Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера.

Система n уравнений с n неизвестными называется линейной, если она имеет вид

где aij – коэффициенты при неизвестных и bi – свободные члены (i =1, n ; j =1, n ) – заданные числа.

Упорядоченный набор чисел ( c1; c2 ; …; cn ) называется реше-

нием системы, если каждое из уравнений системы обращается в верное равенство после подстановки вместо x1 , x2 , ..., xn соответ-

ственно чисел c1 , c2 , …, cn .

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система, не имеющая ни одного решения,

называется несовместной.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Система уравнений, у которой все свободные члены равны нулю, называется однородной.

Однородная система всегда совместна, т. к. она всегда имеет нулевое решение.

156

составленный из коэффициентов при неизвестных, называется

определителем системы.

Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по форму-

лам Крамера

столбца столбцом свободных членов системы.

Пример 1. Установить, совместна ли система и, если она совместна, найти ее решение по формулам Крамера.

157

обе части второго уравнения на 2, получим первое). Следовательно, данная система имеет бесчисленное множество решений – ими будут все точки прямой 2x −3y =1. Эти решения можно записать

Решение систем методом Гаусса

Метод Гаусса является наиболее универсальным методом решения систем линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому, в частности, треугольному виду (см. примеры 1, 2). На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из полученной системы.

Опишем прямой ход метода Гаусса. Будем считать, что в исходной системе элемент a11 ≠ 0 . Если же a11 = 0 , то первым в сис-

теме запишем то уравнение, в котором коэффициент при x1 отли-

чен от нуля. Преобразуем исходную систему, исключив неизвестное x1 во всех уравнениях, кроме первого (см. примеры 1, 2). По-

лучим эквивалентную исходной систему в виде

вых частей. Затем, считая a22* ≠ 0 , исключим неизвестное x2 из всех

159

уравнений системы, кроме первого и второго. Продолжая указанный процесс, пока это возможно, мы придем к системе ступенчатого (или треугольного) вида

где a11 ≠ 0 ; a22* ≠ 0 , ..., ckk ≠ 0 .

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появляется уравнение вида 0 = 0, то его отбрасывают. Если же появляется уравнение вида 0 = bi и bi ≠ 0 , то это свидетельствует о несовместности системы.

Обратный ход метода Гаусса заключается в решении ступенчатой системы. Рассмотрим его сначала для частного случая, когда k = n и ступенчатая система имеет так называемый треугольный вид

Из последнего уравнения находим xn, затем, подставляя xn в предпоследнее уравнение, находим xn–1. Продолжая этот процесс, найдем единственное решение системы (x1, x2 , …, xn ) (см. пример 1).

Если в ступенчатой системе k < n , то из последнего уравнения системы выражаем xk через xk+1, xk+2, …, xn. Затем подставляем значение xk в предпоследнее уравнение и выражаем xk–1 через xk+1, xk+2, …, xn. Продолжая этот процесс, выразим неизвестные x1, x2, …, xk через xk+1, xk+2, …, xn, которые называются свободными неизвестными. Придавая свободным неизвестным (xk+1, xk+2, …, xn) произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы (см. пример 2).

Пример 1. Решить систему методом Гаусса:

x1 + 2 x2 + 2 x3 = 3,

2x1 + 3x2 + 5x3 =10,

3x1 + 7 x2 + 4 x3 = 3.

160