ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.06.2025
Просмотров: 1789
Скачиваний: 0
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 8. Бесконечный цилиндр, шар. Определение количества теплоты тела конечных размеров
При расчете средней температуры цилиндра в случае Fo > 0,25 также можно ограничиться одним первым членом ряда:
4 Bi2 |
2 |
2 |
||||||||
exp( |
Fo) M |
(Bi)exp( |
Fo) . |
|||||||
2 |
( 2 |
Bi2 ) |
||||||||
1 |
0 |
1 |
||||||||
1 |
1 |
|||||||||
Функция M0(Bi) может быть заранее рассчитана и затабулирована.
По аналогии с пластиной и цилиндром количество теплоты, воспринимаемое шаром за конечное время 1, определяем из уравнения
Q |
6 |
(sin n n cos n )2 |
2 |
|||||
1 |
exp( n Fo) |
, |
(8.5) |
|||||
Qп |
3 |
n sin n cos n |
||||||
n 1 |
i |
|||||||
где Qп (4/ 3) r03 c (t0 tж) – полное количество теплоты, которое отдает шар за время при охлаждении до температуры среды.
Охлаждение(нагревание) телконечныхразмеров (параллелепипед, балкапрямоугольногосечения, цилиндрконечнойдлины) – методперемножениярешений
Тела конечных размеров – параллелепипеды, прямоугольные стержни и цилиндры – можно рассматривать как тела, образованные пересечением взаимно перпендикулярных: а) трех неограниченных пластин; б) двух неограниченных пластин; в) бесконечного цилиндра и неограниченной пластины. Решение таких задач есть произведение безразмерных температур для тел неограниченных размеров, в результате пересечения которых образовалось рассматриваемое тело. Этот метод в теории теплопроводности носит название теоремы о перемножении решений. Заметим, что теорема о перемножении решений справедлива и в более общем случае, когда коэффициенты теплопроводности различны для разных направлений, а также коэффициенты теплоотдачи на гранях различны.
Определим температуры различных точек и количество теплоты для параллелепипеда, охлаждающегося в среде с постоянной температурой tж = const и постоянным коэффициентом теплоотдачи = const на всех гранях (рис. 8.2). В начальный момент ( = 0) температура во всех точках параллелепипеда одинакова. Параллелепипед с размерами ребер 2 x 2 y 2 z – од-
нородный и изотропный.
Тепломассообмен. Курс лекций |
80 |
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 8. Бесконечный цилиндр, шар. Определение количества теплоты тела конечных размеров
Рис. 8.2
Так как прямоугольный параллелепипед образован пересечением трех взаимно перпендикулярных неограниченных пластин, то решением является произведение трех безразмерных температур:
x y z ,
x |
t(x, ) tж |
F |
x |
|||||||||
t0 |
tж |
x |
x |
|||||||||
t( y, ) t |
ж |
F |
y |
|||||||||
y |
||||||||||||
t0 |
tж |
y |
y |
|||||||||
z |
t(z, ) tж |
F |
z |
|||||||||
t0 |
tж |
z |
z |
|||||||||
,x , a2 Fx ( X , Bix , Fox ) ,
x
,y , a2 Fy (Y , Biy , Foy ) ,
y
,z , a2 Fz (Z , Biz , Foz ) .
z
Общее решение в развернутом виде запишется как
t(x, y, z, ) tж |
t(x, ) tж |
t( y, ) tж |
t(z, ) tж |
. |
||||||||||||||
t t |
ж |
t |
0 |
t |
ж |
t |
0 |
t |
ж |
t |
0 |
t |
ж |
|||||
0 |
||||||||||||||||||
Среднюю безразмерную избыточную температуру для параллелепипеда тоже определяем как произведение средних безразмерных избыточных температур составляющих его пластин:
Тепломассообмен. Курс лекций |
81 |
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 8. Бесконечный цилиндр, шар. Определение количества теплоты тела конечных размеров
t (x, y, z, ) tж |
t (x, ) tж |
t ( y, ) tж |
t (z, ) tж |
. |
|||||||||||||||||
t |
0 |
t |
ж |
t |
0 |
t |
ж |
t |
0 |
t |
ж |
t t |
ж |
||||||||
0 |
|||||||||||||||||||||
Однородный стержень охлаждается в среде с постоянной температурой tж = const и постоянным коэффициентом теплоотдачи = const на его поверхности (рис. 8.3). В начальный момент ( = 0) температура во всех точках стержня одинакова. Поперечное сечение стержня представляет собой прямоугольник размерами 2 x 2 y . Такое тело можно рассматривать как резуль-
тат пересечения двух пластин толщиной 2 x и 2 y , условия однозначности
для которых такие же, как и для образовавшегося стержня. Безразмерное поле температур для такой задачи есть
Рис. 8.3
x |
y , |
||||||||||||||||||||||||
t( y, ) t |
ж |
F |
y |
, |
y |
, |
a |
F (Y , Bi |
, Fo |
) . |
|||||||||||||||
y |
y |
y |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||
t0 |
tж |
y |
y |
y |
|||||||||||||||||||||
y |
|||||||||||||||||||||||||
t(x, ) tж |
F |
x |
, x , a |
F ( X , Bi |
, Fo |
) |
|||||||||||||||||||
x |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||
t0 |
tж |
x |
x |
2 |
x |
||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||
Безразмерная избыточная температура стержня запишется как
t( ) t |
ж |
t( ) |
x |
t |
ж |
t( )y tж |
. |
|||||
t0 |
tж |
t0 |
tж |
t0 tж |
||||||||
Средняя безразмерная избыточная температура стержня
Тепломассообмен. Курс лекций |
82 |
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 8. Бесконечный цилиндр, шар. Определение количества теплоты тела конечных размеров
t ( ) t |
t ( ) |
t |
t ( )y tж |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ж |
x |
ж |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t0 |
tж |
t0 tж |
t0 tж |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Однородный и изотропный цилиндр охлаж- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дается |
в |
среде |
с |
постоянной температурой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tж = const и постоянным коэффициентом теплоот- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дачи = const на его боковой поверхности и осно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ваниях (рис. 8.4). В начальный момент ( = 0) все |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки цилиндра имеют одинаковую температуру. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Диаметр цилиндра равен 2r0 , |
длина l 2 x . Необ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ходимо найти распределение температуры в цилин- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дре для любого момента времени, а также среднюю |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
температуру как функцию времени для заданных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
условий однозначности. Конечный цилиндр можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рассматривать как результат пересечения безгра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ничных цилиндра диаметром 2r0 и пластины тол- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рис. 8.4 |
щиной 2 x , |
следовательно, безразмерную темпера- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
турудлятакоготеламожнозаписатькак |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
r |
(8.6) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t(x, ) tж |
F |
x |
, |
x , a |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t0 tж |
x |
x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t(r, ) tж |
F |
r |
, r0 |
, |
a |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
t |
0 |
t |
ж |
r |
r |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определяющими размерами |
являются |
половина |
высоты цилиндра |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
l /2 |
и его радиус r0 , тогда безразмерная избыточная температура цилиндра |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t( ) tж |
t( )x tж |
t( )r tж |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
0 |
t |
ж |
t |
t |
ж |
t |
t |
ж |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Средняя безразмерная избыточная температура цилиндра |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t ( ) tж |
t ( )x tж |
t ( )r |
tж |
. |
(8.7) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
0 |
t |
ж |
t t |
ж |
t |
t |
ж |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Скорость распространения тепла в телах зависит от отношения поверхности к их объему. Чем больше это отношение, тем больше скорость протекания процесса.
Тепломассообмен. Курс лекций |
83 |
МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Лекция 8. Бесконечный цилиндр, шар. Определение количества теплоты тела конечных размеров
Контрольныевопросы
1.Запишите формулы для определения чисел Био и Фурье для цилиндра и шара.
2.Запишите уравнение теплопроводности для цилиндра и для шара.
3.Запишите решение нестационарного уравнения теплопроводности для цилиндра и шара, поясните его структуру.
4.В каком случае и почему для цилиндра и шара безразмерную избыточную температуру можно рассчитать, воспользовавшись только первым членом ряда?
5.Что общего и в чем заключается различие в решениях нестационарного уравнения теплопроводности для пластины, цилиндра и шара?
6.Можно ли температуры центра и поверхности цилиндра и шара определять по номограммам? Если можно, то в каком случае и почему?
7.Запишите характеристические уравнения для цилиндра и шара.
8.Сравните значения температур центра цилиндра и шара одинакового радиуса для произвольного момента времени.
9.Поясните методику определения количества теплоты, отданного (полученного) телами в процессе охлаждения (нагревания).
10.Дайте определения средней безразмерной избыточной температуры, средней по сечению температуры тела.
11.Поясните зависимость средней безразмерной избыточной температуры тела от чисел Био и Фурье.
12.Как определяется полное количество теплоты, отданное (полученное) телом при его охлаждении (нагревании) до температуры среды?
13.На основании какой теоремы определяются температуры тел конечных размеров? Приведите ее формулировку.
14.Пересечением каких бесконечных тел образованы параллелепипед, бесконечная балка прямоугольного сечения и цилиндр конечной длины?
15.В каком случае можно определять температуру тел конечных размеров при помощи номограмм? Поясните методику.
16.Как определяется количество теплоты, отданное (полученное) телами конечных размеров в процессе охлаждения (нагревания)?
17.Поясните зависимость скорости распространения тепла для тел различной формы от отношения поверхности к их объему.
18.Центр куба или шара с одинаковым характерным линейным разме-
ром l0 быстрее прогреется до заданной температуры?
Тепломассообмен. Курс лекций |
84 |