ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1466
Скачиваний: 2
6.6. Несобственные интегралы
Пусть функция f ( x) непрерывна на промежутке [a; + ∞) , тогда она интегрируема на любом отрезке [a; b], где a < b < +∞.
Определение. Несобственным интегралом функции f ( x) по бесконечному промежутку [a; +∞) называется предел, определяемый равенством
+∞ |
( |
) |
b |
( |
) |
||||||
∫ |
f |
x |
b→+∞ ∫ |
f |
x |
dx . |
(6.13) |
||||
dx = lim |
|||||||||||
a |
a |
Если этот предел существует и является конечным, то несобственный интеграл (6.13) называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимися.
Аналогично определяются несобственные интегралы по бесконечным промежуткам (−∞; a] и ( −∞; +∞) :
b |
( |
) |
b |
( |
) |
|||||||||||||||||||||
∫ |
f |
x |
dx |
a→−∞ ∫ |
f |
x |
dx , |
(6.14) |
||||||||||||||||||
= lim |
||||||||||||||||||||||||||
−∞ |
a |
|||||||||||||||||||||||||
+∞ |
( |
) |
c |
( |
) |
b |
( |
) |
||||||||||||||||||
∫ |
f |
x |
a→−∞ ∫ |
f |
x |
b→+∞ ∫ |
f |
x |
dx . |
(6.15) |
||||||||||||||||
dx = lim |
dx + lim |
|||||||||||||||||||||||||
−∞ |
a |
c |
||||||||||||||||||||||||
Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке [ a; b ] и не ограничена при x = b , тогда несобственный интеграл от неограниченной функции f ( x) на отрезке [ a; b ] определяется равенством
b |
b−ε |
|||
∫ f ( x)dx = |
ε→+lim0 |
∫ |
f ( x)dx . |
(6.16) |
a |
a |
|||
Если этот предел существует и является конечным, то несобственный интеграл (6.16) называется сходящимся, если же предел не существует или равен бесконечности – расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами в точках a и c , если a < c < b.
+∞ dx
Задача 10. Вычислить несобственный интеграл ∫0 1 + x2 (или до-
казать его расходимость).
85
Решение. Используем формулу (6.13):
+∞ |
dx |
b |
dx |
(arctg x |
b0 ) = |
||||||
∫ |
= lim |
∫ |
= lim |
||||||||
1 + x |
2 |
1 + x |
2 |
||||||||
b→+∞ |
b→+∞ |
||||||||||
0 |
0 |
= lim (arctgb −arctg 0) = π −0 = π .
b→+∞ 2 2
Итак, несобственный интеграл сходится и равен π2 .
1 |
dx |
||||||||||||||||||||||||
Задача 11. Вычислить несобственный интеграл ∫0 |
(или до- |
||||||||||||||||||||||||
(x −1)2 |
|||||||||||||||||||||||||
казать его расходимость). |
1 |
||||||||||||||||||||||||
Решение. |
Так |
как |
подынтегральная |
функция |
f (x) = |
||||||||||||||||||||
(x −1)2 |
|||||||||||||||||||||||||
не ограничена при x →1 −0 , то используем формулу (6.15): |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
dx |
1−ε |
d(x −1) |
1−ε |
−1 = |
||||||||||||||||||||
= lim |
= lim |
−1 |
= lim |
−1 |
−1 |
−1 = +∞. |
|||||||||||||||||||
0 |
( x −1) |
2 |
0 ( x |
−1) |
2 |
1 −ε − |
1 |
−0 |
|||||||||||||||||
ε→+0 |
x −1 |
0 |
|||||||||||||||||||||||
∫ |
∫ |
ε→+0 |
ε→+0 |
||||||||||||||||||||||
Итак, несобственный интеграл расходится.
86
Тема 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
7.1. Общие понятия. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных и линейных
Определение. Дифференциальным уравнением называется урав-
нение, связывающее независимую переменную х с искомой функцией y(x) и ее производными, записывается в виде
′ ′′ |
(n ) |
)= 0 . |
(7.1) |
F(x; y; y ; y ; …; y |
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, существенно входящей в уравнение.
Уравнение (7.1) – дифференциальное уравнение n-го порядка. Определение. Решением или интегралом дифференциального
уравнения называется всякая функция, которая будучи подставленной в уравнение обращает его в тождество.
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае записывается в виде
F(x; y; y′) = 0. |
(7.2) |
Если дифференциальное уравнение (7.2) можно разрешить относительно y′, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка, разрешенным относительно производной и записывается
y′ = f (x; y) . |
(7.3) |
||
Задача, в которой требуется найти решение дифференциального |
|||
уравнения (7.3), удовлетворяющее начальному условию |
|||
y |
x= x0 = y0 , |
(7.4) |
|
называется задачей Коши.
Определение. Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = ϕ(x; c) , зависящая от аргумен-
та х и произвольной постоянной c и удовлетворяющая следующим двум условиям:
87
1)при любом значении произвольной постоянной с она обращает уравнение в тождество;
2)для любых начальных условий (7.4) существует единственное
значение произвольной постоянной c = c0 такое, что решение y = ϕ(x; c0 ) удовлетворяет данному начальному условию.
Определение. Решение, полученное из общего решения при конкретном значении c = c0 , называется частным решением дифференци-
ального уравнения.
Рассмотрим решение некоторых типов дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Дифференциальное уравнение вида
dy |
= f (x) f |
2 |
(y) |
(7.5) |
|
dx |
1 |
||||
называется уравнением с разделяющимися |
переменными. Если |
||||
f2 ( y) ≠ 0 , то, разделив переменные в (7.5) и проинтегрировав обе части
равенства, получим общее решение: |
|||||||||
dy |
= f1 (x) dx , |
∫ |
dy |
= |
∫ |
f1 (x) dx + c . |
|||
f2 (y) |
f2 (y) |
||||||||
Задача 1. Решить уравнение y′ = xy .
Решение. Разделив переменные в уравнении dydx = xy , получим
dyy = dxx . Поэтому ∫ dyy = ∫ dxx +ln c , т. е. ln y = ln x + ln c , ln y = ln cx .
Итак, y = cx – искомое общее решение. Решение y = 0 получается из формулы общего решения при c = 0 .
Если правая часть уравнения |
(7.3) представима |
в виде |
|||
y |
|||||
f (x; y) = ϕ |
, то уравнение |
||||
x |
|||||
y |
|||||
y′ = ϕ |
(7.6) |
||||
x |
|||||
называется однородным уравнением 1-го порядка. Для решения этого уравнения вводят новую функцию u(x) = y(xx) .
88
Тогда y = u x , y |
′ |
′ |
= u x + u , и уравнение (7.6) принимает вид |
u′x + u = f (u). Разделяя переменные в этом уравнении, последовательно получим:
x dy = f (u) − u ; ∫ |
du |
= ∫ dx |
+ c . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (u) − u |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Перейдя после интегрирования к функции |
y(x) , получим общее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
решение исходного уравнения. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 2. Решить уравнение xy′ = y ln |
y |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Разделив обе части исходного уравнения на х, полу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чим, y′ = |
y |
ln |
y |
. |
Так как |
это однородное |
уравнение, то введем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
Тогда y |
′ |
′ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию |
u = x |
. |
и исходное уравнение примет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= u x + u , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′ |
du |
du |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вид u x + u |
= u lnu , откуда |
x dx = u(ln u −1), |
= |
x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u(ln u −1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Проинтегрировав обе части последнего соотношения, получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
c |
= ∫ |
du |
; ln |
x |
+ ln |
c |
= ∫ |
d(ln u) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ ln |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
u(ln u −1) |
ln u −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln |
cx |
= ∫ d(ln u −1) = ln |
ln u −1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln u −1 |
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Итак, cx = lnu −1, ln u = cx +1, u = ecx+1 , |
= ecx+1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отсюда получаем y = x ecx+1 – общее решение уравнения. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дифференциальное уравнение вида |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ + p(x) y = q(x) , |
(7.7) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где p(x) и q(x) |
– непрерывные функции от переменной x, называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линейным уравнением 1-го порядка. |
y(x) = u(x) v(x) . Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение этого уравнения ищут в виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ = u′v + uv′ |
и |
(7.7) преобразуется |
в |
u′v + uv′ + p(x) uv = q(x) , или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u′v + u(v′ + p(x)v) = q(x) . Функцию v(x) |
находят из условия |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
v′ + p(x)v = 0 . |
(7.8) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
89 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||