Файл: лекции 2-й семестр.doc

Переменные в моделях могут быть переменными состояния, скорости, роста, вспомогательными и управляющими.

Переменные состояния определяют или помогают определить состояние системы в любой момент времени (фазовые переменные). Типичным примером может служить, например, объем продаж и прибыль. Переменные состояния должны поддаваться измерению и представлять интерес для исследования.

Переменные скорости (роста) - характеристики, задающие процесс, который протекает в системе в заданный момент времени. Данный процесс можно квалифицировать либо как преобразование, либо как перемещение.

Вспомогательные переменные способствуют более глубокому пониманию объекта и в отдельных случаях упрощают сопоставление результатов наблюдения. Это, как правило, относительные показатели.

Управляющие переменные - входы модели, значения которых изменяются во времени независимо от поведения исследуемого объекта. Рост объема производства - результат управления со стороны внешней среды, воздействие которой на определенных стадиях может рассматриваться как постоянная величина. Управляющую переменную можно представить как функцию от времени.

Параметры и константы - это не зависящие от времени количественные показатели и коэффициенты, включаемые в математическую модель. Под константой понимают численную величину, имеющую надежно и точно вычисленное значение, которое остается неизменным при варьировании условий эксперимента, а также в тех случаях, когда модель используется для проверки различных гипотез или описания различных компонентов системы.

Термин “параметр” обычно относится к характеристикам, численные значения которых отличаются меньшей определенностью по сравнению с константами, но, тем не менее, остаются неизменными на протяжении исследования модели. Параметры подвержены влиянию условий эксперимента и могут иметь приближенное значение.

Построение математической модели системы включает несколько этапов.

1. Определяется объект исследования.

2. Формулируется цель исследования.

3. В рассматриваемом экономическом объекте выделяются структурные и функциональные элементы и выделяются наиболее существенные качественные характеристики этих элементов, влияющие на достижение поставленной цели.

4. Вводятся символические обозначения для учитываемых характеристик экономического объекта. Определяется, какие из них будут рассматриваться как эндогенные, а какие как экзогенные; какие как зависимые величины, а какие как независимые; какие как неизвестные (искомые), а какие как известные.

5. Формализуются взаимосвязи между определенными параметрами модели, т.е. строится собственно экономико-математическая модель (ЭММ).

6. Проводятся расчеты по модели и анализируются результаты полученных расчетов.

7. Если результаты оказываются неудовлетворительными с точки зрения неадекватности отображения моделируемого процесса или явления, то происходит возврат к одному из предшествующих пунктов и процесс повторяется.

Теперь коротко охарактеризуем методы, которые используются для анализа процесса управления инновационными проектами.

В статистическом анализе производится обработка некоторой случайной выборки, под которой понимаются результаты N последовательных и независимых экспериментов со случайной величиной или событием. Выборка должна быть состоятельной.

Используется для исследования процессов и объектов по результатам массовых экспериментов со случайными величинами или событиями.

Наиболее употребительные методы: регрессионный анализ, корреляционный анализ, дисперсионный анализ, ковариационный анализ, анализ временных рядов, метод главных компонентов, факторный анализ.

В практической деятельности регрессионный анализ часто используется для создания так называемой эмпирической модели, когда, обрабатывая результаты наблюдений (или характеристики существующих систем), получают регрессионную модель и используют ее для оценки перспективных систем или поведения системы при гипотетических условиях.

Точность и надежность получаемых оценок зависят от числа наблюдений и расположения прогностических значений x_jотносительно базовых (т.е. известных на некоторый момент времени x_j⁽⁰⁾). Чем больше разность, тем меньше точность прогноза.

Корреляционный анализ используется для определения степени линейной зависимости между случайными величинами.

Дисперсионный анализ используется для проверки статистических гипотез о влиянии на показатели качественных факторов, т.е. факторов, не поддающихся количественному измерению (организация производства). В этом заключается его отличие от регрессионного анализа, в котором факторы выступают как параметры, имеющие количественную меру (например, затраты на производство).

Ковариационный анализ используется для создания и изучения вероятностных моделей процессов, в которых присутствуют одновременно как количественные, так и качественные факторы, т.е. он объединяет регрессионные и дисперсионные методы.

Анализ временных рядов используется при исследовании дискретного случайного процесса, протекающего на интервале времени Т.

Результаты экспериментов или наблюдений, полученные на данном интервале, представляются в виде временного ряда, каждое значение Y_iкоторого включает детерминированную f(t) и случайную z(t) составляющие:

Y_i=f(t) +z(t).

Детерминированная составляющая описывает влияние детерминированных факторов в момент времени t, влияние же множества случайных факторов описывает случайная составляющая.

С помощью представления случайного процесса в виде временных рядов можно исследовать динамику этого процесса, выделить факторы, существенным образом влияющие на показатели и определить периодичность их максимального воздействия, провести интегральный или точечный прогноз показателя Y на некоторый промежуток времени t.

Метод главных компонентов используется при рассмотрении некоторого множества случайных значений показателей Y_i, i=1,...,k в целях определения общих для них факторов (компонентов), от которых они все зависят. Степень зависимости i-го показателя от j-го компонента отражается величиной a_ij, называемой нагрузкой i-го показателя на j-ый компонент.

Модель главных компонентов показывает, что и в какой степени определяет исследуемые показатели, а также объясняет связи между ними.

Факторный анализ по своей сути совпадает с методом главных компонентов, однако позволяет представить показатели через меньшее количество факторов (компонентов), поэтому используется при исследовании сложных систем управления с большим числом показателей и сложными взаимосвязями между ними.

Следующая большая группа методов - методы оптимизации при исследовании ИП.

Синтез методами безусловной оптимизации. Сущность безусловной оптимизации состоит в поиске минимума функции Y = f(x) путем многократных вычислений при различных значениях параметров x = {x_k}, k = 0,1,... причем на каждом k-м шаге вычислений контролируют выполнение условий f(x^(k+1))f(x^(k)), которые должны привести к минимальному значению функции.

Основные трудности применения заключаются в определении шага изменения параметра x^(k), направления этого изменения и начального приближения x⁽⁰⁾.

Область применения. Методы безусловной оптимизации используются для однокритериальной оптимизации детерминированных функций при отсутствии ограничений на саму функцию и ее параметры.

Методы многокритериальной оптимизации используются в задачах многоцелевого характера, когда предназначение системы может быть реализовано лишь при достижении нескольких целей.

В многокритериальных задачах, как правило, большинство требований к улучшению значений используемых показателей противоречат друг другу. В таком случае говорят об антагонизме целей, и основной задачей становится поиск правила, удовлетворяющего все цели с помощью компромиссного решения.

Все существующие методы многокритериальной оптимизации делятся на две группы. К первой относятся методы, в которых количественно или качественно оценивается степень важности каждого показателя для достижения предназначения системы управления в целом.

Это позволяет создавать некоторый обобщенный показатель и описывать критерий уже относительно него, т.е. осуществляется сведение многокритериальной задачи к однокритериальной, методы решения которой хорошо известны.

Во второй группе методов осуществляется поиск решения на всем пространстве критериев путем сужения области возможных решений. Из суженной области возможных решений субъективно выбирается одно.

Методы математического программирования относятся к численным методам поиска оптимальных решений, которые позволяют найти решение только для конкретных значений параметров. Содержание математического программирования составляют теория и методы решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).

К методам математического программирования относятся методы линейного, нелинейного, дискретного, стохастического и динамического программирования.

Линейное программирование используется в случае, когда функции эффективности и ограничения линейны. Идея: задается некоторое неоптимальное решение (начальный план), а затем оптимальное решение находится путем изменения начального плана в направлении приближения к оптимальному. Линейное программирование является наиболее разработанной ветвью математического программирования.

При нелинейном характере хотя бы одного компонента математической модели (целевой функции или ограничений) применяются методы нелинейного программирования.

Некоторые математические модели могут содержать условие дискретности параметров (например, по своей физической сущности параметры должны быть только целыми числами - производимые автомобили). Решение таких задач осуществляется с помощью методов дискретного (целочисленного) программирования.

Отыскание решений в операциях, которые носят многоэтапный характер, проводится с помощью методов динамического программирования. Сущность метода состоит в отыскании оптимального решения не за все этапы одновременно, а последовательно от этапа к этапу; оптимизация каждого этапа проводится с учетом всех последующих этапов (передаточные функции).

Если операция носит случайный характер и приходится иметь дело со случайными величинами и функциями, то для ее исследования используются методы стохастического программирования.

Исследование процесса управления ИП можно эффективно проводить с использованием следующих математических теорий: теории принятия решений, теории массового обслуживания, теории игр.

Принятие решений является одним из основных этапов процесса управления в организационных системах и представляет собой выбор одной из альтернативных стратегий или способов действий, направленных на достижение цели. Теория принятия решений используется при необходимости сделать выбор варианта действий в условиях риска и (или) наличия неопределенности. Такие условия возникают, если исходная информация выражается через вероятностные характеристики (в таком случае говорят о принятии решения в условиях риска) либо исходные данные заданы неопределенно, например, интервалами изменения или вообще только названием. В п. 7.6 мы подробно рассмотрим подобные ситуации, возникающие в процесс управления ИП.

Теория массового обслуживания используется для исследования систем управления, в которых имеется необходимость пребывать в состоянии ожидания. Это является следствием вероятностного характера возникновения потребности в обслуживании и разброса показателей соответствующих систем. В таких случаях исследуемую систему представляют в виде системы массового обслуживания (СМО). В гл. 9 такие подходы будут использованы при помтроении имитационных моделей ИП.

Игровые задачи управления предполагают участие в активном воздействии на объект управления двух сторон или игроков: управляющей системы, определяющей состояние объекта, обеспечивающее эффективное управление, и среды, формирующей воздействие, ухудшающее эффективность управления. Подобные ситуации, когда игроки преследуют прямо противоположные интересы, называются конфликтными ситуациями.

В случае, когда задача предназначена для принятия одного решения, то она сводится к задаче линейного программирования и результат отыскивается с помощью его методов.

Если же речь идет о многократно повторяемой ситуации, то используются численные методы, где игроки разыгрывают несколько партий и цена игры определяется средним выигрышем.

Если цели не совпадают, то математическая модель становится гораздо сложнее и получить четкие рекомендации по оптимальному действию сторон становится значительно труднее.