ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1462
Скачиваний: 2
5.6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
При вычислении интегралов от тригонометрических функций вида
∫ R(sinx,cosx)dx
полезно пользоваться следующими правилами:
1) если подынтегральная функция нечетна относительно sin x , т. е.
R(sinx; cosx) = −R(− sinx; cos x),
то следует делать замену t = cos x ;
2) если подынтегральная функция нечетна относительно cos x , т. е.
R(sinx; cosx) = −R(sinx; −cos x),
то следует делать замену t =sinx ;
3) если подынтегральная функция не изменяет знак при изменении знака у sinx и cosx , то следует делать замену t = tg x .
Задача 8. Вычислить ∫ sin3 x cos2 x dx .
Решение
∫ sin3 x cos2 x dx = |
замена t = cos x, |
= − ∫ (1 − t 2 ) t 2 dt = |
|||||||||
dt = −sin xdx |
|||||||||||
= ∫(t4 −t2 )dt = t5 |
− t3 |
+C = cos5 x − cos3 x +C. |
|||||||||
5 |
3 |
5 |
3 |
||||||||
Задача 9. Вычислить ∫ sin2 x cos3 x dx . |
|||||||||||
Решение |
|||||||||||
∫sin2 xcos3 xdx = |
замена t = sin x, |
= ∫t2 (1 −t2 )dt = |
|||||||||
dt = cos xdx |
|||||||||||
∫(t2 −t4 )dt = t3 |
− t5 |
+C = sin3 x − sin5 x +C . |
|||||||||
3 |
5 |
3 |
5 |
||||||||
75
Если подынтегральная функция содержит четные степени синуса или косинуса, то полезно понизить степени этих функций, используя следующие формулы:
sin 2 x = |
1 − cos 2x |
или cos2 x = |
1 + cos 2x . |
2 |
2 |
Задача 10. Вычислить ∫ sin 4 xdx.
Решение
∫sin4 xdx = 14 ∫(1 −cos2x)2 dx = 14 ∫(1 − 2cos2x + cos2 2x)dx =
=1 ∫ 1 − 2cos2x +1 + cos4x dx = 1 ∫(3 − 4cos2x + cos4x)dx = 4 2 8
= 83 x − 14 sin 2x + 321 sin 4x + C .
76
Тема 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
6.1. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона – Лейбница
Определенный интеграл определяется как конечный предел интегральной суммы от функции f ( x) по отрезку [a; b] и обозначается
b
∫ f (x)dx [2].
a
Основные свойства определенного интеграла
a |
||||
1. |
∫ f ( x)dx = 0 . |
|||
a |
||||
b |
a |
|||
2. |
∫ |
f ( x)dx = −∫ f ( x)dx . |
||
a |
b |
|||
b |
c |
b |
||
3. |
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx . |
|||
a |
a |
c |
||
b |
b |
b |
||
4. |
∫ |
(αf ( x) +βg ( x))dx = α∫ f ( x)dx +β∫ g ( x)dx . |
||
a |
a |
a |
||
b |
||||
5. |
∫ dx = b − a . |
|||
a
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], а функция F(x) – некотораяеепервообразная, тоимеетместоформулаНьютона– Лейбница
b |
|
∫ f ( x)dx = F ( x) ba = F (b) − F (a). |
(6.1) |
a
π
Задача 1. Вычислить интеграл ∫sinxdx .
0
Решение. Так как функция F ( x) = −cosx является первообразной для функции f (x) = sin x , то по формуле (6.1) получим:
π
∫sin xdx = −cos x 0π = −(cos π−cos0) = −(−1−1) = 2 .
0
77
6.2. Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям
и методом замены переменной
Если функции u(x) и v(x) непрерывны вместе со своими произ-
водными на отрезке [a; b] , то
b |
b |
||
∫udv = uv |
ba − ∫vdu . |
(6.2) |
|
a |
a |
Вычисление определенного интеграла по формуле (6.2) называется интегрированием по частям.
π |
|||||||
Задача 2. Вычислить ∫ xcos xdx . |
|||||||
Решение. Полагая |
0 |
u = x , dv = cosxdx , |
получим du = dx , |
||||
v = ∫cosxdx = sinx . Тогда по формуле (6.2) |
|||||||
π |
π |
||||||
∫ xcos xdx = xsin x |
0π − ∫sin xdx = |
||||||
0 |
0 |
||||||
= πsin π −0sin 0 + cos x |
π = 0 − 0 + cos π − cos 0 = −1−1 = −2 . |
||||||
Если функция x = ϕ(t) |
0 |
||||||
непрерывна вместе со своей производной |
|||||||
на отрезке [α; β] , a = ϕ(α) , b = ϕ(β) , а f (ϕ(t)) |
также непрерывна на |
||||||
отрезке[α; β] , то |
|||||||
∫b |
f (x)dx = β∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt . |
(6.3) |
|||||
a |
α |
||||||
Вычисление определенного интеграла по формуле (6.3) называется
интегрированием методом замены переменной.
1 |
||
Задача 3. Вычислить ∫ 1 − x2 dx . |
||
0 |
||
Решение. Сделаем замену x = sin t . Тогда dx = (sin t)′dt = cos tdt . |
||
Если x = 0 , то 0 = sin 0 , и следовательно t = 0 . Если x =1, то 1 = sin |
π |
, |
2 |
||
и следовательно t = π2 . Поэтому
78
1 |
π |
π |
2 |
2 |
|
∫ |
1 − x2 dx = ∫ |
1 −sin 2 t cos tdt = ∫ cos2 tdt = |
0 |
0 |
0 |
π |
π |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
(1 |
+ cos 2t)dt = |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||
= |
sin 2t |
= |
|||||||||||||||||||||||
∫0 |
t + |
||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
0 |
||||||||||||||||||||||
= |
1 |
π |
+ |
1 |
− |
1 |
+ |
1 |
= |
1 |
π |
= |
π |
||||||||||||
sin π |
0 |
sin 0 |
. |
||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
4 |
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
6.3. Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур
Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f (x) ≥ 0 , отрезком [a; b] оси Оx , прямыми x = a и x = b
(рис. 6.1), вычисляется по формуле
S = ∫b |
f (x)dx . |
(6.4) |
|||
a |
|||||
y |
y |
||||
y = f2 (x) |
|||||
y = f (x) |
|||||
y = f1(x) |
||||||||
O |
a |
|||||||
b |
x |
O |
a |
b |
x |
|||
Рис. 6.1 |
Рис. 6.2 |
Площадь фигуры, заключенной между графиками функций f2 (x)
и f1 (x), прямыми x = a и x = b, если f2 (x) ≥ f1 (x) для a ≤ x ≤ b , (рис. 6.2) вычисляется по формуле
S = ∫b ( f2 (x)− f1 (x))dx . |
(6.5) |
a
79
Площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой за- |
|
дана параметрическими уравнениями x = ϕ(t), |
y = ψ(t), α ≤ t ≤β, |
а нижней границей является ось Ох, вычисляется по формуле |
|
S = ∫β ψ(t)ϕ′(t)dt . |
(6.6) |
α |
|
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, задан- |
|
ной в полярных координатах уравнением r = r(ϕ), |
α ≤ ϕ ≤ β и двумя |
лучами, составляющими с полярной осью углы α и β (рис. 6.3), вычисляется по формуле
S = 1 |
∫β r 2 (ϕ)dϕ. |
(6.7) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
α |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
y = 2 − x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = r(ϕ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
β |
y = x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
α |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
O |
r |
–1 |
O |
1 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Рис. 6.3 |
Рис. 6.4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = x2 и y = 2 − x2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Найдем координаты точек пересечения этих парабол, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решив систему |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = x2 , |
y = x2 |
, |
y = x2 , |
x =1, |
y =1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = 2 − x2 |
x2 |
= 2 |
− x2 |
x2 =1 |
x |
= −1, y |
=1. |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Изобразим для наглядности эту фигуру на рис. 6.4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
По формуле (6.5) вычислим площадь фигуры: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2x3 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
S = ∫ |
(2 − x |
− x |
)dx =∫(2 − 2x |
)dx = 2x − |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 |
−1 |
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
= 2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(кв. ед.). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2 1 − |
3 |
− |
2 −1 + |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
80 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||