Файл: Марченко_Высшая математика.pdf

Действия над пределами

Таблица 1.3

x→a

(

)

x→a

(

)

x→a (

(

)

(

))

x→a

(

)

(

)

lim

f (x)

lim f

x

lim g

x

lim

f

x

+ g

x

lim f

x

g

x

x→a g (x)

b

c

b + c

bc

b

, если c ≠ 0

c

b ≠ ∞

∞

∞

∞,

b

= 0

если b ≠ 0

∞

∞

c ≠ ∞

∞

∞,

∞

= ∞

если c ≠ 0

c

0

0

0

0

Неопределен-

0

ность

0

b

0

b

0

b

= ∞ ,

0

если b ≠ 0

0

∞

∞

Неопределен-

0

= 0

ность [0 ∞]

∞

∞

0

∞

Неопределен-

∞

= ∞

ность [∞0]

0

±∞

±∞

Неопределенность

−∞

Неопределен-

[∞ − ∞]

ность

∞

∞

валентные бесконечно малые.

Пример. Найти пределы функций:

1) lim sin 7x

; 2) lim arcsin 7x ; 3) lim1 −cos6x .

x→0 sin 5x

x→0

tg3x

x→0

sin2 8x

Решение.

1) первый способ:

1

sin 7x

sin 7x

0

7x

7x

7

lim

=

= lim

7x

= lim

=

.

sin 5x

0

sin 5x

5x

5

x→0

x→0

5x

x→0

5x

1

ли на него и использовали

первый

замечательный

предел:

lim sin 7x

=1, lim sin 5x =1).

x→0

7x

x→0

5x

Второй способ:

lim

sin 7x

=

0

= lim

7x

=

7

, т. к.

sin 7x ~ 7x ,

sin 5x ~ 5x при x →0;

sin 5x

0

5x

5

x→0

x→0

2) lim

arcsin 7x

=

0

= lim

7x

=

7

,

т. к.

arcsin 7x ~ 7x при

tg3x

3x

3

x→0

0

x→0

x →0 , tg3x ~ 3x ;

1

2

sin2 3x

(3x)2

1

− cos6x

0

2sin

2 3x

3) lim

=

= lim

= lim

(3x)2

=

2

2

sin

8x

sin

8x

sin

2

8x

x→0

0

x→0

x→0

(8x)2

(8x)2

2 9x2

9

1

= lim

64x2

=

(при вычислении предела использовали формулу

32

x→0

Аналогично,

используя

эквивалентные

при x →0 бмф

1−cos6x ~

1 (6x)2, sin8x ~ 8x, получим:

2

1 (6x)2

1

1 −cos6x =

0

36

9

lim

= lim

2

=

2

=

.

2

x→0

sin

2

8x

0

x→0

(8x)

64

32

2. При нахождении

lim

P(x)

отношения двух многочленов

Q(x)

x→a

P(x) и Q(x), если P(a)= Q(a)= 0, следует числитель и знамена-

тель дроби разделить на разность (x − a)

один или несколько раз,

пока не исчезнет неопределенность.

Пример. Вычислить lim

x3

+ x2

− 2

.

4x

2 −5x +1

x→1

Решение. Подставляя вместо x предельное значение x =1, по-

лучим неопределенность

0

. Выделим в числителе и знаменате-

0

ле множитель x −1, для чего числитель разделим на x −1:

x3 + x2 − 2

x −1

x3 − x2

x2 + 2x + 2

2x2 − 2

2x2 − 2x

2x − 2

2x − 2

0

Тогда x3 + x2 − 2= (x −1)(x2 + 2x + 2).

Знаменатель разложим на множители, используя формулу

ax2 +bx + c = a(x − x )(x − x

),

1

2

где

x и

x

– корни уравнения ax2

+bx +c =0, которые находятся

1

2

по следующим формулам:

x1,2

= −b ± D

;

D =b2 −4ac.

2a

x = 5 ±3

,

x

=

1 , x =1.

1,2

8

1

4

2

1

Тогда 4x

2

−5x +1 = 4

(x −1)= (4x −1)(x −1).

x −

4

x3

+ x2 − 2

0

(x −1)(x2 + 2x + 2)

x2

+ 2x + 2

5

.

lim

=

= lim

(4x −1)(x −1)

= lim

=

4x

2

−5x +1

4x −1

3

x→1

0

x→1

x→1

Пример. Вычислить lim

2x +1 −3

.

x→4

x −4

Решение.

сопряженное числителю (

2x +1 +3), получим:

2x +1 −3

0

(

2x +1 −3)( 2x +1 +3)

lim

=

= lim

=

x − 4

(x − 4)( 2x +1 +3)

x→4

0

x→4

= lim

(2x +1−9)

= lim

(2x −8)

=

(x − 4)( 2x +1 +3)

(x − 4)( 2x +1 +3)

x→4

x→4

= lim

2(x − 4)

= lim

2

=

2

=

1

.

(x − 4)( 2x +1 +3)

x→4

x→4

2x +1 +3

3 +3

3

В преобразованиях использовали формулу

(

a − b )(

a + b )= ( a )2 −( b )2 = a −b.

Второй способ:

t2

−1

2x +1 −3

0

2x +1 = t, x =

t −3

lim

=

=

2

= lim

=

x − 4

t

2

−1

x→4

0

x

→ 4,

t → 3

t→3

− 4

2