектории.
ПРИМЕР
Колебания пружинного маятника
Запишем закон сохранения механической энергии в применении к пружинному маятнику:
где m – масса груза, v – его скорость, x – отклонение груза от положения равновесия, k – жёсткость пружины. Выражим энергию маятника через координаты двумерного фазового пространства – проекцию px импульса груза на направление колебаний и координату груза (x = 0 – в положении равновесия):
|
2 |
|
kx |
2 |
W |
p |
|
. |
x |
|
|
|
|
|
|
2m |
|
2 |
|
Это уравнение фазовой |
траектории частица, которая |
(РИС. 41.6). |
|
|
|
|
px
0 x
Рис. 41.6
имеет форму эллипса
Для макросистемы из N частиц имеем шестимерное облако из N изобразительных точек. Таким образом полностью задаётся микросостояние системы. Нас интересует форма этого облака и распределение изобразительных точек в нём.
Разобьём фазовое пространство на ячейки объёма dγ = dxdydzdpxdpydpz (микросостояние частицы задаётся с соответствующей точностью). Микросостояние системы определяется плотностью заполнения ячеек с учётом индивидуальных номеров частиц.
Число микросостояний, с помощью которых реализуется данное макросостояние,
– статистический вес Ω системы.
Равновесному состоянию соответствует макросостояние с максимальным статистическим весом, т. е. то, которое реализуется наибольшим числом микросостояний.
Пронумеруем частицы и ячейки. Таким образом, состояние определённой частицы будет задаваться номером ячейки, в которой частица находится. Будем обозначать энергию частицы в i-ой ячейке εi. Микросостояние системы будет определяться числом частиц в каждой ячейке без учёта индивидуальных номеров частиц.
ПРИМЕР
Распределение двух частиц по двум фазовым ячейкам
Это 1 макросостояние и 2 микросостояния, Ω = 2.
325
Лекция 42
6.1.5. Фазовое пространство в квантовой физике
В квантовой механике координата и соответствующая проекция импульса одновременно не измеримы. Соотношения неопределённостей Гейзенберга:
|
|
x |
p |
|
|
|
, |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
py |
|
, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
p |
|
. |
|
|
z |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате этого на объём фазовой ячейки накладывается ограничение
3
γ x y z px py pz 8 .
Различным фазовым ячейкам будут соответствовать различные квантовые состояния, если γ ~ ħ3. В качестве фазовой ячейки возьмём ячейку объёмом γ = ħ3. Одна ячейка – одно квантовое состояние.
Примеры заполнения фазовых ячеек в различных квантовых термодинамических системах приведены на РИС. 42.1.
Солнечный свет |
Излучение лазера |
а |
б |
|
Рис. 42.1 |
Заполнение фазовых ячеек |
|
Классические частицы |
Квантовые частицы |
В одной ячейке – любое число изобразительных точек.
фермионы |
бозоны |
Подчиняются |
Не подчиняются |
принципу Паули. |
принципу Паули. |
В одной ячейке – |
В одной ячейке – |
2 изобразительные точки |
любое число |
с противоположными |
изобразительных точек. |
спинами (↑↓). |
|
Лучше взять ячейку объёмом
γ h3 .
2
326
Найдём плотность заполнения фазовых ячеек, которая бы соответствовала равновесному состоянию системы. Будем исходить из условий, приведённых в ТАБЛИ-
ЦЕ 42.1.
Таблица 42.1
Классическая статистика |
Квантовые статистики |
|
На размер ячейки |
накладываются |
|
3 |
|
|
3 |
1. ограничения. Пусть |
3 |
|
γ 8 |
|
γ |
h |
γ h . |
Объём ячейки |
. Пусть |
2 . |
|
2 |
|
|
|
|
|
Все частицы одинаковы, но различиЧастицы одинаковы и неразличимы.
2.мы. Перестановка частиц изменяет Перестановка частиц не изменяет
|
микросостояние системы. |
микросостояние системы. |
|
|
Для фермионов внутри ячейки может |
|
Внутри ячейки может быть любое |
находиться не более 1 изобразитель- |
|
ной точки. |
|
3. число изобразительных точек. |
|
Для бозонов число изобразительных |
|
|
|
|
точек в ячейке не ограничено. |
4.Все допустимые микросостояния замкнутой системы равновероятны.
В замкнутой системе внутренняя энергия U = const и число частиц N = const
5.(для бозонов – не обязательно).
6.Равновесное состояние реализуется наибольшим числом микросостояний.
ПРИМЕР
Распределение двух изобразительных точек по двум фазовым ячейкам
В ТАБЛ. 42.2 показаны все возможные микросостояния такой макросистемы в случае, если она состоит из классических частиц, фермионов и бозонов. Статистический вес системы Ω0 –– общее число микросостояний, в которых может находиться данная макросистема.
Классические частицы
A B
B A
A B
A B
6.1.6. Функция распределения
Функция распределения (см. 2.7.1) f(εi) определяется средней заполняемостью фазовых ячеек изобразительными точками (числом точек в одной ячейке) в малой области фазового пространства:
f
где dN(εi) – число частиц, а dg(εi) – нимает значения от εi до εi + dε.
число ячеек, в которых энергия частицы при-
Проведя термодинамический расчёт, можно получить функции распределения, которые приведены в ТАБЛ. 42.3 (k – постоянная Больцмана). Это распределение частиц по ячейкам εi, а не по энергиям ε!
Классические
частицы
Спин |
свойства частиц |
|
не важны |
|
|
Статистика |
Максвелла-Больцмана |
Плотность |
|
N |
1 |
|
|
заполнения ячеек |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε μ |
|
|
|
f ε e |
|
i |
|
распределения |
|
|
kT |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Химический |
|
|
|
|
|
|
|
μ 0 |
|
|
потенциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Температура |
|
T T |
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. 6.1.7) |
|
|
кр |
|
|
|
|
|
|
|
|
6.1.7. Критерий вырождения газа
Таблица 42.3
Фермионы |
|
|
|
Бозоны |
|
|
полуцелый |
|
|
|
|
целый |
|
|
Ферми-Дирака |
Бозе-Эйнштейна |
|
N |
1 |
|
|
|
|
|
N |
~1 |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ε |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
f ε |
|
|
|
1 |
|
|
|
ε |
μ |
|
|
|
|
|
ε |
μ |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
e |
i |
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
i |
|
1 |
|
|
|
kT |
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ 0 |
|
|
|
|
|
μ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
|
|
|
|
|
|
Индивидуальные свойства частиц влияют на поведение макросистемы только
|
N |
~1, |
N |
при высокой плотности заполнения фазовых ячеек |
g |
g |
|
|
подчиняется квантовой статистике. Подобный газ называется
При низкой плотности заполнения ячеек |
|
N |
1 |
|
индивидуальные свойства ча- |
|
g |
|
|
|
|
|
|
стиц не важны и работают законы классической физики. Такой газ называется
невырожденным.
Параметром, который разграничивает вырожденный и невырожденный газ, является температура. Если T > Tкр, где T – критическая температура, то газ не вырожден. Если T < Tкр, то газ вырожден.
Можно показать, что
где n – концентрация газа, m0 – масса частицы.
Численная оценка
Для идеального газа, состоящего из молекул, Tкр ~ 5 К, т. е. этот газ не вырожден. Для электронного газа в металле Tкр ~ 5∙104 К, т. е. этот газ вырожден.
