Файл: со страницы 216 ответ на 5 задачу.pdf

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 7. Нестационарная теплопроводность. Аналитическое описание задач теплопроводности

менных граничных условиях всегда будут проходить через точку А. Сказанное справедливо не только для пластины, но и для цилиндра, шара и т. д.

Зависимостьполятемпературбесконечной пластиныотчислаБио

Доказанное свойство температурных кривых дает возможность определить характер изменения температуры в теле при заданном значении критерия Био. Рассмотрим три случая.

1. Критерий Био стремится к бесконечности (практически Bi > 100). В этом случае температура поверхности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды, в которую помещена пластина. Этот вывод

следует из уравнения X 0 1/ Bi 0 , что означает пересечение касательных

на поверхности пластины. Из определения числа Био получаем, что этот режим реализуется при хороших условиях охлаждения пластины (большой интенсивности отвода тепла от поверхности), т. е. коэффициенте теплоотдачи, стремящемся к бесконечности. В этих условиях процесс охлаждения определяется только физическими свойствами и размерами тела и не зависит от ус-

Температура на оси пластины (Х = 0):

Температура на поверхности пластины должна быть равна нулю, что подтверждается уравнением (7.12) при Х = 1.

Распределение температуры в пластине при Fo > 0 показано на рис. 7.4, а, здесь Fo1 < Fo2 < Fo3 < … <Fon. При Fo > 0,3 ряд (7.12) быстро

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 7. Нестационарная теплопроводность. Аналитическое описание задач теплопроводности

сходится и ошибка не превышает 1%, если отбросить все члены ряда, кроме первого. Тогда распределение температуры на оси пластины принимает вид

рье время, необходимое для прогрева середины пластины до заданной температуры:

2. Критерий Био стремится к нулю (практически Bi < 0,1). В этом случае все коэффициенты членов ряда Dn 0 , поскольку n (n 1) , кроме

Из определения числа Био видно, что этот режим реализуется при малых размерах толщины пластины, при больших значениях коэффициента теплопроводности, при малых значениях коэффициента теплоотдачи.

Рис. 7.4

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 7. Нестационарная теплопроводность. Аналитическое описание задач теплопроводности

В характеристическом уравнении, как и в коэффициенте D1, функцию tg 1 можно заменить через ее аргумент, тогда 1/ 1 1 / Bi. В этом случае уравнение (7.8) принимает вид

При малых Bi температура на поверхности пластины мало чем отличается от температуры на ее оси. Это указывает на то, что температура по толщине пластины распределяется равномерно и кривая температур остается почти параллельной оси Оx для любого момента времени (рис. 7.4, б). Касательные к температурным кривым в точках пересечения с поверхностью должны пересекаться с осью абсцисс в бесконечности: при Bi 0

X 0 1/ Bi .

В рассматриваем случае скорость нагрева и охлаждения тела зависит только от интенсивности теплоотдачи. Иначе говоря, процесс выравнивания температуры в теле происходит существенно интенсивнее, чем отвод тепла с поверхности. Задача становится внешней.

3. Критерий Био находится в интервале 0,1 Bi 100 . В рассматри-

ваемом случае n есть функция Bi, т.е. зависит от толщины пластины. Температурные кривые для любого момента времени будут выглядеть так, как показано на рис. 7.4, в. В этом случае интенсивность процесса охлаждения (нагревания) определяется как внутренним, так и внешним термическими сопротивлениями.

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 7. Нестационарная теплопроводность. Аналитическое описание задач теплопроводности

Контрольныевопросы

1.Приведите примеры периодических нестационарных процессов теплопроводности.

2.Приведите примеры и охарактеризуйте особенности процесса нестационарной теплопроводности при стремлении тела к тепловому равновесию.

3.Запишите дифференциальное уравнение нестационарного процесса теплопроводности без внутренних источников тепла.

4.Поясните метод решения нестационарного уравнения теплопроводности для пластины.

5.Дайте определение критериев Био и Фурье, поясните их физический

смысл.

6.Что такое безразмерная избыточная температура?

7.Запишите решение дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности в безразмерном виде, поясните его структуру.

8.Охарактеризуйте особенности решения дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности в зависимости от числа Фурье.

9.Поясните особенности точки пересечения касательных к решению нестационарного уравнения теплопроводности на поверхности пластины. Как они зависят от числа Био?

10.Как определить время, необходимое для прогрева середины пласти-

ны до заданной температуры в случае Fo > 0,3?

11.В каком случае можно определить температуру центра или поверхности пластины при помощи номограмм?

12.Поясните методику решения характеристического уравнения

ctg( ) / Bi , а также особенности его решения в зависимости от числа Bi.

13.Охарактеризуйте зависимость температурного поля в телах различной формы от величины числа Био.

14.Схематически изобразите распределение избыточной температуры для бесконечной пластины в зависимости от диапазона значений числа Био.

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция8. Бесконечныйцилиндр, шар.

Определениеколичестватеплотытелаконечныхразмеров

Нестационарное температурное поле в сплошном бесконечном цилиндре, в шаре. Анализ решения. Средняя безразмерная избыточная температура, средняя по сечению температура, определение количества теплоты, отданного (полученного) телом в процессе охлаждения (нагревания). Охлаждение (нагревание) тел конечных размеров (параллелепипед, балка прямоугольного сечения, цилиндр конечной длины) – метод перемножения решений.

Нестационарноетемпературноеполе всплошномбесконечномцилиндре, вшаре. Анализрешения

Рассмотрим цилиндр радиусом r0, который отдает тепло окружающей среде через боковую поверхность (рис. 8.1). Коэффициент теплоотдачи = const неизменен на протяжении всего периода охлаждения. Температура среды tж = const постоянна. В начальный момент ( = 0) температура во всех точках цилиндра одинакова. При этих условиях уравнение теплопроводности, записанное для температурного напора, принимает вид

Задача аналогична предыдущей (для пластины) и может быть решена методом разделения переменных. В безразмерной форме значение температуры в любой точке цилиндра для любого момента времени будет иметь вид