ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.05.2025
Просмотров: 1554
Скачиваний: 21
5. Предельный переход в неравенствах: если в некоторой окрест-
ности |
ˆ |
для функций |
f (x) и g (x) |
выполняется неравенство |
||||||||||
B(a) |
||||||||||||||
f (x)≤ g (x) |
исуществуют(конечные) пределы, то lim f (x)≤lim g (x): |
|||||||||||||
x→a |
x→a |
|||||||||||||
ˆ |
||||||||||||||
f (x)≤ g (x), x B(a) lim f (x)≤ lim g (x). |
||||||||||||||
x→a |
x→a |
|||||||||||||
Следует отметить, что строгое неравенство может переходить |
||||||||||||||
в равенство. |
1 |
g (x)= 1 . |
||||||||||||
Пример. Рассмотрим |
две |
функции |
f (x)= |
и |
||||||||||
x2 |
||||||||||||||
x |
||||||||||||||
При |
x → ∞ имеем строгое |
неравенство f (x)< g (x). Однако |
||||||||||||
lim f |
(x)= lim g (x)= 0 . |
|||||||||||||
x→∞ |
x→∞ |
|||||||||||||
6. Если lim f (x)> 0, то |
||||||||||||||
x→a |
||||||||||||||
lim f (x) |
g(x) |
lim g(x) |
. |
|||||||||||
= lim f (x)x→a |
||||||||||||||
x→a |
x→a |
|||||||||||||
Замечательные пределы
При раскрытии неопределенностей вида 0 с выражениями, со-
0
держащимитригонометрическиефункции, частоиспользуетсяпредел
lim sin x =1,
x→0 x
называемый первым замечательным пределом.
Пример. Вычислить пределы:
1) lim tg x |
; |
2) lim sin 5x . |
|||||||||||||||||||||||||
x→ 0 |
x |
x→ 0 tg 2x |
|||||||||||||||||||||||||
Решение. Применяем первый замечательный предел: |
|||||||||||||||||||||||||||
1) lim |
tg x |
0 |
sin x |
sin x |
1 |
1 |
=1; |
||||||||||||||||||||
= |
= lim |
= lim |
lim |
= |
|||||||||||||||||||||||
x |
x |
cos x |
|||||||||||||||||||||||||
x→ 0 |
0 |
x→0 xcos x |
x→0 |
x→0 |
1 |
||||||||||||||||||||||
sin5x |
0 |
sin5x cos2x |
sin5x |
2x |
5cos2x |
||||||||||||||||||||||
2) lim |
= |
=lim |
=lim |
= |
|||||||||||||||||||||||
tg2x |
0 |
sin2x |
5x |
sin2x |
2 |
||||||||||||||||||||||
x→0 |
x→0 |
||||||||||||||||||||||||||
x→ 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
= lim |
sin 5x lim |
2x |
lim |
5cos 2x |
= 5 . |
||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
5x |
x→0 sin 2x |
x→0 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
33
При раскрытии неопределенности вида 1∞ часто используется предел вида
1 |
x |
1 |
||||
+ |
= lim(1 + x)x = e, |
|||||
lim 1 |
||||||
x→∞ |
x |
x→0 |
||||
называемый вторым замечательным пределом, число е – предел
числовой последовательности |
+ |
1 n |
||||
1 |
, n =1, 2, 3, ... – является |
|||||
n |
||||||
числом иррациональным, е= 2,718281828459045... . |
||||||
+ |
1 |
n |
= e. |
|||
lim 1 |
n |
|||||
n→∞ |
||||||
Число е играет важную роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием е (y = ex ) называется экспонентой. Логарифм по основанию е называется натуральным (или неперовым) логарифмом и обозначается ln x. Таким образом,
ln x = loge x.
Из второго замечательного предела можно получить пределы, которые широко применяются для раскрытия неопределенностей:
lim |
ln(1 + x) |
=1; lim |
ex |
−1 |
=1. |
||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
x→0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Вычислить пределы: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1) lim |
x +3 |
x+2; 2) lim |
ln (x + 4)−ln 4 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x −1 |
x→ |
0 |
x |
||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
x+2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
x +3 x+2 |
∞ |
x +3 |
4 x+2 |
||||||||||||||||||||||||||||
1) |
lim |
= |
1 |
= lim |
1+ |
−1 |
= lim 1 |
+ |
= |
||||||||||||||||||||||
x −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ x −1 |
x→∞ |
x→∞ |
x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||
x−1 (x+2) |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
x−1 |
4 ( x+2) |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
lim |
||||||||||||||||||||||||||||||
x−1 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
= lim 1 + |
= ex→∞ |
= e |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
34
x + 4 |
x |
|||||||||||||||||||
ln (x + 4)−ln 4 |
0 |
ln |
1 |
ln 1+ |
1 |
|||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||
2) lim |
= |
= lim |
= |
lim |
= |
. |
||||||||||||||
x |
x |
4 |
x |
4 |
||||||||||||||||
x→ 0 |
0 |
x→0 |
x→0 |
|||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||
При нахождении |
предела |
в примере |
1) |
мы первоначально |
||||||||||||||||
в скобках добавили и вычли единицу, вычислили разность и разде-
лили на четыре, затем показатель умножили и разделили на x 4−1.
Другими словами, свели ко второму замечательному пределу, по-
lim f (x) |
. |
сле чего воспользовались свойством lim e f (x) = ex→à |
|
x→à |
При нахождении предела в примере 2), выполнив необходимые преобразования, мы свели его к одному из пределов, вытекающих из второго замечательного предела.
Вычисление пределов
Отметим некоторые общие методы вычисления пределов.
1. Использование основных теорем о пределах. Поскольку для основных элементарных функций во всех точках их области определения (для элементарных функций во всех точках из интервала их области определения) имеет место свойство
lim f (x)= f (a),
x→a
то при вычислении пределов, прежде всего, вместо х подставляем предельное значение (обычно это записывается в квадратных скобках) и, если значение f (a) определено, применяем основные теоремы о пределах.
Пример. Вычислить пределы:
1) lim |
x2 + 2x −1 |
; 2) lim |
( |
32 x (cos 2x + 2x2 ) |
) |
. |
||||||||||||||||||
x→1 |
2x +3 |
x→0 |
||||||||||||||||||||||
Решение. |
lim(x2 + 2x +1) |
|||||||||||||||||||||||
x2 + 2x −1 |
12 |
+ 2 1−1 |
2 |
|||||||||||||||||||||
1) lim |
= |
x→1 |
= |
1 |
= |
; |
||||||||||||||||||
2 |
x |
+3 |
x |
+3) |
5 |
|||||||||||||||||||
x→1 |
lim(2 |
2 +3 |
||||||||||||||||||||||
( |
x→1 |
) |
= lim32 x lim(cos 2x + 2x2 )= |
|||||||||||||||||||||
2) lim |
32 x |
(cos 2x + 2x2 ) |
||||||||||||||||||||||
x→0 |
x→0 |
x→0 |
||||||||||||||||||||||
= 30 (cos 0 + 2 0) =1 1 =1.
35
Однако часто при подстановке в f (x) вместо x предельного
значения а получаются выражения вида |
; |
; |
[0 ∞]; |
1 ; |
0 |
∞ |
∞ |
||
0 |
∞ |
[∞ − ∞] и другие, которые называются неопределенностями и ко-
торые нужно «раскрывать» специальными методами, например учитывая характер стремления к пределу отдельных функций, составляющих (входящих) функцию f (x) (см. ниже: раскрытие не-
которых видов неопределенностей).
2. При вычислении пределов иногда удобно воспользоваться односторонними пределами (свойство 2).
Пример. Вычислить lim f (x), если
x→ x0
x |
при |
x |
<1 и x ≠ 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x)= |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
при |
x |
≥1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при: а) |
x0 =1; б) x0 = 0; в) |
x0 = −1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
f (x |
−0)= f (1−0)= lim |
= lim |
= lim 1 =1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
x→1−0 |
x |
x→1−0 x |
x→1−0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x0 + 0) |
= f (1 + 0)= lim x2 =1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1+0 |
(1+ 0)=1, следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
f (1−0)= f |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim f (x)=1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
f (x |
−0)= f (−0)= lim |
= lim |
= lim (−1) = −1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
x→ −0 |
x |
x→ −0 −x |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
x→−0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x0 + 0) |
= f (+0)= lim |
= lim |
= lim1 =1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→ +0 |
x→ +0 |
x→+0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
f |
следовательно, lim f (x) |
не |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(−0)≠ f (+0), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существует; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
f (x0 −0)= f (−1 − 0) |
= |
lim |
x2 =1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→−1−0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x + 0)= f (−1+ 0)= |
lim |
x |
= |
lim |
x |
= lim (−1) = −1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
x→ −1+0 |
x |
x→ −1+0 −x |
x→−1+0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
f ( |
− |
1 |
− |
0) |
≠ |
f ( |
− |
1 |
+ |
0), следовательно, |
lim f |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
не существует.
36
3. Пределы можно также вычислять по определению предела, например с использованием языка «ε − δ»-окрестностей, однако это, как правило, требует более основательной математической техники.
Пример. Вычислить xlim→x (x2 + 2x +1), если x0 = −1. |
|||||||||||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||||||||||
Решение. |
Значение |
f (−1)= 0 |
существует. Покажем, что |
||||||||||||||||||||
lim f (x) = 0 . Рассмотрим условие |
f (x) Bε (0) = (0 −ε; 0 + ε), что |
||||||||||||||||||||||
x→−1 |
|||||||||||||||||||||||
равносильно |
x2 + 2x +1+ 0 |
< ε, или |
x +1 |
2 < ε, или |
x +1 |
< |
ε. Пола- |
||||||||||||||||
гая δ = δε = |
ε , имеем |
0 < |
x −(−1) |
< δε |
f (x)− 0 |
< ε. |
Следова- |
||||||||||||||||
тельно, lim f |
(x)= 0 . |
||||||||||||||||||||||
x→−1 |
|||||||||||||||||||||||
4.Использование эквивалентных бесконечно малых функций
впроизведениях и частном. При нахождении пределов бесконечно малые множители, стоящие в числителе и знаменателе, удобно заменять им эквивалентными:
lim |
f (x) p |
(x) |
= lim |
α(x) γ(x) |
, |
||||||||||||||||||||||||||
g (x) |
β(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||
x→a |
x→a |
||||||||||||||||||||||||||||||
если f (x)~ α(x), g (x)~ β(x), p(x) γ(x). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть α(x)→0 при x → a. Тогда: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1. sin α(x)~ α(x). |
2. tg α(x)~ α(x). |
||||||||||||||||||||||||||||||
3. 1 − cos α(x)~ |
α2 (x) |
. |
4. arcsin α(x)~ α(x). |
||||||||||||||||||||||||||||
( |
) |
( |
2 |
( |
( |
)) |
( |
) |
|||||||||||||||||||||||
5. arctg α |
x |
~ α |
x |
) |
. |
x |
~ α |
x |
. |
||||||||||||||||||||||
6. ln 1 + α |
|||||||||||||||||||||||||||||||
7. eα(x) −1 ~ α(x). |
8. n 1 + α(x) −1 ~ |
α(x) |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
n |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Вычислить пределы: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1) lim |
sin 5x |
; 2) lim |
1 + x + x2 −1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
ln (1 + 4x) |
sin 4x |
||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
x→0 |
||||||||||||||||||||||||||||||
37