Файл: Матан.docx

Пусть нам дана произвольная система в первое уравнение которой входит . Вычитая из последующих первое уравнение с подходящим коэффициентом, уничтожимво всех уравнениях системы, кроме первого. Уравнения преобразованной системы, начиная со второго образуют подсистему возникшей системы число неизвестных, в которой и число неизвестных и число уравнений меньше, чем в исходной системе. Дальше по той же схеме преобразуются уравнения этой уменьшенной подсистемы. После некоторого количества таких этапов приходим к ступенчатой системе. Преобразования второго типа используются например тогда, когда в первое уравнение не входит первое неизвестное.

из третьего мы вычитаем второе с коэффициентом 1.

↑ назад в содержание ↑

(32)81.Как по Гауссу решается ступенчатая линейная система? Пример.

Покажем, как решать ступенчатые системы

Вначале рассмотрим 2 примера: (двойные скобки нигде ставить не нужно)

X₁ = 10 – 1 – 3 – 4 = 2	Решаем эту систему снизу вверх
X₂ = 2 + 3 – 4 = 1
X₃ = 11 – 8 = 3
X₄ = 4

x₁= - t₄ – (- t₂ -2 - t₁) - t₃ - t₂ – (2 - t₁) - t₁ ;

x₂= t₄ ;

x₃= - t₂ -2 - t₁ ;

x₄= t₃ ; решаем эту систему снизу вверх

x₅= t₂ ;

x₆= 2 - t₁ ;

x₇= t₁ ;

Как и в рассмотренных примерах, ступенчатые системы решаются «снизу вверх», при этом неизвестные, которыми «открываются» уравнения, называются главными, а все остальные, свободными. Переход к очередному уравнению системы происходит подставлением всех значений известных до этого, присвоении неопределённым до этого свободным от этого независимых параметрических значений и вычисление значения главного переменного этого уравнения.

Процедура Гаусса решения ступенчатых систем показывает, что общее решение ступенчатой системы с r уравнениями и n переменных зависит от n – r, это число свободных неизвестных параметров

↑ назад в содержание ↑

(33)82.Как устроено множество решений линейной системы уравнений? Примеры.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь — количество уравнений, а — количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными^[1]. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[2].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c₁⁽¹⁾ = c₁⁽²⁾, c₂⁽¹⁾ = c₂⁽²⁾, …, c_n⁽¹⁾ = c_n⁽²⁾.

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

↑ назад в содержание ↑

(34)83.Что такое главные и свободные неизвестные системы? Примеры.

Что такое главные и свободные неизвестные системы?

Начнем с того, что же называется ступенчатой системой, потому что именно там используется главные и свободные неизвестные системы. (это так, на случай если вдруг спросит)

Ступенчатой системой называют систему, в которой 1-ый отличный от нуля коэффициент каждого следующего уровня расположен правее коэффициента предыдущего уровня.

Главными неизвестными системы называют такие неизвестные, которые в строчке системы стоят левее всех и их нельзя заменить какими бы то ни было параметрами.

Свободными неизвестными системы называют неизвестные, которые стоят(или могут стоять) после главных неизвестных и могут быть заменены параметрами.

Примеры:

Свободные члены мы можем заменить параметрами. Во всех примерах лучше начинать решать систему снизу вверх. Итак, в 3-ей строчке нет свободных членов, а значит нет и параметров. Во 2-ой строчке тоже нет свободных членов, т.к из 3-ей строки мы подставляем значение Х4 во 2-ую строку, и поэтому здесь тоже нет параметров. А вот в 1-ой строчке свободный член есть, это Х3. Поэтому Х3 следует заменить параметром t (условное обозначение для параметров; если их несколько, то обозначаются они t1, t2, t3, ect).

↑ назад в содержание ↑

(35)84.Что такое прямоугольные и квадратные матрицы? Примеры.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.

aij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

Примеры:

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

↑ назад в содержание ↑

(36)85.Что такое линейные операции над матрицами? Примеры.

Во всех случаях, когда вводятся новые математические объекты, необходимо договариваться о правилах действийнад ними, а также определить - какие объекты считаются равнымимежду собой.