Файл: со страницы 216 ответ на 5 задачу.pdf

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 7. Нестационарная теплопроводность. Аналитическое описание задач теплопроводности

0 tж t0 , всегда максимален, с течением времени текущий температурный

напор уменьшается от максимального (начального) до нулевого значения при наступлении теплового равновесия.

Безразмерная избыточная температура равна отношению текущего температурного напора к максимальному (начальному) температурному напору:

.0

С течением времени безразмерная избыточная температура уменьшается от единицы до нуля как в процессах нагревания, так и в процессах охлаждения тел.

Критериальное число Био равно отношению термического сопротивления теплопроводности в твердом теле к термическому сопротивлению теплоотдачи между его поверхностью и охлаждающей (нагревающей) жидкостью, характеризует связь между полем температур в твердом теле и условиями те-

Критерий Фурье, или безразмерное время, характеризует скорость изменения температуры в теле:

Нестационарноетемпературноеполевплоской пластине–

решениезадачивбезразмерномвидеметодом разделенияпеременных

Задана тонкая пластина толщиной 2 (рис. 7.2).

В начальный момент ( = 0) температура в пластине распределена равномерно и равна t = t0 = const. Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой tж = const. На обеих поверхностях отвод тепла осуществляется при одинаковом коэффициенте теп-

лоотдачи ( = const) во всем промежутке времени. Отсчет температуры пластины для любого времени будем вести от температуры окружающей среды, т.е.

для температурного напора t – tж = . Изменение

Рис. 7.2

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 7. Нестационарная теплопроводность. Аналитическое описание задач теплопроводности

температуры будет происходить только в направлении оси Ох, поэтому дифференциальное уравнение (7.1) для избыточной температуры примет вид

Решение уравнения (7.2) совместно с условиями (7.3) и (7.4) даст искомую температуру. Так как в уравнении (7.2) равны друг другу производные по разным переменным, то будем искать решение в виде произведения двух функций: f (x, ) (x) ( ). После подстановки и разделения перемен-

ных получаем два уравнения:

( ) ak 2 ( ) 0 ,

(x) k 2 (x) 0 ,

которые легко интегрируются:

( ) C1 exp( ak 2 ),

(x) C2 sin(kx) C3 cos(kx) .

Общее решение уравнения (7.2):

Уравнение (7.5) удовлетворяет исходному уравнению (7.2) при любых

значениях С1, С2, С3 и k, которые следует определить из начальных и граничных условий (7.3) и (7.4).

Подставляя граничные условия (7.4) и решая характеристическое уравнение (например, графически)

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 7. Нестационарная теплопроводность. Аналитическое описание задач теплопроводности

где обозначим k , получим систему уравнений, в которой каждому най-

денному значению корня будет соответствовать свое частное распределение температуры:

Каждое решение удовлетворяет дифференциальному уравнению (7.2) при любых значениях постоянных А1, А2, …, Аn, но ни одно из этих решений не будет соответствовать действительному распределению температуры в начальный момент времени. Однако путем наложения бесконечного числа таких распределений при соответствующем выборе величин Аn можно воспроизвести любую действительную температурную кривую в начальный момент времени.

На основании сказанного общее решение можно представить суммой бесконечного ряда:

Постоянную Аn определим из начальных условий (7.3), применив разложение четной функции в ряд Фурье:

Из уравнения (7.7) следует, что Аn является только функцией корней характеристического уравнения, которые, в свою очередь, являются функцией критерия Био.

Окончательно выражение для температурного поля при охлаждении плоской пластины, позволяющее получить значение температуры в любой точке пластины для любого момента времени, будет иметь вид

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 7. Нестационарная теплопроводность. Аналитическое описание задач теплопроводности

Придадим уравнению (7.7) безразмерную форму ( X x / – безразмер-

Анализрешения. Зависимостьрешения отчислаФурье. Номограммы

Корни характеристического уравнения (7.6) 1, 2, …, n представляют собой ряд возрастающих чисел, поэтому чем больше , тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше критерий Фурье, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением

номера n.

Многочисленные исследования показали, что если число Фурье превышает 0,3, то ряд становится настолько быстросходящимся, что распределение температуры достаточно точно описывается первым членом ряда:

цией критерия Био и может быть заранее рассчитана и табулирована. Кроме того, если рассматривать температуру для определенных значений безразмерной координаты, например, для центра и поверхности пластины (Х = 0 и Х = 1, соответственно), то второй множитель уравнения (7.9) тоже зависит только от числа Bi, поэтому решение может быть представлено в виде

Функции N(Bi) и P(Bi) заранее рассчитаны и представлены в таблицах

в зависимости от числа Bi, а безразмерные избыточные температуры для центра и поверхности пластины построены в виде номограмм. Для этого не-

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 7. Нестационарная теплопроводность. Аналитическое описание задач теплопроводности

обходимо прологарифмировать уравнения (7.10) и (7.11), тогда они будут представлять собой семейство прямых линий:

ln( )X 0 ln N(Bi) 12Fo ; ln( )X 1 ln P(Bi) 12Fo .

Особенностипересечениякасательных крешениюнаповерхностипластины

Из уравнения (7.8) следует, что при охлаждении (нагревании) пластины, для любого момента времени после начального, распределение температуры имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины (Х = 0). Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхности пластины. При этом, для любого момента времени, продолжения касательных к кривым в точках поверхности ( X 1) проходят через две направляющие точки +А и -А, расположенные на расстоянии

X 0 от поверхности пластины, равном X 0 1/ Bi (рис. 7.3).

Для доказательства этого важного свойства рассмотрим температурное поле для произвольного момента времени Fo > 0.

Умножив граничное условие (7.4) при x на / 0 , получим:

В безразмерных переменных будемиметь: / X X 1 Bi X 1. Из рис. 7.3 следует, что

/ X X 1 X 1 / X0 tg .