Файл: Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.03.2025

Просмотров: 3970

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

328

6.2. Распределение молекул идеального газа по энергиям. Химический потенциал идеального газа

Эта тема рассматривалась в I семестре (2.7.2, 2.7.3). Подойдём к этому вопросу с другой стороны.

Функция распределения

ε μ

f εi e

i

kT

,

(42.1)

μ < 0; график функции распределения представлен на РИС. 42.2. Газ не вырожден,

т. е. f(εi) << 1.

Подсчитаем число частиц, энергия которых лежит в интервале от εi до εi + dε. По определению функции распределения

f(εi)

εi

μ 0

Рис. 42.2

f εi

dN

ε

dNε

i

dg

i

ε

i

Далее индекс i опустим. Число фазовых ячеек

dg

dΓ

,

γ

f ε

dg

i

ε

i

.

где dΓ – объём области фазового пространства, соответствующей энергиям частиц

от ε до ε + dε;

3

γ

h

2

– объём фазовой ячейки.

Пусть энергия молекулы не зависит от её координаты. Тогда

dΓ

dxdydz

x

y

z

dp dp dp

V

VdΓp

,

V – объём сосуда, в котором находится газ;

VdΓ

dg

p

3

2

h

Найдём dΓp – элемент объёма в пространстве импульсов – трехмерном подпространстве фазового пространства. Выразим энергию частицы через её импульс:

ε p2 .

2m0

Энергия частицы зависит только от модуля импульса. Поэтому разбиваем подпространство импульсов на бесконечно тонкие сферические слои радиусом p и толщиной dp (РИС. 42.3). Объём такого слоя

dΓp 4πp2dp .

Подставим это выражение в (42.2):

. (42.2)

pz

dp

p

0

py

px

Рис. 42.3

329

2

dg

V 4πp dp

3

2

h

Перейдём от p к ε:

.

p

2m ε

0

,

dp

2m

dε

0

2

ε

m0 2

dε ε

;

V 4π 2m ε

m

dε

3 2

dg

16πVm

εdε .

0

0

0

3

2

2

ε

3

2

h

h

Число частиц, учитывая вид функции распределения (42.1),

3 2

ε μ

dN

f ε dg 16πVm

0

εe kT dε .

ε

h3 2

Найдём химический потенциал из условия нормировки

dNε

N

:

N

2

3 2

ε μ

3 2

μ

ε

4πV 2m

16πVm

εe

dε

e

εe

dε

3

0

kT

3

kT

kT

0

0

h

2

0

h

4πV 2m

3 2

π

3 2

3 2

μ

2V 2πm kT

μ

0

e

kT

kT

0

e

kT

;

3

3

h

2

h

3

μ kT ln

Nh

3 2

2V 2πm kT

0

;

2

dN

ε

μ

3

e

kT

Nh

,

3 2

2V 2πm kT

0

3 2

3

ε

2N

16πVm

Nh

kT dε

3

0

2V 2πm kT

3 2

εe

3 2

2

h

π kT

0

ε

εe

kT

dε

.

Введём функцию распределения частиц по энергиям как плотность вероятности попадания частицы в данный интервал энергий:

F ε

dN

2

ε

ε

εe

kT

Ndε

3 2

π kT

.

Графики этой функции при разных температурах газа представлены на РИС. 42.4.

Среднее значение энергии частицы

ε

εF ε dε

0

F ε dε

0

3kT

2

1

.

330

F(ε)

T1

T2 > T1

0

Рис. 42.4

ε

331

Лекция 43

6.3. Тепловое излучение. Фотонный газ

6.3.1. Тепловое излучение и его характеристики

Тепловое излучение – электромагнитное излучение, испускаемое телами за счёт их внутренней энергии. Оно свойственно всем телам при любой температуре. Речь пойдёт о равновесном излучении, т. е. находящемся в термодинамическом равновесии с излучающим телом.

Энергетическая светимость (интегральная излучательная способность) – энергия, испускаемая телом в единичный промежуток с единичного участка поверхности тела по всем направлениям:

R

dW

T

dSdt

,

RT

Вт м2

.

Спектральная излучательная (испускательная) способность – энергия, ис-

пускаемая с единичного участка поверхности тела в единичный промежуток времени по всем направлениям в единичном интервале частот77 (длин волн):

r

ω,T

r

ω,T

dW

,

dSdtdω

Вт с

2

м

r

λ ,T

,

r

λ ,T

dW

dSdtdλ

Вт

.

3

м

;

Связь интегральной и спектральной излучательных способностей:

rω,T

dR

, rλ ,T

dR

;

T

T

dω

dλ

RT

rω,T dω

rλ ,T dλ .

0

0

Связь rω, T и rλ, T: dλ

rω,T dω rλ,Tdλ rλ ,T rω,T dω dλ

здесь v – скорость света в среде.

d

2πv

2πv

dω

;

2

ω

ω

2

2

v

2

r

dω ω

4π

2

ω,T

2πvdω

2πvλ

2πv

r

ω,T

2πv

r

2

ω,T

λ

,

(43.1)

Спектральная поглощательная способность – безразмерная величина, равна доле энергии, падающей на поверхность тела в интервале частот от ω до ω + dω, которая поглощается этим телом:

adWпогл . ω,T dWпад

Плотность энергии излучения – энергия излучения в единичном объёме:

77 В этом параграфе частота – это циклическая частота ω. Все формулы, содержащие эту величину,

можно записать через частоту ν 2ωπ .

332

w

dW

, w

Дж

.

3

T

dV

T

м

Спектральная плотность энергии излучения– плотность энергии излучения,

приходящаяся на единичный интервал частот78:

dw

, u

Дж c

u

T

.

ω,T

3

dω

ω,T

м

Связь uω, T и wT:

wT

u

dω

ω,T

0

.

Связь rω, T и uω, T:

r

v

u

ω,T

4

ω,T

Доказательство

.

(43.2)

Пусть на чёрную (см. 6.3.2) стенку летит поток фотонов, падающих по нормали к поверхности тела. Плотность потока фотонов равна n, т. е. на единичный участок стенки падает в единичный промежуток времени vn фотонов. При поглощении

каждый фотон передаёт стенке импульса

p

ε

, где ε – энергия фотона. Общий

v

импульс, т. е. давление света на стенку,

P np

nε

n ω

.

v

v

Пусть в единичном объёме полости, заполненной равновесным тепловым излучением, находится dnω фотонов с частотой от ω до ω = dω. Энергия этих фотонов

dW εdn

ω

ωdnω

u

dω

ω,T

.

Фотоны летят внутри полости по всем направлениям. Число ударов фотонов о стенку в единичный промежуток времени равно 14 vdnω . Поэтому

dW 4v ωdnω .

Эта же величина равна rω, Tdω. Из этого следует

r

dω

v

ω,T

4

ωdn

v

u

dω

ω

4

ω,T

rω,T v , ч. т. д.

uω,T 4

Спектральная и интегральная плотность энергии равновесного теплового излучения не зависят от природы излучающего тела, а зависят только от температуры и частоты.

6.3.2. Чёрное и серое тело. Закон Кирхгофа

Серое тело – тело, поглощательная способность которого не зависит от частоты (длины волны) падающего излучения, притом что она меньше единицы:

aω,T aT 1.

78 Аналогично можно ввести uλ, T, aλ, T.

Смотрите также файлы