ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1596
Скачиваний: 21
58. 1. 59. 4. 60. 8. 61. |
9 |
. 62. |
1. |
63. 2 . 64. 18. |
65. |
7 . 66. 2. |
67. e−3 . |
||||||
3 |
25 |
8 |
3 |
2 |
|||||||||
3 |
69. e−14 . |
e−4 . |
4 |
72. e−4 . |
73. e−3 . |
15 |
75. e−6 . |
||||||
68. e2 . |
70. |
71. |
74. e 2 . |
||||||||||
e |
3 |
. |
|||||||||||
76. e−10. |
77. e−21 . |
78. |
e−5 . |
79. e4 . |
80. e−6 . |
81. 0. |
82. ∞ . 83. 3. 84. 0. |
||||||
85.0. 86. 32 . 87. −∞. 88. 16 . 89. − 43 . 90. 4.
1.3.НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
1.3.1.Теоретический минимум
1.Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
2.Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
3.Точки разрыва функции и их классификация.
Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке
Пустьфункция y = f (x)определенавнекоторойокрестноститочки x0. Придадим аргументу x0 приращение x. Тогда функция y = f (x) получитприращение y = f (x)− f (x0 )= f (x0 + x)− f (x0 )(рис. 1.18).
y
y = f(x)
y0 + y
y
y0
x
0 |
x0 |
x0 + x |
x |
Рис. 1.18. Приращение функции
51
Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если:
1)f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности;
2)lim f (x)= f (x0 ).
→x0
Из второго |
условия вытекает, |
что lim f (x) существует |
|||
x→x0 |
|||||
и |
конечен. |
Это |
равносильно |
существованию |
предела |
lim |
( f (x)− f (x0 ))= lim |
y = 0. Таким |
образом, второе |
условие |
|
x→x0 |
x→x |
||||
0 |
|||||
вопределении означает, что
x→0 y →0 ,
т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции (определение непрерывности на языке приращений).
Так как lim x = x0 , то условие 1) можно записать в виде
x→x0
lim f (x)= f |
lim x |
= f (x ). |
||||||||||||
x→x0 |
(x→x0 |
) |
0 |
|||||||||||
Это означает, что для непрерывной функции знаки предела и |
||||||||||||||
функции можно переставлять. |
y = x3 |
|||||||||||||
Пример. |
Доказать, |
что функция |
непрерывна в любой |
|||||||||||
точке области определения, т. е. в любой точке x0 . |
x0 и |
|||||||||||||
Решение. Дадим аргументу x приращение |
x в точке |
|||||||||||||
найдем приращение функции |
y: |
|||||||||||||
y = f (x0 + x)− f (x0 )= (x0 + x)3 − x03 = x03 + 3x02 x + 3x0 ( |
x)2 + |
|||||||||||||
+( |
x)3 − x 3 = 3x2 x + 3x |
( x)2 |
+ ( x)3 . |
|||||||||||
0 |
0 |
0 |
||||||||||||
Следовательно, |
||||||||||||||
lim |
y = lim |
( |
3x2 |
x + 3x |
( |
x)2 + ( x)3 |
) |
= 3x2 |
lim |
x + 3x |
lim ( |
x)2 + |
||
x→0 |
0 |
0 |
0 |
x→0 |
0 |
x→0 |
||||||||
+ lim ( x)3 = 3x2 |
x→0 |
|||||||||||||
0 + 3x |
0 + 0 = 0 . |
|||||||||||||
x→0 |
0 |
0 |
||||||||||||
y = 0, а это и означает, что функция y = x3 |
||||||||||||||
Таким образом, lim |
||||||||||||||
x→0 |
||||||||||||||
непрерывна в точке x0 . |
||||||||||||||
Если функция y = f (x) определена в левосторонней (или пра- |
||||||||||||||
восторонней) окрестности точки x0 и |
lim |
f (x)= f (x0 −0)= f (x0 ) |
||||||||||||
x→x0 −0 |
||||||||||||||
52
(аналогично lim f (x) = f (x0 + 0) = f (x0 )), то функция y = f (x)
x→x0 +0
называется непрерывной в точке x0 слева (соответственно справа).
Таким образом, функция y = f (x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в ней слева и справа.
Отсюда получаем удобный на практике критерий (условия)
непрерывности. |
||
f (x) непрерывна при x = x0 |
в том и только том случае, если: |
|
1) |
функция определена в точке x0 ; |
|
2) |
односторонние пределы |
f (x0 − 0), f (x0 + 0) функции в |
точке x0 существуют, равны между собой и равны значению |
||||||||||||||
функции в этой точке: f (x0 − 0) = f (x0 |
+ 0) = f (x0 ). |
|||||||||||||
Пример. Исследовать |
на непрерывность |
в точке x =1 сле- |
||||||||||||
дующие функции: |
||||||||||||||
1) |
y = |
3 |
; 2) |
x − 2, |
если x <1, |
3) |
y = x |
2 |
−5. |
|||||
y = |
||||||||||||||
x −1 |
x2 , |
если x ≥1; |
||||||||||||
Решение. |
3 |
|||||||||||||
1) функция |
y = |
определена в окрестности точки x =1, но |
||||||||||||
x −1 |
||||||||||||||
в самой точке x =1 она не определена, следовательно, в этой точке она не является непрерывной (не выполнено первое условие не-
прерывности); |
|||||||
2) для |
исследования на |
непрерывность |
воспользуемся |
||||
условиями |
непрерывности. |
В |
точке |
x =1 |
функция |
||
x − 2, |
если |
x <1, определена |
( f 1 =12 |
=1), т. е. |
первое |
||
y = |
если |
x ≥1 |
( ) |
||||
x2 , |
|||||||
условие непрерывности выполнено; второе условие также выпол- |
|||
няется: f (1 − 0)= lim |
f (x)= lim |
(x − 2)= −1; |
f (1 + 0)= lim f (x)= |
x→1−0 |
x→1−0 |
x→1+0 |
|
= lim x2 =1 = f (1); третье условие непрерывности не выполняется,
x→1−0
т. к. f (1 − 0)≠ f (1 + 0). Следовательно, данная функция не явля-
ется непрерывной в точке x =1, однако функция непрерывна в точке x =1 справа;
3) функция y = x2 −5 является непрерывной в точке x =1,
т. к. выполнены все три условия непрерывности: она определена в точке x =1 и ее окрестности; существуют односторонние
53
пределы |
lim |
f (x) = −4, |
lim f (x) = −4 ; эти |
пределы |
равны |
|||
между |
x→1−0 |
и |
равны |
x→1+0 |
в |
точке |
x =1: |
|
собой |
значению функции |
|||||||
lim f (x) = lim |
f (x) = f (1) = −4 . |
|||||||
x→1−0 |
x→1+0 |
|||||||
Свойства функций, непрерывных в точке |
||||||||
1. Если функции f (x) |
и g (x) непрерывны в точке x0 |
, то их |
||||||
арифметические комбинации: f (x)± g (x), c f (x) |
(с – постоян- |
|||||||
ная), f (x) g (x) и |
f (x) |
(при условии что g (x )≠ 0 ), также непре- |
||||||
g (x) |
0 |
|||||||
рывны в точке x0 .
2. Если функция u = ϕ(x) непрерывна в точке x0 , а функция
y = f (u) непрерывна в точке u0 = ϕ(x0 ), то сложная функция y = f (ϕ(x)) непрерывна в точке x0 .
Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (а; b), в точке a непрерывна справа, а в точке b непрерывна слева.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
1. Основные элементарные функции непрерывны в области их определения.
2. Элементарные функции непрерывны на каждом из интервалов, целиком лежащих в области определения.
3. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса).
4. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то на этом отрезке она достигает своего наименьшего значения fнм и наибольшего значения fнб (вторая теорема Вейерштрасса) (рис. 1.19).
y
fнб |
y = f (x) |
fнм
0 |
a |
b |
x |
Рис. 1.19. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции
54
5. Если |
функция |
y = f (x) непрерывна на |
отрезке [a; b] и |
||
f (a) = A, f |
(b) = B , то для любого числа С, заключенного между А |
||||
и B, найдется такая точка с [a; |
b], что f (c) = C (теорема Коши |
||||
о промежуточном значении) (рис. 1.20). |
|||||
y |
|||||
B |
y = f (x) |
||||
C |
|||||
A |
|||||
0 |
a |
c |
b |
x |
|
Рис. 1.20. Промежуточные значения |
|||||
непрерывной на отрезке функции |
|||||
Точки разрыва функции и их классификация |
|||||
Если для функции y = f (x), |
определенной по крайней мере |
||||
в некоторой проколотой окрестности точки x0 , не выполняется хотя бы одно из условий критерия непрерывности, то точка называется
точкой разрыва функции.
Точкиразрывафункцииклассифицируются следующимобразом.
Точка x0 называется точкой: |
|
1) устранимого разрыва функции y = f (x), если в этой точке |
|
существуют односторонние конечные пределы f (x0 −0) и f (x0 +0), |
|
они равны между собой: f (x0 − 0) = f (x0 + 0), но сама функция |
|
y = f (x) не определена в точке x0 или определена, но ее значение |
|
неравно одностороннимпределам: f (x0 − 0) = f (x0 |
+ 0) ≠ f (x0 ); |
2) конечного разрыва (скачка) функции y = f |
(x), если в этой |
точке существуют конечные односторонние пределы f (x0 − 0) и |
|
f (x0 + 0), но они не равны между собой: f (x0 |
− 0) ≠ f (x0 + 0) |
(рис. 1.22, точка x = 0 ); |
|
3)бесконечного разрыва (скачка) функции y = f (x), если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов бесконечен
(рис. 1.23, точка x1 = −4 );
4)несуществования, если не существует lim f (x).1
55