Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.05.2025

Просмотров: 1564

Скачиваний: 21

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

= lim

2(t − 3)

= lim

2(t − 3)

= lim

2

2

1

.

=

=

t

2

− 9

(t − 3)(t + 3)

(t + 3)

6

3

t→3

t→3

t→3

∞

Неопределенность вида ∞

P(x)

1. При нахождении предела lim ( ) отношения двух много-

x→∞ Q x

членов P(x) и Q(x) при x → ∞ числитель и знаменатель дроби

целесообразно разделить на xn , где n – высшая степень этих многочленов.

Пример. Найти пределы функций:

1) lim

4x4 +3x2

−5

; 2) lim

3x3

+5x2 −1

.

2x +7x3 +3x4

x5

+ 2x +3

x→∞

x→∞

Решение.

1)

разделим

числитель

и знаменатель

дроби

на

x4 , тогда

3

5

4x4 +3x2 −5

∞

4 +

−

4

+ 0 + 0

4

x2

x

4

;

lim

=

= lim

=

=

3

4

2

x→∞ 2x + 7x

+3x

∞

x→∞

+ 7 +3 0

+ 0 + 3

3

x3

x

x5 , получим:

2) разделим числитель и знаменатель дроби на

3

5

1

3x3 +5x2 −1

∞ = lim

+

−

=

0 + 0 + 0

lim

=

x2

x3

x 5

= 0.

5

x→∞ x

+ 2x

+ 3

x→∞

2

3

∞

1 + 0 + 0

1 +

+

x4

x5

∞

2. При раскрытии неопределенности

в случае иррацио-

∞

нальных выражений в числителе и знаменателе дроби выделяются множители xm , xn , где m, n – максимально возможные показа-

тели степеней ((m, n) ). Затем производится сокращение на x p (p = min (m, n)).

Пример. Найти пределы функций:

1) lim

4x2

+ 2x −5

; 2) lim

4x6 + 2x +1

.

+ 2x +1

x4 + 2x2 + 4

x→+∞ 3 x3

x→∞ 4

42

Решение.

x

2

4 +

2

−

5

2

4 x

+ 2 x − 5

∞

x

x

2

1)

lim

=

= lim

=

x→+∞

3

x3

+ 2 x +

1

∞

x

→+∞

x

3

2

1

3

1 +

+

x

2

x

3

x

4 +

2

−

5

+

2

−

5

2

5

4

4 +

−

x

x

2

x

x

2

∞

∞

= lim

= lim

=

=

2

1

2

1

2

x→+∞

x

x→+∞

3 1 +

+

1

3 1 +

+

3 1 +

+

∞

x

2

x

3

x

2

x

3

∞

4 + 0 + 0

2

=

=

= 2;

3

1

+ 0 +

0

1

x

6

4

+

2

+

1

6

4x

+

2x +1

∞

x

5

x

6

2) lim

=

∞

= lim

=

x→∞ 4 x4 + 2x2 + 4

x→∞

x

4

+

2

+

4

4

1

x

2

x

4

x

3 4 +

2

+

1

4 +

2

+

1

= lim

x5

x6

= lim x2

lim

x5

x6

=

x 4

1 + 2

4 1 +

x→∞

+

4

x→∞

x→∞

2

+ 4

x2

x4

x2

x4

4 +

2

+

1

∞

∞

[∞ 2]= ∞.

= ∞

=

2

4

4 1 +

+

∞

∞

Неопределенность вида 1∞

Для раскрытия неопределенности вида 1∞ часто используется второй замечательный предел и следствия из него:

k

nx

kn

n

kn

lim 1 +

= e

; lim(1 + kx)x

= e .

x→∞

x

x→0

Пример. Найти пределы функций:

3 x

2x +5

x+2

1)

lim 1

+

; 2)

lim

; 3) lim x(ln (x +3)−ln x).

x→∞

x +1

x→∞ 2x +3

x→∞

43

Решение.

3

+

=1,

lim x = ∞, имеем неопределенность

1) т. к. lim 1

x→∞

x +1

x→∞

вида 1∞ , для раскрытия которой используем второй замечательный предел:

x+1

3 x

lim

3

x

x+1

3 x

1

3

3

3

lim

x→∞1+

∞

x

3

;

= e

x→∞ x+1

= e

= e

lim 1 +

= lim

1

+

= 1

x→∞

x +1

x→∞

x +1

5

2) поскольку lim

2x + 5

= lim

2 + x

=1,

lim(x + 2)= ∞, то имеем

2x + 3

3

x

→∞

x→∞

x→∞

2 + x

неопределенность вида 1∞ , для раскрытия которой используем второй замечательный предел:

2x + 5

x+2

∞

+

2x + 5

−

x+2

=

lim

=

1

= lim 1

2x + 3

1

x→∞ 2x + 3

x→∞

2x + 5 − 2x − 3 x+2

2

x+2

lim 1 +

= lim

1 +

=

2x +

3

2x +

x→∞

x→∞

3

2

(

x+2

)

4

2 x+3

lim

2+ x

2 x+3

2 x+4

2

x→∞

3

2

lim

2+

lim

1

+

= ex→∞

2 x+3

= e

x

= e;

2x +

x→∞

3

x + 3

3)

lim

x

(

ln

(

x + 3

)

− ln x

)

=

[

∞ − ∞

]

= lim

x ln

=

x

x→+∞

x→+∞

x + 3 x

3 x

3

= lim ln

= ln lim

1 +

= ln e

= 3.

x

x→+∞

x→+∞

x

Здесь использовали свойства логарифмов и второй замечательный предел. Во всех примерах использовали свойство 6) пределов.

Неопределенности вида [∞ − ∞], [0 ∞]

Неопределенности таких видов раскрываются сведением с по-

мощью преобразований к неопределенностям

0

, ∞

и другим.

Пример. Найти пределы функций:

0

∞

1

1) lim

x2 + x +1 − x

;

2) lim

1

−

x2

+2x

; 3) lim

(

tg x +2x2

)

.

2

x

→+∞(

)

3

−1

→

x

x→1 x −1 x

x

0

44

Решение.

1)

lim

x2

+ x +1 − x

. Так как lim

x2

+ x +1 =+∞ и lim x = +∞,

x→+∞(

)

x→+∞

x→+∞

то имеем неопределенность вида [∞ −∞].

Выполним следующее

преобразование:

)(

)=

xlim→+∞(

x2 + x +1 − x)= xlim→+∞ (

x2

+ x +1 − x

x2 + x +1 + x

x

2

+ x +1 + x

= lim

x2 + x +1− x2

= lim

x +1

.

x2 + x +1 + x

x2 + x +1 + x

x→+∞

x→+∞

Получили неопределенность вида ∞

. Раскроем ее:

∞

1

x +1

∞

x 1+

lim

=

= lim

x

=

x→+∞

x2 + x +1

+ x

∞

x→+∞

2

1

1

x

1

+

+

+ x

x

x

2

1

1

1

x 1

+

1 +

1 +

x

x

∞

= lim

= lim

=

=

1

1

x→+∞

1

1

x→+∞

1 +

+

1

+1

1 +

+

1

+

x

1 +

+

+1

1

x

x

2

∞

∞

x

2

x

1 + 0

1

=

=

2

;

1

+ 0 + 0 +1

1

x

2

2

2)

lim

−

+ 2x

. Так как lim

1

=∞ и lim

x

+ 2x

= ∞,

−1

3

x −

1

x→1 x

x

−1

x→1

x→ 1

x3 −1

то имеем неопределенность вида [∞ −∞].

Выполним следующее

преобразование:

1

x

2

+ 2x

1

x

2

+ 2x

lim

−

=lim

−

=

−1

−1

(x −1)

(x

x→1

x

x

3

x→1

x −1

2

+ x +1)

x2 + x +1− x2 −2x

−x +

1

=lim

=lim

.

(x −1)(x2 + x +

1)

−1)(x2 + x +1)

x→1

x→1 (x

45

Получили неопределенность вида 0 . Раскроем ее:

0

−x +1

0

−

(

x

−1

lim

=

= lim

=

1)(x

2

+ x

+

0

(x −1)

(x

2

x→1 (x −

1)

x→1

+ x +1)

= lim

−1

= −

1

;

x2 + x +1

3

x→1

3) lim

1

(tg x + 2x2 ). Непосредственная подстановка предель-

2

x→0

x

ного значения x = 0 приводит к неопределенности вида [0 ∞]. Пре-

образовав данное выражение, получим неопределенность вида 0

:

0

1

(tg x + 2x

2

)= lim

tg x +

2x2

tg x +

2x2

lim

2

= lim

2

=

x

2

x

x

x→0

x→0

x→0

tg x

2x2

tg x x

x

= lim

2

+ lim

2

=

= lim

+ 2

= ∞.

2

x→0

x

x→0

x

x→0 x

1.2.2.Вопросы для самоконтроля

1.Что называется окрестностью, ε-окрестностью, проколотой окрестностью конечной точки?

2.Что называется окрестностью бесконечно удаленной точки?

3.Дайте определение предела.

4.Приведите определение предела lim f (x)= b, когда: а и b – конечные числа; а – конечное b = +∞; a =x→+∞a , b – конечное; a = +∞,

b = +∞, и дайте геометрическую интерпретацию.

5. Символически запишите определение предела, когда: а – конечное, b = −∞; a = −∞, b – конечное; a = +∞, b = −∞; a = −∞,

b = +∞, и дайте геометрическую интерпретацию.

6.Дайте определение односторонних пределов. Как записываются односторонние пределы?

7.Какая функция называется бесконечно малой? Приведите примеры бмф.

8.Какие бмф называются: эквивалентными, одного порядка малости, более высокого порядка малости?

9.Выпишитетаблицуэквивалентныхбесконечномалыхфункций.

10.Перечислите основные свойства бесконечно малых функций.

46

Смотрите также файлы