Файл: Лавриненко О.Ю. - Алгоритми та програмні засоби фільтрації і стиснення сигналів в ТКС.pdf

51 

j

T

j

j

T

j

j

d

F

c

E

c







2

2

1







, 

(2.26) 

де 

T

j

H

E



 и 

T

j

G

F



. 

На  рис.  2.3.  представлена  блок-схема  одного  кроку  ітераційної  процедури 

субполосового  вейвлет-аналізу  та  синтезу  сигналу  по  його  коефіцієнтам 

розкладання. Згідно рис. 2.3 сигнал рівня j = 0 розкладається на два сигналу рівня j = 

1.  Дозвіл  сигналу,  що  є  мірою  кількості  детальної  інформації  в  сигналі,  змінюється 

за  рахунок  фільтрації  сигналу,  а  масштаб  змінюється  за  рахунок  децимації  та 

інтерполяції. Децимація відповідає зниженню частоти дискретизації, або видаленню 

деяких  відліків  з  сигналу.  Наприклад,  децимація  в  два  рази  означає  видалення 

половини  відліків,  тобто  з  сигналу  віддаляється  кожен  другий  відлік.  Інтерполяція 

відповідає  збільшенню  частоти  дискретизації  сигналу  шляхом  додавання  нових 

відліків  між  існуючими.  Звичайно  як  нових  відліків  використовується  нуль. 

Наприклад, інтерполяція в два рази означає вставку нулів між кожними отсчетами. 

Слід  пам'ятати,  що  операції  децимації  (проріджування)  сигналу  і  інтерполяція  в  2 

рази, позначені символами 



 і 



 відповідно, виконуються в матрицях H, G, E і F. У 

нижній  частині  схеми  (рис.3)  виконується  низькочастотна  фільтрація.  У  результаті 

виходить  деяка  апроксимація  сигналу,  позбавлена  деталей  -  низькочастотна 

субполоса.  У  верхній  частині  схеми  виділяється  високочастотна  субполоса.  Далі, 

дискретне вейвлет-перетворення виходить шляхом рекурсивного застосування даної 

процедури  до  низькочастотної  частини.  Послідовний  розподіл  субполос  тільки 

низькочастотних фільтрів обумовлено тим фактом, що саме низькочастотна область 

несе  більше  інформації,  ніж  високочастотна  (уточнююча)  область.  Дискретне 

вейвлет- перетворення вихідного сигналу виходить шляхом об'єднання вейвлетного 

коефіцієнтів  усіх  рівнів  перетворення  і  приєднання  до  них  скейлінгових 

коефіцієнтів останнього рівня. У цьому випадку число коефіцієнтів дорівнює числу 

відліків у вихідному сигналі. Загальне число доступних масштабів одно 

N

2

log

. 

52 

Рис. 2.3. Блок-схема одного кроку ітераційної процедури смугового вейвлет-аналізу 

та синтезу сигналу на основі вейвлет-фільтрації 

Число  операцій  множення,  необхідне  для  обчислення  всіх  коефіцієнтів 

дискретного  вейвлет-перетворення  для  масиву  даних  N  і  довжини  векторів  h  і  g, 

рівний  L,  буде  2LN.  Стільки  ж  операцій  потрібно  виконати,  щоб  відновити  або 

обчислити  всі  спектральні  компоненти.  Отже,  для  аналізу  -  синтезу  сигналу  s(t)  в 

вейвлетного  базисі  необхідно  виконати  4LN  операцій.  Число  ж  операцій 

комплексного множення для ШПФ одно Nlog

2

N,  що  порівнянно  або  навіть  більше, 

ніж у випадку дискретного вейвлет-перетворення. 

Інтерпретація коефіцієнтів дискретного вейвлет-перетворення дещо складніше, 

ніж коефіцієнтів Фур'є. Якщо аналізований сигнал дискретизирован на частоті 8 кГц 

і  складається  з  256  відліків,  то  верхня  частота  сигналу  4  кГц.  Тоді  коефіцієнти 

першого  рівня  розкладання  (128)  займають  смугу  частот  [2.0,  4.0]  кГц.  Вейвлет-

коефіцієнти  другого  рівня  (64)  «відповідають»  за  смугу  частот  [1.0,  2.0]  кГц. Вони 

відображаються  перед  вейвлет-коефіцієнтами  першого  рівня.  Процедура 

повторюється  до  тих  пір,  поки  не  залишиться  1  вейвлет-коефіцієнт  і  1  скейлинг-

кеоффіціент  на  9  рівні.  Всього  виходить  (1+1+2+4+8+16+32+64+128)  =  256 

коефіцієнтів.  Тобто,  число  коефіцієнтів  дорівнює  числу  відліків  у  вихідному 

сигналі.  Якщо  основна  енергія  сигналу  була  зосереджена  біля  частоти  1.0  кГц,  то 

вейвлет-коефіцієнти  другого  рівня  будуть  великими,  а  вейвлет-коефіцієнтами 

першого рівня можна знехтувати. 

G

2  



H

2  



c ( n )

+

2  



E

2  



F

c ( n )

~

53 

2.8. Вейвлет-функція Добеши 

Звичайно в якості параметра, що визначає вибір виду материнського  вейвлета, 

виступає  зовнішня  схожість  виду  досліджуваного  сигналу  і  функції  перетворення. 

Виходячи  з  цього  в  якості  материнської  вейвлет-функції  використані  вейвлети 

Добеши.  

Це один з найвідоміших вейвлетів і його основні властивості такі: 

1)  функції  мають  кінцеве  число  нульових  значень,  тобто  система  вейвлетов 

Добеши має властивості гладкості і виключення моментів; 

2) функції мають властивості компактності носія (швидко наростають і швидко 

спадають)  і  ортогональності,  що  обумовлює  можливість  точного  відновлення 

довільного сигналу; 

3)  вейвлети  мають  як  вейвлет-функцію,  так  і  скейлинг-функцію,  що  робить 

можливим  кратномасштабний  і  швидкий  вейвлет-аналіз.  Те,  що  вейвлети  Добеши 

мають  властивість  виключати  моменти,  означає,  що  вони  добре  підійдуть  для 

стиснення  сигналів,  які  мають  великі  гладкі  області.  Скейлінг  –  функції 

j

k ,



  і 

вейвлет-функції 

j

k ,



 сімейства Добеши задовольняють умовам: 





















0

,

,

0

,

,

,

,

,

l

k

j

k

l

k

j

k









(2.27) 

при 

l

j



,  де 











dt

t

v

t

u

v

u

)

(

)

(

)

,

(

  -  скалярний  добуток  двох  функцій  u(t)  і  v(t).  Це 

означає,  що  функції  в  однойменному  масштабі  і  в  різних  масштабах  є 

ортогональними. Крім того, ці функції також задовольняють рівності:  





0

,

,

,



j

k

j

k





,   

(2.28) 

при  всіх 

j

, 

l

.  Зауважимо,  що  властивість  ортогональності  дозволяє  отримувати 

незалежну  інформацію  на  різних  масштабах,  а  нормованих  забезпечує  збереження 

величини інформації на різних етапах перетворення. 

Серед  недоліків  можна  відзначити  несиметричність  вейвлета  Добеши.  У 

завданнях обробки мови і звуку в силу особливостей слухового сприйняття людини 

54 

вимоги,  що  накладаються  на  форму  спектрів  вейвлет-функції,  досить  високі,  що 

обумовлює  використання  великого  числа  нульових  моментів  (15-20).  Вейвлети 

Добеши довжиною  L мають М =  L/2  нульових моментів. Однак слід пам'ятати, що 

число нульових моментів визначає тривалість вейвлет-функцій і значить, швидка дія 

алгоритму  обчислення  вейвлет-перетворення.  Слід  зазначити,  що  на  відміну  від 

вейвлет-функцій  Добеши,  вироджені  моменти  скейлинг-функцій  Добеши  не  мають 

нульових значень. 

У  класичній  конструкції  Добеши  довжина  фільтрів  L  =  2М,  а  кількість 

нульових моментів М. Вейвлети сімейства Добеши позначаються як dbp, де p = М - 

порядок;  db  -  Daubechies  (Інгрід  Добеши,  вперше  запропонувала  ортогональні 

вейвлети,  зосереджені  на  кінцевому  інтервалі  часу).  Всі  вейвлет-функції  Добеши 

мають компактний носій. Прикладами вейвлетів Добеши з одним і двома нульовими 

моментами є функції Добеши 1-го порядку db1 (М = 1) і 2-го порядку db2 (М = 2), 

тобто 





0

)

( dt

t



 і 





0

)

( dt

t

t



. Серед вейвлетів з компактним носієм властивістю 

симетричності володіють лише функції Хаара (функції Добеши db1). 

Обчислення  значень  коефіцієнтів,  складових  матриці  H  і  G,  засноване  на 

використанні умови ортогональності та рівняння нульових моментів відповідно: 

















l

k

l

l

k

k

h

h

0

,

0

,

0

,

1

   і   

0





l

l

p

l

h

s

,   

M

p





0

,   

(2.29) 

де 2М - довжина скейлинг-фільтра і вейвлет-фільтра. 

Зрушення  масштабуючих  і  вейвлетних  функцій  утворюють  ортонормований 

базис  простору,  тобто  при  попарном  перемножуванні  рядків  матриці  перетворення 

отримуємо  нуль,  а  при  множенні  рядка  на  саму  себе  -  одиницю.  Властивість 

ортонормірованності  базису  означає,  що  матриця  зворотного  перетворення  являє 

собою  просто  транспоновану  матрицю  прямого  перетворення,  тобто 

T

j

j

H

H



  і  

T

j

j

G

G



. 

Таким  чином,  для  знаходження  значень  коефіцієнтів  вейвлет-  фільтра 

довжиною  L = 4 необхідно вирішити систему з чотирьох алгебраїчних рівнянь: два 

рівняння, отримані з умови ортогональності, і два рівняння нульових моментів. 

55 





















































моменти

нульові

h

h

h

h

h

h

h

h

ьності

ортонормал

умова

h

h

h

h

h

h

h

h

.

0

3

2

1

0

,

0

,

0

,

1

0

1

2

3

0

1

2

3

1

3

0

2

2

3

2

2

2

1

2

0

(2.30) 

Рішенням цієї системи є наступні значення: 

2

4

3

1

0





h

; 

2

4

3

3

1





h

; 

2

4

3

3

2





h

; 

2

4

3

1

3





h

 ; 

або 

h

0

 = 0,4829629131445341;  

h

1

 = 0,8365163037378097;  

h

2

 = 0,2241438680420134;  

h

3

 = - 0,1294095225512604. 

Ці  коефіцієнти  визначають  вейвлети,  звані  вейвлетами  Добеши  db2.  Виняток 

вищих  моментів  призводить  до  систем  вейвлетов  Добеши  з  великою  кількістю 

коефіцієнтів. Наприклад, db3 Добеши виходять при виключенні не тільки нульових і 

перших моментів, але і других. 

Коефіцієнти  для  вейвлетів  Добеши  вищого  порядку  виходять  аналогічним 

способом,  проте  їх  точні  значення  можуть  бути  отримані  тільки  чисельно  - 

алгебраїчні рівняння високого порядку аналітично неможливо розв'язати. Однак при 

збільшенні  числа  нульових  моментів  (М)  зростає  довжина  фільтра  (L  =  2М),  що 

приводить  до  зростання  обчислювальної  складності,  яка  дорівнює  LN,  де  N  - 

довжина блоку даних. 

Для фільтру Добеши довжиною L = 2M необхідно M рівностей щодо нульових 

моментів  для  отримання  єдиного  рішення.  У  загальному  випадку  рішення  можуть 

бути  отримані  чисельно.  На  рис.4  наведено  вейвлет-функції  1-,  2-,  3-,  4-,  8-го 

порядку сімейства вейвлетів Добеши. Для даних вейвлетов dbM число коефіцієнтів 

всіх  фільтрів  одно  2M.  З  підвищенням  порядку  (числа  нульових  моментів) 

підвищується  гладкість  функцій.  Таким  чином,  підбором  порядку  материнського 

вейвлета можна домогтися найкращого наближення заданого сигналу.