Файл: со страницы 216 ответ на 5 задачу.pdf

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция9. Регулярныйрежимохлаждениятел

Стадии процесса охлаждения (нагревания) тел, их характеристики. Регулярный режим охлаждения тел. Темп охлаждения. Применение метода регулярного режима охлаждения тел для экспериментального определения теплофизических свойств веществ.

Стадиипроцессаохлаждения(нагревания) тел, иххарактеристики

Анализ полученных решений для тел различной геометрической формы показывает, что все они имеют одинаковую структуру, т.е. представляют собой сумму бесконечного ряда, члены которого расположены по быстро убывающим экспоненциальным функциям [18]. Например, для безграничной

пластины при охлаждении ее в среде с постоянной температурой tж и постоянным коэффициентом теплоотдачи на ее поверхностях получено:

В этом уравнении Аn – постоянный коэффициент, свой для каждого члена ряда (не зависящий ни от координат, ни от времени), найден из начальных условий.

Множитель cos n x / является функцией только координаты x, и его можно обозначить Un. Величина экспоненты будет убывать пропорционально времени . Комплекс 2n a / 2 представляет постоянное вещественное число,

которое можно обозначить mn, причем mn будет изменяться в зависимости от номера индекса так же, как n, т.е.

С учетом сказанного выражение для избыточной температуры для пластины можно представить как

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 9. Регулярный режим охлаждения тел

Для тел других геометрических форм температурное поле также будет описываться уравнением вида (9.2). Специфика геометрической формы учитывается различным видом множителей Аn и Un. Для тела одной и той же геометрической формы различным начальным распределениям температур будут соответствовать разные совокупности чисел Аn.

При малых значениях времени от = 0 до = 1 распределение температуры внутри тела и скорость изменения во времени температуры в отдельных точках тела зависят от особенностей начального распределения температур (рис. 9.1). В этих условиях поле температур будет определяться не только первым, но и последующими членами ряда (9.2). Этот первый период охлаждения, при котором скорость изменения температуры внутри тела зависит от вида начального распределения температур, называют неупорядоченной стадией процесса охлаждения (нагревания). Благодаря неравенству (9.1) с увеличением времени последующие члены ряда (9.2) будут быстро убывать, т. е. ряд становится быстросходящимся.

С некоторого момента времени > начальные условия начинают играть второстепенную роль и процесс полностью определяется только условиями охлаждения на границе тела и среды, физическими свойствами тела и его геометрической формой и размерами. Температурное поле описывается первым членом ряда, т. е.

Это соотношение показывает, что относительное изменение температуры как в пространстве, так и во времени не зависит от начального распределения температур. Логарифмируя последнее уравнение и опуская индексы, получаем

ln ln(AU) m

или

Из этого уравнения следует, что натуральный логарифм избыточной температуры для всех точек тела изменяется во времени по линейному закону. Графическая зависимость будет иметь вид прямой. При длительном охлаждении ( или Fo ) все точки тела в конце концов принимают одинаковую температуру, равную температуре окружающей среды (наступило стационарное состояние). Таким образом, весь процесс охлаждения можно разделить на три стадии.

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 9. Регулярный режим охлаждения тел

1-я стадия

2-я стадия

Рис. 9.1

Первая стадия неупорядоченного режима характеризуется большим влиянием начального распределения температуры, и зависимость между температурным напором и временем описывается уравнением (9.2).

Вторая стадия охлаждения называется регулярным режимом и описывается уравнением (9.3). В этой стадии поле избыточной температуры автомодельно по времени, т. е. остается подобным при изменении времени.

Третья стадия охлаждения соответствует стационарному режиму, когда температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды (тепловое равновесие).

Регулярныйрежимохлаждениятел. Темпохлаждения

После дифференцирования уравнения (9.4) по времени получаем:

1

m const . (9.5)

Влевой стороне уравнения (9.5) стоит выражение для относительной скорости изменения температуры, и оно равняется постоянной величине m, не зависящей ни от координат, ни от времени.

Величина m имеет размерность 1/с и называется темпом охлаждения. При наступлении регулярного режима темп охлаждения не зависит ни от координат, ни от времени и является постоянной величиной для всех точек те-

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 9. Регулярный режим охлаждения тел

ла. Темп охлаждения характеризует относительную скорость изменения температуры в теле и зависит только от физических свойств тела, процесса охлаждения на его поверхности, геометрической формы и размеров тела.

Итак, регулярный режим охлаждения (нагревания) тел характеризуется тем, что изменение температурного поля во времени описывается простой экспонентой и относительная скорость охлаждения m для всех точек тела остается величиной постоянной, не зависящей ни от координат, ни от времени.

Измерения темпа регулярного режима обычно проводят в следующем порядке. Тело из испытуемого материала помещается в термостат, в котором поддерживается постоянная температура жидкости, например, жидкость приводится в движение винтом и интенсивно омывает поверхность тела. По результатам измерений избыточной температуры от времени строится зависимость в полулогарифмических координатах, как на рис. 9.1. По графику определяется участок линейной зависимости логарифма избыточной температуры от времени, из которого следует, что темп охлаждения можно определить как тангенс угла наклона прямой в стадии регулярного режима по следующему выражению:

Следует отметить, что данный метод определения величины темпа охлаждения пригоден для веществ с низкой теплопроводностью

( < 0,5 Вт/(м К)). При проведении опыта необходимо обеспечить условия Bi 100, при этом в термостатах коэффициент теплоотдачи обычно не превышает 200 Вт/(м2 К), а размеры тела не превышают 25 мм. Это обстоятельст-

во ограничивает использование регулярного режима для измерения коэффициента температуропроводности в лабораторных условиях.

Выражение для зависимости темпа охлаждения от физических свойств тела, его геометрической формы и размеров, а также условий теплообмена на поверхности тела можно найти из анализа уравнения теплового баланса.

Изменение внутренней энергии (энтальпии) тела

ра, оС; – время, с.

С другой стороны, за тот же промежуток времени все тепло должно быть отведено с поверхности тела в окружающую среду за счет теплоотдачи:

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 9. Регулярный режим охлаждения тел

разделим обе части на среднюю по объему избыточную температуру, обозначим cV C (полная теплоемкость, Дж/оС), получим:

1 v F F .v v C

В левой части этого выражения относительная скорость охлаждения m, 1/с, и, если обозначить отношение средней по поверхности к средней по объ-

ему температуре F , тогда

v

Первая теорема Кондратьева. Относительная скорость охлаждения (темп охлаждения) однородного и изотропного тела при конечном значении коэффициента теплоотдачи пропорциональна коэффициенту теплоотдачи на поверхности тела и обратно пропорциональна его полной теплоемкости.

равномерности распределения температуры в теле и зависит от условий охлаждения тела. Для выяснения характера зависимости от критерия Bi, учитывающего условия протекания процесса на поверхности, рассмотрим два предельных случая: а) критерий Био стремится к нулю (практически

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 9. Регулярный режим охлаждения тел

Bi < 0,1) (рис. 7.4, б). Температуры по объему и по поверхности равны, следовательно, 1; б) критерий Био стремится к бесконечности (практически

Bi > 100) (рис. 7.4, а). Задача внутренняя, температура поверхности равна температуре окружающей среды, температурный напор на поверхности равен нулю, следовательно, 0 . Получаем, что значение коэффициента неравномерности распределения температуры в теле меняется от нуля до единицы.

Кроме того, существует еще один предельный случай.

Вторая теорема Кондратьева. При коэффициенте теплоотдачи, стремящемся к бесконечности, темп охлаждения становится прямо пропорционален коэффициенту температуропроводности тела:

Коэффициент пропорциональности K зависит только от геометрической формы и размеров тела. Докажем это на примере безграничной пластины, толщина которой равна . Напомним, что

m 2na / 2 ,

откуда

Решение характеристического уравнения ctg( ) Bi имеет предель-

ные случаи: если Bi , то n (2n 1) 2 , предельное значение которого

равно /2; если Bi 0 , то n (n 1) , предельное значение которого рав-

но нулю. Следовательно, величина для пластины во всем диапазоне значений чисел Био изменяется от нуля до своего предельного значения, равного/2. Для тел другой геометрической формы имеют место свои пределы изме-

нения величины .

Так как при Bi (практически Bi > 100) при охлаждении беско-

нечной однородной пластины можно принять = /2, то из уравнения (9.10) следует:

тогда, сравнивая выражения (9.9) и (9.11), получаем уравнение для коэффициента пропорциональности K: