ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1439
Скачиваний: 2
a + b ={x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 }; μ a ={μx1; μ x2 ; μ x3}. (1.14)
Определение. Скалярным произведением двух векторов a и b на-
зывается число, равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними.
Скалярное произведение обозначается точкой между векторами или круглыми скобками. Если угол между векторами обозначим через ϕ, то скалярное произведение можно выразить следующей
формулой:
a b = a b cosϕ.
Для векторов, записанных в координатной форме, скалярное произведение вычисляется по формуле
a b = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . |
(1.15) |
Определение. Векторным произведением двух векторов a и b
называется вектор, обозначаемый символом a ×b и определяемый следующими тремя условиями (рис. 1.3):
a ×b
b
ϕ
a
Рис. 1.3
1) модуль вектора a ×b равен a b sin ϕ, где ϕ – угол между векто-
рами a и b (равен площади параллелограмма, построенного наэтих векторах);
2) |
вектор a ×b |
перпендикулярен |
плоскости векторов a и b ; |
||
3) |
направлен в |
сторону, откуда |
кратчайший поворот от вектора a к вектору b виденпротивчасовойстрелки.
Для векторов, записанных в координатной форме, векторное произведение вычисляется по формуле
i |
j |
k |
y1 |
z1 |
x1 |
z1 |
x1 |
y1 |
|||||
a ×b = |
x |
y |
z |
= |
i − |
j + |
k . (1.16) |
||||||
1 |
1 |
1 |
y2 |
z2 |
x2 |
z2 |
x2 |
y2 |
|||||
x2 |
y2 |
z2 |
|||||||||||
20
Определение. Смешанным произведением трех векторов a , b
и c называется число, равное векторному произведению a ×b , умно-
женному скалярно на вектор c , и обозначается abc .
Для векторов, записанных в координатной форме, смешанное
произведение вычисляется по формуле |
||||||||||||||
x1 |
y1 |
z1 |
||||||||||||
abc = |
x2 |
y2 |
z2 |
. |
(1.17) |
|||||||||
x3 |
y3 |
z3 |
||||||||||||
Из определения скалярного |
произведения |
a b = |
a |
b |
cosϕ и |
|||||||||
формулы (1.15) можно найти косинус угла ϕ между векторами a и b :
cosϕ = |
ab |
= |
x1x2 + y1 y2 + z1z2 |
(1.18) |
|||||||
a b |
x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22 . |
||||||||||
Поскольку площадь параллелограмма, построенного на векторах |
|||||||||||
a и b , равна |
|||||||||||
a ×b |
= |
a |
b |
sin ϕ, |
(1.19) |
||||||
то площадь S треугольника, построенного на векторах a и b , вычисляется по формуле
S = |
1 |
a ×b |
. |
(1.20) |
||
2 |
||||||
Наконец, из определения смешанного произведения векторов a ,
b и c вытекает, что объем треугольной пирамиды, построенной на этих векторах, определяется формулой
V = |
1 |
abc |
. |
(1.21) |
||
6 |
||||||
1.3. Основные сведения из аналитической геометрии
Общее уравнение прямой на плоскости в декартовой системе координат имеет вид
Ax + By + C = 0 . |
(1.22) |
Вектор n ={A; B} называется нормальным вектором прямой. Он перпендикулярен прямой (рис. 1.4).
21
n |
Уравнение прямой, проходящей че- |
||
рез точку M 0 (x0 ; y0 ) перпендикулярно |
|||
вектору n ={A; B}, имеет вид |
|||
М0(х0; у0) |
М(х; у) |
||
A(x − x0 )+ B(y − y0 ) = 0 . (1.23) |
|||
Рис. 1.4 |
|||
Если две прямые заданы уравнениями А1х + В1у + С1 = 0 и А2х +
+ В2у + С2 = 0, то угол ϕ между ними определяется как угол между их |
||||||||
нормальными векторами n1 ={A1; B1} и n2 ={A2 ; B2 }: |
||||||||
cosϕ = n1 n2 = |
A2 |
A1 A2 + B1 B2 |
. |
(1.24) |
||||
n1 n2 |
+ B2 |
A2 |
+ B2 |
|||||
1 |
1 |
2 |
2 |
|||||
Следовательно, условие перпендикулярности двух прямых cosϕ = 0 |
||||||||
или |
||||||||
A1 A2 + B1 B2 = 0 , |
(1.25) |
|||||||
а условие параллельности имеет вид |
||||||||
A1 |
= |
B1 |
. |
(1.26) |
||||
A |
||||||||
B |
||||||||
2 |
2 |
|||||||
Расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ) |
до прямой (1.22) вычисляется по |
|||||||
формуле |
||||||||
d = Ax0 + By0 +C .
A2 + B2
Рассмотрим другие виды уравнений прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M 0 (x0 ; y0 )
параллельно вектору s ={m; n}, имеет вид
x − x0 |
= |
y − y0 |
. |
(1.27) |
m |
||||
n |
||||
Вектор s ={m; n} называется направляющим вектором прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1; y1) и M2 (x2 ; y2 ) , записывается по формуле
x − x1 |
= |
y − y1 |
. |
(1.28) |
||||
x |
2 |
− x |
y |
2 |
− y |
|||
1 |
1 |
|||||||
22
Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла α на-
клона прямой к оси Ох (рис. 1.5). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет вид
y = k x +b . |
(1.29) |
y
b
α
0 |
x |
Рис. 1.5
а условие параллельности:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через заданную точку M0 (x0 ; y0 ) , записывается по
формуле
y − y0 = k(x − x0 ). |
(1.30) |
Если две прямые заданы уравнениями y = k1x + b1 и y = k2 x +b2 , то условие перпендикулярностиэтихпрямыхимеетвид
k1 k2 = −1, |
(1.31) |
k1 = k2. |
(1.32) |
Рассмотрим далее различные виды прямой в пространстве. Каноническое уравнение прямой в пространстве (рис. 1.6) имеет вид
s |
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
, (1.33) |
||||||||||||||||||
M (x; y; z) |
m |
n |
p |
|||||||||||||||||||||
где |
M |
0 |
(x |
; |
y |
; z |
0 |
) – |
точка, лежащая на |
|||||||||||||||
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) |
0 |
0 |
||||||||||||||||||||||
прямой, а s ={m; n; p} – направляющий |
||||||||||||||||||||||||
Рис. 1.6 |
векторпрямой. |
|||||||||||||||||||||||
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки |
||||||||||||||||||||||||
M1(x1; y1; z1) и M2 (x2 ; y2 ; z2 ) |
записывается по формуле |
|||||||||||||||||||||||
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
. |
(1.34) |
||||||||||||||||||
x |
2 |
− x |
y |
2 |
− y |
z |
2 |
− z |
||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||||||
Параметрическое уравнение прямой в пространстве имеет вид |
||||||||||||||||||||||||
x = x0 + mt, |
||||||||||||||||||||||||
y = y0 + nt, |
− ∞ < t < +∞. |
(1.35) |
||||||||||||||||||||||
z = z0 + pt, |
||||||||||||||||||||||||
23 |
||||||||||||||||||||||||