Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ВЕКТОРЫ

4.1.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

4.1.1.Теоретический минимум

1.Определение матрицы, виды матриц.

2.Действия над матрицами.

3.Определители.

4.Обратная матрица.

5.Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.

6.Решение систем методом Гаусса.

Определение матрицы, виды матриц

Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел (или других математических объектов) – элементов матрицы, расположенных в m строках и n столбцах:

aij – элемент, принадлежащий i-й строке и j-му столбцу матрицы; числа i, j называются индексами элемента.

Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C и т. д. или A = aij = aij m×n, если указываются элементы

и размер матрицы.

Матрицы A и B одинаковых размеров называются равными, если равны их соответствующие элементы:

A = B aij = bij , i =1, m, j =1, n .

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Она обозначается Om×n .

Квадратной матрицей n-го порядка называется матрица размера n×n. В квадратной матрице элементы a11, a22 , …, ann образу-

ют главную диагональ.

151

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей. Обозначается In или En . Например,

Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной. Матрицу, транспонированную к матрице

A = aij m×n, обозначают AT = bij n×m, гдеbij = aji; i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.

Если исходная матрица имеет размер m×n, то транспонированная к ней будет иметь размер n×m. Например, если

элементы которой равны сумме (разности) соответствующих эле-

на матрицу A ) называется матрица C = cij m×n , элементы которой

равны соответствующим элементам матрицы A, умноженным на λ,

т. е. cij = λ aij , i =1, m, j =1, n .

Записывают C = λ A или C = A λ .

152

Операции сложения, вычитания и умножения на число называют линейными операциями над матрицами. Выражение αA + βB

называется линейной комбинацией матриц A и B .

Пример.

Произведением матрицы A размера m×s на матрицу B раз-

мера s×n называется матрица C размера m×n, элементы которой

равны cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aisbsj, т. е. чтобы получить cij, нужно элементы i-й строки A умножить на соответствующие элементы j-го столбца B и полученные произведения сложить.

Согласно этому определению, произведение матриц существует, если число столбцов первой из них равно числу строк второй.

Например,

Элемент c11 получаем, умножив элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B и сложив эти произведения, т. е.

c11 = 3 (−1) + 2 2 = −3 + 4 =1.

Аналогично

c12 = 3 3 + 2 (−2) = 5; c13 = 3 1 + 2 5 =13; c21 =1 (−1) + 4 2 = 7; c22 =1 3 + 4 (−2) = −5; c23 =1 1 + 4 5 = 21.

Из определения произведения матриц следует, что не всякие матрицы можно перемножить. Например, произведение

не существует, т. к. строка матрицы B2×3 содержит 3 элемента, а столбец матрицы A2×2 только 2 элемента.

153

Для квадратных матриц одного порядка оба произведения A B и B A существуют, но в общем случае A B ≠ B A .

Например,

Определители

Определитель – это числовая характеристика (функция) квадратной матрицы.

Определитель матрицы обозначают символами det A, A или буквами D, и др. Записывают определитель в виде такой же таблицы, как и матрицу, используя вместо скобок вертикальные линии.

Определитель матрицы вычисляется по следующему правилу.

определителя; Mij – определитель (минор) матрицы, получающийся из исходной вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

154

Например,

= 2 (0 + 6)−1 (16 − 2)+ 3 (12 + 0)=12 −14 + 36 = 34.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю ( det A ≠ 0 ). В противном случае ( det A = 0 ) матрица A называется вырожденной.

Обратная матрица

Матрица A−1 называется обратной для квадратной матрицы A , если A A−1 = A−1 A = E , где E – единичная матрица того же порядка, что и A .

Решение.

1.Вычислим определитель det A = 34 ≠ 0 .

2.Находим алгебраические дополнения:

155