Файл: Волк_Высшая математика.2010.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1449

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

13.A1 (4; 2; 0); A2 (6;1;1); A3 (4; 6; 6); A4 (1; 2; 6).

14.A1 (3; 5;10); A2 (5; 5; 4); A3 (3; 8; 4); A4 (5; 8; 2).

15.A1 (4; 6; 3); A2 (0; 7;1); A3 (4;1; 5); A4 (3; 9; 8).

16.A1 (5; 7; 8); A2 (9; 5; 5); A3 (−3; 7;1); A4 (6; 9; 2).

17. A1(4; 9; 3); A2 (2; 4; 3); A3 (7; 6; 3); A4 (3; 6; 7).

18.A1 (1; 9; 9); A2 (3; 5; 4); A3 (5; 8; 3); A4 (6; 4; 8).

19.A1 (1; 7; 3); A2 (3; 3; 9); A3 (6; 9;1); A4 (8; 5; 8).

20.A1 (−1;1; 6); A2 (3;1; 4); A3 (−1; 6;1); A4 (0; 4; −1).

Задача 21. Составить каноническое уравнение эллипса, большая полуось которого равна 10, эксцентриситет 0,6 и фокусы лежат на оси Ox . Изобразить эллипс на рисунке.

Задача 22. Составить каноническое уравнение эллипса, сумма полуосей которого равна 8 и расстояние между лежащими на оси Ox фокусами 8. Изобразить эллипс на рисунке.

Задача 23. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояния от лежащего на оси Oy фокуса до концов его большой оси

равны 9 и 1. Изобразить эллипс на рисунке.

Задача 24. Составить каноническое уравнение эллипса, вытянутого вдоль оси Oy , если расстояние между директрисами равно 12 и рас-

стояние между фокусами равно 8. Изобразить эллипс на рисунке.

Задача 25. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Oy , действительная полуось равна 6, а эксцен-

триситет 53 . Изобразить гиперболу на рисунке.

Задача 26. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между лежащими на оси Ox фокусами равно 20, а уравне-

ние асимптот y = ± 43 x . Изобразить гиперболу на рисунке.

164

Задача 27. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между лежащими на оси Oy фокусами равно 20, а рас-

стояние между вершинами 12. Изобразить гиперболу на рисунке.

Задача 28. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между лежащими на оси Oy фокусами равно 26, сумма

полуосей равна 17, а действительная полуось больше мнимой. Изобразить гиперболу на рисунке.

Задача 29. Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой совпадает с началом координат, а прямая x = 3 является директрисой. Изобразить параболу на рисунке.

Задача 30. Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой совпадает с началом координат, а фокус находится в точке F(0; −1,5) . Изобразить параболу на рисунке.

Тема 2. Предел и непрерывность функции

Задачи 31–40. Найти предел функции, не используя при этом правило Лопиталя.

31. a) lim

3x2 + x −10

;

б) lim

1 + x − 1 + 2x

;

x→∞

x2 + 2x −3

x→0

x2 +3x

в) lim

1−cos 2x

;

2x +3

x−1

x sin 3x

г) lim

2x +5

.

x→0

x→∞

32. a) lim

x2 −7x +12

;

б) lim

5 + x −3

;

x − 4

x→3

x2 −8x +15

x→4

в) lim

xtgx

;

г) lim(1 − 5x)

x+1

.

x

x→0 1 − cos 4x

x→0

33. a) lim

x3 + x2 +3x

;

б) lim

x

;

4 + x − 2

x→∞

2x3 − x +10

x→0

в) lim

tg2x −sin 2x

г) lim

x

1−3 x

x2

;

.

x→0

x→∞

x −1

165

34. a) lim

x2 − 4x + 3

;

x→1

x

3

−1

в) lim cos x − cos3 x

;

2

x→0 x

35. a) lim x2 − x −30 ; x→−5 x3 +125

в) lim1−cos6x

;

x→0

x sin x

36. a) lim

x2

+3x +10

;

3x2 − 2x +5

x→ ∞

в) lim

xsin 3x

;

tg2 xcos 2x

x→0

37. a) lim

x2

− 7x +10

;

x→2

x

3

−8

в) lim sin 2 2x

;

x→0

tg2 5x

38. a) lim

x3

−1

;

5x2 − 4x −1

x→1

в) lim sin2 2x

;

x→0

x

2

39. a) lim

(x −1)2

;

4x2

+ x −5

x→1

в) lim

1

−

1

;

x→0 sin x

tgx

40. a) lim

x2

+ 2x +5

;

3x2

−2x +10

x→∞

в) lim

tg2 2x

;

sin 2 3x

x→0

166

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

б)

г)

lim

2x +1 − 3 ;

x→4

x − 2 − 2

2x − 3

−5 x

lim

2x

.

x→∞

lim1−

1− x2

;

x→0

x

2

x +

3 3x

lim

.

x→∞

x −

2

lim

2x + 7 −5 ;

x→9

x −3

x −1

x

lim

.

x→∞ x + 2

lim

x − 2

;

6x +1 − 5

x→4

1

lim(1− 2x)

.

x

x→ 0

lim

x2 − x − 2

;

x→2

4x +1 − 3

2

lim(1+ 2x)

.

3 x

x→ 0

lim

x +3 − 2

;

x→1

x −1

x −2

4−x

lim

.

x→∞

x + 2

lim

x2 − 4

;

1− 4x −3

x→ −2

x

3−x

lim

.

x→∞ x −1

Задачи 41–50. Функция y(x) задана различными аналитиче-

скими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.

− 2x,

если x ≤ 0,

41.

y = x2 ,

если 0 < x ≤ 2,

x +1,

если x > 2.

2x2 ,

если x ≤ 0,

43.

y = x,

если 0 < x ≤1,

2,

если x >1.

x − 3, если x < 0,

45.

y = x +1,

если 0 ≤ x ≤ 4,

x2 −11, если x > 4.

− 2x,

если x ≤ 0,

47.

y = x2 +1, если 0 < x ≤1,

2,

если x >1.

− x,

если x < 0,

49.

y = x2 ,

если 0 ≤ x ≤ 4,

x −1, если x > 4.

x2 +1, если x ≤1,

42. y = 2x,

если 1 < x ≤ 3,

x + 2,

если x > 3.

x −1, если x ≤ 0,

44.y = x2 , если 0 < x < 2,2x, если x ≥ 2.

+1, если x < 0,

3x

46

y = x2

+1, если 0 ≤ x <1,

0,

если x ≥1.

если x < 0,

1,

48.

y = x2

+1, если 0 ≤ x ≤1,

x,

если x >1.

2x +1, если x < −1,

50.

y = x2 ,

если −1 ≤ x ≤ 2,

6 − x,

если x > 2.

Тема 3. Производная и ее вычисление

Задачи 51–60. Найти производные dydx данных функций.

51.

а)

y = ln2 (arcsin x );

б)

y = (2ex

+ cos3x)4 ;

в)

y = (sin 2x)3 x ;

г)

xy2 + x2 y + xy =1.

52.

а)

y = e3x+tg2x ;

б)

y = tg3

x +

1 ;

x

в) y = x 3 x + 2 x +1

;

г) xy +ey = y2 .

3x +1

167

53. а)

y = xln2 5x −lnsin x;

б)

y = arctg

x +1

;

x −1

в)

y = (tg3x)2 x ;

г) cos(xy) = x.

54. а)

y = ln arctg 1 + x2 ;

б)

y = e3 x+1 (x2

+3x + x ) ;

в)

y = (x3 +

x )sin x ;

г)

x3 + y3 = xy.

55. а)

y = (3cos x

+ tg2 x)4 ;

б)

y = x2 1 +

sin x;

в)

x(x2 +1))

y = 3 (x2

−1)5

;

г)

y = 3x + arcctgy.

1−sin3 x

y = arcsin

x +1

;

56. а)

y =10

;

б)

x −1

в) y = x3e2 x x +1sin 5x;

57.а) y = 1 + tg2 x + tg 3 x;

в) y = (arctgx)x ;

58.а) y = ln cos x x−1;

в)

+

2 3 x

y = 1

;

x

59. а) y = sin (ex2 +3x+1 );

в) y = (1 + x)2 (1 − 2x)3 ; (1 − x)4 (1 + 4x)5

60. а) y = ln ctg2 x;

в) y = (cos x) x ;

Задачи61–70. Найти dy и d 2 2y dx dx

г) x sin y − y cos x = 0.

б) y = x arcsin x + 1 − x2 ;

г) tgy = xy.

б) y = 1 + ex ; 1 − ex

г) ln y + xy = 3.

б) y = 1x + ln3 x − lnxx ;

г) x2 + x5 y + xy3 = 0.

б) y =

x

x

− x arcsin x;

sin3

г) ey = x3 + y5 .

параметрическизаданныхфункций.

168

Смотрите также файлы