Файл: Волк_Высшая математика.2010.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1463

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Например, расположение экспериментальных точек может навести на мысль о линейной или квадратичной, или экспоненциальной, или другой зависимости.

Однако общего метода для нахождения наилучшего типа эмпирической зависимости, соответствующей опытным данным, указать нельзя.

После того, как определен класс, которому должна принадлежать искомая эмпирическая зависимость, встает вопрос о нахождении конкретных значений параметров a0 , a1, a2 , …, am .

Одним из основных методов нахождения параметров эмпирической зависимости является метод наименьших квадратов. Этот метод не решает вопроса о выборе общего вида аналитической функции, а дает возможность при заданном типе аналитической функции подобрать наиболее вероятные значения для ее параметров.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что параметры a0 , a1, a2 , …, am выбираются из условия минимума суммы

квадратов уклонений

S = n

f

(

x; a ; a ; a ; ...; a

m )

− y

2 .

(13.10)

∑

0

1

2

i

i=1

Известно, что если

в

качестве

функции

f

берется

многочлен

f (x) = a0 + a1x + a2 x2 +

+ am xm ,

то

функция

S = S (a0 ; a1; a2 ; ...; am )

имеет одну точку экстремума, в которой достигается минимум. В этом случае коэффициенты многочлена a0 , a1, a2 , …, am представляют со-

бой решение системы линейных уравнений m +1-го порядка:

n

n

2

n

m

n

a0n

+ a1 ∑ xi

+ a2 ∑ xi

+…

+ am ∑ xi

= ∑ yi ,

n

i=1

i=1

i=1

i=1

n

n

n

n

a0

∑ xi

+ a1 ∑ xi2

+ a2 ∑ xi3 +…

+ am ∑ xim+1

= ∑ xi yi ,

(13.11)

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

n

n

n

n

n

a0

∑ xim + a1 ∑ xim+1

+ a2 ∑ xim+2 +…+ am ∑ xi2m

= ∑ xim yi .

i=1

i=1

i=1

i=1

i=1

Данная система называется нормальной и решается любым известным методом (Гаусса, Крамера, матричным).

В частном случае, когда y зависит от x линейно: y = ax +b , система для нахождения коэффициентов имеет вид:

160

n

n

bn + a∑ xi = ∑ yi ,

=

i

=

i 1

1

(13.12)

n

n

n

b∑ xi + a∑ xi2 = ∑ xi yi .

i=1

i=1

i=1

Задача 2. По результатам наблюдений (табл. 13.6) установить вид эмпирической зависимости y от x и методом наименьших квадратов найти эмпирическую зависимость y = f (x).

Построить точечную диаграмму и график полученной эмпирической зависимости.

Таблица 13.6

х

14

17

20

23

26

29

32

35

38

41

у

32

36

42

48

52

56

62

64

69

76

Решение

На плоскости xOy построим точки Mi (xi , yi ) , i = 1,10 .

Из точечной диаграммы (рис. 13.3) видно, что точки Mi (xi ; yi )

расположены вблизи некоторой прямой, поэтому можно считать, что зависимость y от x будет линейной, т. е. вида y = ax + b .

Переменная у Переменная y

80

70

60

50

40

30

20

10

0

0

10

20

30

40

50

Переменнаяеменнаях x

Рис. 13.3

161

Для нахождения коэффициентов а и b запишем нормальную систему (13.12). Для вычисления коэффициентов системы (13.12) составим табл. 13.7.

Таблица 13.7

x

y

x2

x y

i

i

i

i i

1

14

32

196

448

2

17

36

289

612

3

20

42

400

840

4

23

48

529

1104

5

26

52

676

1352

6

29

56

841

1624

7

32

62

1024

1984

8

35

64

1225

2240

9

38

69

1444

2622

10

41

76

1681

3116

∑

275

537

8305

15942

Система (13.12) для нашего примера имеет вид:10b + 275a = 537,

275b + 8305a = 15942.

Из нее находим коэффициенты a и b : a = 1,58 ; b = 10,2 . Искомая эмпирическая функция: y = 1,58x +10,2 . На рис. 13.3 построим график

полученной прямой. График эмпирической зависимости соответствует точечной диаграмме.

162

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Тема 1. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры и аналитической геометрии

Задачи 1–10. Записать систему линейных уравнений в матричной форме и решить методом Крамера.

3x1 − 2x2 + 2x3 = 5,

1.

2x1 +3x2 − x3 = 5,

x

− 2x +

x = 0.

1

2

3

x1 + 2x2 +3x3 =10,

3.2x1 −3x2 − x3 = −1,3x1 + 4x2 +5x3 = 22.

x1 + 4x2 − 2x3 = 3,

5.7x1 − x2 + 2x3 =8,4x1 +3x2 −3x3 = 4.

3x + 2x + 4x =12,

7.x1 −3x2 +3x3 = 2,2x1 −5x2 + x3 = 0.4x1 + x2 −5x3 = −14,

9.x1 −3x2 + x3 = 0,2x1 +5x2 −3x3 − 4.2 31

=13,

2.x1 − 2x2 +3x3 = −1,2x1 − 4x2 − x3 = −2.x2 + x35x1 −

x1

+ 4x2 +3x3 =14,

4.

3x1 +5x2 − x3 = 5,

x

− x

+ 2x = 6.

1

2

3

x1 −5x2 −6x3 = −4,

6.4x1 + x2 + x3 = 9,3x1 + 2x2 − 2x3 = 4.3x1 + x2 −7x3 = −6,

8.x1 +5x2 − x3 = 4,2x1 − x2 + 4x3 = 3.

x1 +3x2 + 4x3 = 4,

10.2x1 − x2 +8x3 =1,3x1 + 2x2 − 4x3 = 5.

Задачи 11–20. Даны координаты вершин пирамиды A1 A2 A3 A4 . Найти: 1) длину ребра A1 A2 ; 2) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ; 3) уравнение плоскости A1 A2 A3 ; 4) площадь грани A1 A2 A3 ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой A1 A2 ; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на плоскость A1 A2 A3 .

11.A1(2; 4; 7); A2 (6; 6; 2); A3 (5; 4; 7); A4 (7; 3; 0).

12.A1 (4; 5; 7); A2 (7; 5; 3); A3 (9; 4; 4); A4 (7; 9; 6).

163

Смотрите также файлы